任意階標(biāo)度分形格分抗與非正則格型標(biāo)度方程

余波何秋燕袁曉

1)(成都師范學(xué)院物理與工程技術(shù)學(xué)院,成都 611130)

2)(四川大學(xué)電子信息學(xué)院,成都 610064)

1 引 言

理想分抗(元)的阻抗函數(shù)

式中μ為運(yùn)算階數(shù);s是拉普拉斯變量,亦稱運(yùn)算變量[1,2];F(μ)為分抗特征值,是一個(gè)有量綱有單位的物理量[3].分抗元是基本電路元件(電阻、電容、電感、電耦[4,5])的一種很自然的推廣,再結(jié)合有源元件(比如運(yùn)算放大器、OTA器件等),便可以實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微積分運(yùn)算.

理想的分抗元是不存在的,相對(duì)應(yīng)的近似實(shí)現(xiàn)稱為分抗逼近電路.構(gòu)建分抗逼近電路的途徑主要有:自然現(xiàn)象與過(guò)程的電路建模、μ階算子s μ的直接有理逼近.常見(jiàn)的經(jīng)典分形分抗逼近電路,如Oldham分形鏈類、Sierociuk分形鏈、Haba分形線分抗等僅具有半階運(yùn)算性能且是非理想逼近[1].1960年,Carlson在研究航空線性自適應(yīng)伺服系統(tǒng)的補(bǔ)償問(wèn)題時(shí),提出理想逼近的負(fù)半階對(duì)稱格型RC網(wǎng)絡(luò)[6]——Carlson分形格分抗(逼近電路).Carlson分形格分抗通過(guò)嵌套能得到?1/2n階(n為大于或等于2的整數(shù))分抗逼近電路[1,7],但結(jié)構(gòu)復(fù)雜,使用的元件數(shù)多,無(wú)法實(shí)現(xiàn)任意分?jǐn)?shù)階運(yùn)算(或無(wú)法逼近任意分?jǐn)?shù)階微積分算子).

在對(duì)比分析經(jīng)典的負(fù)半階Oldham分形鏈與Liu-Kaplan分形鏈分抗的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[8]通過(guò)類比拓展構(gòu)造出三種新型分形鏈分抗與對(duì)應(yīng)的新型Liu-Kaplan標(biāo)度方程.標(biāo)度拓展不僅可以實(shí)現(xiàn)任意分?jǐn)?shù)階分抗,而且能夠極大地提高逼近效益,簡(jiǎn)化電路.標(biāo)度化的迭代方程——Liu-Kaplan標(biāo)度方程十分精煉地描述了一大類自仿射自相似分形結(jié)構(gòu)體系所具有的分?jǐn)?shù)冪關(guān)系與現(xiàn)象,不僅涉及到分形、電解金屬電極界面、粗糙度、標(biāo)度因子等物理概念,而且具有廣泛的物理、化學(xué)、生物等現(xiàn)實(shí)背景因素,從而受到人們特別的關(guān)注[1,8,9].

本文旨在類比拓展Carlson分形格分抗及其歸一化迭代方程,獲得具有高逼近效益的任意階標(biāo)度分形格分抗和可物理實(shí)現(xiàn)的格型標(biāo)度方程(任意分?jǐn)?shù)階微積分算子有理逼近),并從理論與實(shí)驗(yàn)等角度證明標(biāo)度拓展的有效性.

任意階標(biāo)度分形格分抗逼近電路和格型標(biāo)度方程可廣泛的應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)[10,11]、分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)[12,13]、分?jǐn)?shù)階流變模型[14]、分?jǐn)?shù)階蠕變模型[15]、分?jǐn)?shù)階憶阻器[7,16]和水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)[17?19]等的電路建模與仿真、理論計(jì)算或物理實(shí)現(xiàn).

2 Carlson分形格的數(shù)學(xué)描述與運(yùn)算性能

2.1 數(shù)學(xué)描述——迭代電路與迭代方程

圖1 有限k節(jié)Carlson分形格分抗逼近電路 (a)原型電路:2k×R,2k×C;(b)(代數(shù))迭代電路;(c)歸一化原型電路;(d)歸一化迭代電路Fig.1.Finitek-stage Carlson fractal-lattice fractance approximation circuit:(a)Prototype circuit 2k×R,2k×C;(b)algebraic iterating circuit;(c)normalized prototype circuit;(d)normalized iterating circuit.

有限k節(jié)Carlson分形格分抗逼近電路[1,6]如圖1(a)所示,當(dāng)給定一個(gè)初始阻抗Z0(s)時(shí),輸入阻抗函數(shù)Zk(s)由迭代公式

算出,式中k表示電路的基本格型節(jié)的節(jié)數(shù);R和C分別是電路中電阻的電阻值和電容的電容量.代數(shù)迭代式稱為Carlson分形格分抗的迭代函數(shù).由(2)式可畫(huà)出等價(jià)的(代數(shù))迭代電路(圖1(b)).

