有序推進(jìn)，追求概念的“精致”建構(gòu)

陸李華

【摘 要】數(shù)學(xué)概念是小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的內(nèi)容。通過(guò)對(duì)“射線(xiàn)、直線(xiàn)和角的認(rèn)識(shí)”這一概念的教學(xué)分析可以看出，數(shù)學(xué)概念的形成是一個(gè)循序漸進(jìn)、“精致”建構(gòu)的過(guò)程：根植經(jīng)驗(yàn)，初步感悟概念是概念“精致”建構(gòu)的前提；系統(tǒng)整理，形成概念網(wǎng)絡(luò)是概念“精致”建構(gòu)的關(guān)鍵；多維思辨，觸摸概念本質(zhì)是概念“精致”建構(gòu)的核心；拓展升華，深化概念理解是概念“精致”建構(gòu)的保證。

【關(guān)鍵詞】概念教學(xué)；本質(zhì)；“精致”建構(gòu)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的邏輯起點(diǎn)，是構(gòu)成抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的“細(xì)胞”，也是學(xué)生思維、認(rèn)知的基礎(chǔ)。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，概念教學(xué)必須經(jīng)歷“精致”的過(guò)程，其實(shí)質(zhì)是運(yùn)用強(qiáng)化感知、提供范例、變式教學(xué)、拓展深化等方法對(duì)概念的內(nèi)涵與外延進(jìn)行深度全面的把握，促使概念的“精致”落到實(shí)處。本文結(jié)合“射線(xiàn)、直線(xiàn)和角的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)，來(lái)談?wù)勅绾斡行蛲七M(jìn)概念的“精致”建構(gòu)。

一、根植經(jīng)驗(yàn)，初步感悟概念——概念“精致”建構(gòu)的前提

概念教學(xué)得以充分展開(kāi)的根本原動(dòng)力是學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新概念之間是否平衡。因此，教學(xué)中要善于根植與激活學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，充分利用新概念與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的差異來(lái)設(shè)置情境，從而引起認(rèn)知需要，促使其展開(kāi)積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)。

【片段1】

師：同學(xué)們，你們看，拉緊的線(xiàn)，繃緊的弦，它們都可以看作什么呀？

生：線(xiàn)段。

師：對(duì)！線(xiàn)段是我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)的老朋友了，誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)它有什么特點(diǎn)？

生：線(xiàn)段是直直的，而且有兩個(gè)端點(diǎn)。

師：你能畫(huà)一條10厘米長(zhǎng)的線(xiàn)段嗎？（學(xué)生畫(huà)線(xiàn)段）

師：畫(huà)線(xiàn)段時(shí)，要注意些什么呢？

生：要用直尺畫(huà)直。

生：不能漏了端點(diǎn)。

師：這小小的端點(diǎn)有什么作用呀？

生：如果沒(méi)有了它，這條線(xiàn)就沒(méi)有終點(diǎn)，它會(huì)一直延伸出去了。

師：真會(huì)想象！還是看這條10厘米長(zhǎng)的線(xiàn)段，如果起點(diǎn)用0來(lái)表示，終點(diǎn)用10來(lái)表示。那么比10大的數(shù)，應(yīng)該在哪邊？

生：都在右邊。

師：我們一起接著數(shù)一數(shù)。

學(xué)生繼續(xù)數(shù)數(shù)，課件動(dòng)態(tài)演示線(xiàn)隨之不斷向右延長(zhǎng)的過(guò)程。

師：這樣數(shù)下去，數(shù)得完嗎？

生：數(shù)是無(wú)窮的，數(shù)不完。

師：那相對(duì)應(yīng)的這條線(xiàn)呢？

生：也會(huì)一直不斷地延伸下去。

師：對(duì)！數(shù)是無(wú)窮盡的，相對(duì)應(yīng)的線(xiàn)也無(wú)限長(zhǎng)。

師：同學(xué)們，像這樣把線(xiàn)段的一端無(wú)限延長(zhǎng)，就得到了一條射線(xiàn)。

師：你知道為什么要說(shuō)“線(xiàn)段的一端”嗎？

生：因?yàn)槿绻疫叾它c(diǎn)不動(dòng)，左邊的端點(diǎn)去掉的話(huà)，也會(huì)得到一條射線(xiàn)。

師：真會(huì)想象！仔細(xì)觀察射線(xiàn)，你聯(lián)想到生活中的什么嗎？

生：手電筒射出的光線(xiàn)。

生：激光燈射出的光線(xiàn)。

……

師：現(xiàn)在老師遇到了一個(gè)難題。我想把這條無(wú)限長(zhǎng)的射線(xiàn)畫(huà)在紙上，該怎么辦？試試看！

生：我畫(huà)到了紙的邊上，感覺(jué)不好畫(huà)了。

師：是啊！畫(huà)不下了，怎么辦呢？

生：我覺(jué)得根本不用畫(huà)到邊上，其實(shí)把一端的端點(diǎn)去掉，就說(shuō)明它沒(méi)有封口，可以無(wú)限延長(zhǎng)了。

師：沒(méi)錯(cuò)，我們是無(wú)法把這條射線(xiàn)全部畫(huà)出來(lái)的，所以只要畫(huà)出它的一部分就可以了。

師：剛才我們把線(xiàn)段的一端無(wú)限延長(zhǎng)就得到了一條射線(xiàn)。想象一下，如果把線(xiàn)段的兩端無(wú)限延長(zhǎng)呢？

生：那會(huì)形成直線(xiàn)！

課件動(dòng)態(tài)演示線(xiàn)段到直線(xiàn)的變化過(guò)程。

師：仔細(xì)觀察一下直線(xiàn)，你能提個(gè)問(wèn)題考考大家嗎？

生：直線(xiàn)有什么特點(diǎn)？

生：怎樣畫(huà)一條直線(xiàn)？

生：直線(xiàn)和線(xiàn)段、射線(xiàn)有什么不同？

在互相提問(wèn)、互相質(zhì)疑中明確直線(xiàn)的特征，以及如何畫(huà)一條直線(xiàn)。

對(duì)于射線(xiàn)概念的理解，“無(wú)限長(zhǎng)”毋庸置疑是個(gè)難點(diǎn)。因?yàn)樯钪袥](méi)有這樣的原型，所以對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)既陌生又抽象。教材安排從探照燈射出的光線(xiàn)引入，但學(xué)生容易誤解為光線(xiàn)總會(huì)有盡頭，對(duì)概念的理解會(huì)造成不必要的干擾，使得學(xué)生對(duì)“無(wú)限”的理解只能借助于蒼白的描述和想象。而數(shù)形結(jié)合的方法就是一個(gè)很好的契合點(diǎn)，線(xiàn)段恰恰是學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，從復(fù)習(xí)線(xiàn)段入手，體會(huì)線(xiàn)段有限長(zhǎng)的特點(diǎn)，由此作為生長(zhǎng)點(diǎn)，借助數(shù)的無(wú)窮盡理解線(xiàn)的無(wú)限長(zhǎng)，從數(shù)學(xué)本身去尋找概念理解的支點(diǎn)，可謂水到渠成。在學(xué)生感知射線(xiàn)的概念，初步建立了“無(wú)限”的觀念之后，再次從線(xiàn)段入手，讓學(xué)生想象兩端都無(wú)限延長(zhǎng)后就形成了直線(xiàn)，并通過(guò)互相提問(wèn)、質(zhì)疑的方式強(qiáng)化感知，加深對(duì)概念的理解。

二、系統(tǒng)整理，形成概念網(wǎng)絡(luò)——概念“精致”建構(gòu)的關(guān)鍵

鄭毓信教授曾指出：概念教學(xué)中，關(guān)鍵是要使學(xué)生建立概念的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。學(xué)生掌握的概念并非是一個(gè)個(gè)零散的概念，而是一個(gè)互相聯(lián)系的整體。因此，在概念教學(xué)中，應(yīng)及時(shí)把新概念納入到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，使之成為一個(gè)系統(tǒng)的整體。

【片段2】

線(xiàn)段、直線(xiàn)和射線(xiàn)分別有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？大家靜靜地想想看，再在小組里交流發(fā)現(xiàn)。

學(xué)生活動(dòng)后，匯報(bào)交流，完善表格。

放手讓學(xué)生自主進(jìn)行系統(tǒng)整理，研究射線(xiàn)、直線(xiàn)和線(xiàn)段的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，能幫助學(xué)生梳理三線(xiàn)之間的聯(lián)系和區(qū)別，幫助學(xué)生清晰地建立三線(xiàn)的表象，加深對(duì)每一個(gè)概念的理解，也有利于建立系統(tǒng)的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)。

三、多維思辨，觸摸概念本質(zhì)——概念“精致”建構(gòu)的核心

概念教學(xué)不是教“形式化的定義”，而是追求思維上真正的理解。因此，教師要善于利用變式教學(xué)、對(duì)比辨析、反例教學(xué)等豐富多樣的活動(dòng)，采取多種教學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、分析、比較、綜合等多維思辨，幫助學(xué)生逐漸剝離與舍棄其非本質(zhì)屬性，抽取其本質(zhì)屬性，內(nèi)化對(duì)概念的理解。

【片段3】

小試牛刀

◇辨一辨：下面哪些是線(xiàn)段，哪些是射線(xiàn)？直線(xiàn)呢？

◇當(dāng)回裁判：下面哪位同學(xué)說(shuō)的話(huà)是對(duì)的？

大展身手

◇點(diǎn)線(xiàn)游戲一

師：線(xiàn)段經(jīng)過(guò)小點(diǎn)嗎？

動(dòng)態(tài)演示“調(diào)皮的小點(diǎn)”和線(xiàn)家族成員玩捉迷藏游戲。

生：這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)已經(jīng)確定，它再也不能捉住小點(diǎn)了。

師：射線(xiàn)上場(chǎng)，它能捉住小點(diǎn)嗎？

生：能！因?yàn)樯渚€(xiàn)可以無(wú)限延長(zhǎng)。

生：不對(duì)！這條射線(xiàn)只能往左延長(zhǎng)，無(wú)論怎么延長(zhǎng)都捉不住小點(diǎn)。

生（不好意思）：我只想著能無(wú)限延長(zhǎng)，忘了看方向了。

師：那怎樣就能捉住小點(diǎn)了呢？

生：把射線(xiàn)的方向換一下，或者讓小點(diǎn)到左邊延長(zhǎng)的線(xiàn)上去。（課件相機(jī)動(dòng)態(tài)演示）

師：看來(lái)只要?jiǎng)觿?dòng)腦筋，射線(xiàn)就能成功捉住小點(diǎn)了。這么說(shuō)來(lái)，直線(xiàn)呢？

生：直線(xiàn)就更不用說(shuō)了。

生：我也同意！直線(xiàn)無(wú)論小點(diǎn)在左邊，還是在右邊，只要延長(zhǎng)就能抓住它。

師：都這么認(rèn)為？

生（齊聲）：同意！

生：我不同意！如果小點(diǎn)不在這條直線(xiàn)的延伸處，那無(wú)論直線(xiàn)怎么延長(zhǎng)，也抓不到它！

師：你在電腦上操作一下，把你的想法表示出來(lái)。

生操作演示如下：

生（恍然大悟）：哦，原來(lái)這樣！

師：敢于突破常規(guī)思路來(lái)思考問(wèn)題，很了不起！

師：調(diào)皮的小點(diǎn)還想和線(xiàn)家族的成員玩游戲呢！

◇點(diǎn)線(xiàn)游戲二

師： 經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)能畫(huà)多少條直線(xiàn)呢？如果給你足夠多的時(shí)間，能畫(huà)多少條？

生：無(wú)數(shù)條。

師：同時(shí)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)能畫(huà)多少條直線(xiàn)呢？（先猜想，再動(dòng)手進(jìn)行驗(yàn)證）

師：現(xiàn)在來(lái)了兩個(gè)“調(diào)皮的小點(diǎn)”，連接這兩點(diǎn)已經(jīng)有兩條線(xiàn)。你還能創(chuàng)造出一條比它們都短的線(xiàn)嗎？怎樣最短？

生：找出連接兩點(diǎn)的線(xiàn)段。

師：像這樣連接兩點(diǎn)的線(xiàn)段的長(zhǎng)度，叫作這兩點(diǎn)間的距離。動(dòng)手量一量，這段距離到底有多長(zhǎng)呢？

◇點(diǎn)線(xiàn)組合

師：同學(xué)們，剛才我們一直在研究點(diǎn)線(xiàn)關(guān)系，其實(shí)它們組合在一起，還能形成一些新圖形呢。（學(xué)生自主學(xué)習(xí)角的相關(guān)知識(shí)）

概念的鞏固與運(yùn)用環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)了多形式、多層次的練習(xí)：“辨一辨”“當(dāng)回裁判”兩個(gè)練習(xí)，利用變式和反例來(lái)凸顯概念的本質(zhì)屬性；“點(diǎn)線(xiàn)游戲一”讓學(xué)生在有趣的情境中進(jìn)一步感知三線(xiàn)特征的區(qū)別，強(qiáng)化概念認(rèn)知；“點(diǎn)線(xiàn)游戲二”讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)一畫(huà)、數(shù)一數(shù)等多樣化的活動(dòng)，獲得進(jìn)一步的感知和體驗(yàn)，同時(shí)有機(jī)滲透極限思想和猜想與驗(yàn)證的數(shù)學(xué)方法；而對(duì)于角，學(xué)生已有了初步的認(rèn)識(shí)。因此“點(diǎn)線(xiàn)組合”放手讓學(xué)生自學(xué)角的有關(guān)知識(shí)，感受線(xiàn)與角的聯(lián)系。

四、拓展升華，深化概念理解——概念“精致”建構(gòu)的保證

概念得以理解后，還要依據(jù)本課的教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)，進(jìn)行合理的挖掘和延伸，使概念得到鞏固、拓展、深化。比如介紹與概念相關(guān)的數(shù)學(xué)文化，綜合運(yùn)用概念解決數(shù)學(xué)問(wèn)題等，目的是在深入理解概念的同時(shí)，使概念在深度和廣度上得以“精致”建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和創(chuàng)新思維。

◇猜一猜：被信封擋住的是什么圖形？

生：線(xiàn)段。

生：也有可能是射線(xiàn)。

信封移開(kāi)，呈現(xiàn)射線(xiàn)。

師：現(xiàn)在呢？

生：直線(xiàn)！

師：確實(shí)是一條直線(xiàn)。不過(guò)這條直線(xiàn)上還有兩個(gè)小點(diǎn)。

師：那你還能從上面找到哪些線(xiàn)呢？分別有幾條？小組討論。

生：我們小組找到了1條線(xiàn)段，2條射線(xiàn)，還有1條直線(xiàn)。

生：我們小組找到了4條射線(xiàn)。

師：哦？上來(lái)指給大家看看！（課件相機(jī)動(dòng)態(tài)演示）

師：剛才我們從直線(xiàn)上找到了線(xiàn)段和射線(xiàn)，看來(lái)線(xiàn)段和射線(xiàn)都是直線(xiàn)的一部分。

師：再來(lái)猜，這個(gè)信封背后會(huì)是什么呢？

生：線(xiàn)段。

生：射線(xiàn)。

師：還有可能是什么呢？

生：還有可能是角。

信封移開(kāi)，呈現(xiàn)角。猜對(duì)的學(xué)生歡呼不已。

◇填一填，讀一讀。

時(shí)間的長(zhǎng)流就像一條無(wú)始無(wú)終的（ ），是無(wú)限的；而我們每個(gè)人的生命就像有始有終的（ ）一樣，是有限的。所以我們要充分利用好生命的每一天，學(xué)習(xí)時(shí)要像只有起點(diǎn)沒(méi)有終點(diǎn)的（ ）一樣，學(xué)無(wú)止境！

“猜一猜”的游戲，根據(jù)部分圖形來(lái)猜想可能具有哪些特征，反向思維的運(yùn)用，加深了學(xué)生對(duì)于概念本質(zhì)的感悟，發(fā)展空間觀念，提升思維力；“填一填”的教學(xué)活動(dòng)，耐人尋味，啟發(fā)學(xué)生感悟到生命的有限，知識(shí)的無(wú)限，激發(fā)學(xué)生樂(lè)于學(xué)習(xí)、主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性。

總之，建構(gòu)概念的核心是理解，用怎樣的教學(xué)方式提高學(xué)生的概念理解水平是需要教師不斷研究的永恒主題。教師應(yīng)高屋建瓴地深入理解概念，準(zhǔn)確把握學(xué)生的學(xué)情，精心設(shè)計(jì)“引入—形成—鞏固—深化” 學(xué)習(xí)路徑中的每一個(gè)環(huán)節(jié)，有序推進(jìn)，幫助學(xué)生“精致”建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（江蘇省海門(mén)實(shí)驗(yàn)學(xué)校附屬小學(xué) 226100）