迭代電路與迭代方程

完全表征了Carlson分形格分抗的基本運(yùn)算性能.

令

(式中τ是時(shí)間常數(shù),w稱為歸一化運(yùn)算變量,yk(w)稱為歸一化阻抗函數(shù)).則得到(2)式的歸一化迭代形式

其中

稱為Carlson分形格分抗的歸一化迭代函數(shù).由(6)式畫(huà)出歸一化迭代電路如圖1(d)所示.

歸一化迭代方程

的算術(shù)根yC(w)=w ?1/2是Carlson分形格分抗的(歸一化)極限阻抗,即有

這表明Carlson分形格分抗是負(fù)半階(即μ=?1/2)算子w ?1/2的全頻有效的理想逼近[1].

2.2 運(yùn)算性能與逼近性能分析

當(dāng)y0(w)=∞(即開(kāi)路)時(shí),k節(jié)Carlson分形格分抗的歸一化阻抗[1]

與相頻特征

階頻特征μk(?)與相頻特征θk(?)曲線(圖2(a)與(b))刻畫(huà)分抗逼近電路的運(yùn)算性能與逼近性能[1?3,8,9,20?22]. 由運(yùn)算特征曲線(圖2(a)與(b))可得Calrson分形格分抗電路的逼近帶寬指數(shù)[1]

圖2 運(yùn)算特征曲線 (a),(b)Carlson分形格分抗電路——標(biāo)度拓展前:α=β=1,σ=αβ=1;(c),(d)正比拓展標(biāo)度分形格分抗電路:α=β=2;(e),(f)反比拓展標(biāo)度分形格分抗電路:α=β=1/2Fig.2.Operational characteristics plots:(a),(b)Carlson fractal-lattice fractance approximation circuit before scaling extensionα=β=1,σ=αβ=1;(c),(d)scaling fractal-lattice fractance approximation circuit by direct proportion extensionα=β=2;(e),(f)scaling fractal-lattice fractance approximation circuit by inverse proportion extensionα=β=1/2.

逼近效益——逼近帶寬指數(shù)與電路節(jié)數(shù)?C[k]=k之比:

3 標(biāo)度拓展與標(biāo)度分形格分抗逼近電路

3.1 標(biāo)度拓展與格型標(biāo)度方程

對(duì)歸一化Carlson分形格分抗(圖1(c))進(jìn)行標(biāo)度拓展[8],得到圖3(a)所示的標(biāo)度分形格分抗.圖3(a)中標(biāo)示的參量α是電阻遞進(jìn)比、β是電容遞進(jìn)比.α,β統(tǒng)稱為分形格分抗電路的標(biāo)度特征參量,σ=αβ稱為該電路的標(biāo)度因子(scaling factor).當(dāng)0<α<1,0<β<1時(shí),稱為反比拓展;當(dāng)1<α<∞,1<β<∞時(shí),稱為正比拓展.

圖3 標(biāo)度分形格分抗及其標(biāo)度迭代電路 (a)歸一化電路:0<α<∞0<β<∞;(b)歸一化迭代電路:σ=αβFig.3.Scaling fractal-lattice fractance approximation circuit and corresponding scaling iterating circuit:(a)Normalized prototype circuit 0<α<∞,0<β<∞;(b)normalized scaling iterating circuit:σ=αβ.

有限k節(jié)標(biāo)度分形格分抗逼近電路的輸入阻抗函數(shù)可由標(biāo)度迭代公式

算出.由此畫(huà)出等價(jià)的標(biāo)度迭代電路如圖3(b)所示.

在數(shù)學(xué)上,標(biāo)度拓展是將代數(shù)迭代方程(8)進(jìn)行標(biāo)度變換[8]

得到一個(gè)非正則標(biāo)度方程——格型標(biāo)度方程

3.2 格型標(biāo)度方程的近似求解與運(yùn)算有效性

對(duì)于有限k節(jié)標(biāo)度分形格電路(圖3(a)),由于每格形節(jié)的特征頻率

因此正比拓展(1<σ<∞)時(shí),wi向低頻擴(kuò)展.反比拓展(0<σ<1)時(shí),wi向高頻擴(kuò)展.

對(duì)于正比拓展獲得的有限k節(jié)標(biāo)度分形格電路,考慮y0(w)=∞(即開(kāi)路)情形.由于

在極高頻率條件下(即1<|w|→∞時(shí)),電路呈現(xiàn)電阻特性,在極低頻率條件下(即1>|w|→0時(shí)),電路表現(xiàn)出電容特性,即有

在頻段滿足

時(shí),電阻與電容共同作用,整個(gè)電路呈現(xiàn)出分?jǐn)?shù)階運(yùn)算性能.此時(shí),非正則標(biāo)度方程(17)將簡(jiǎn)化為正則標(biāo)度方程

并有近似解

式中,ζ是一個(gè)常數(shù),μLiu稱為L(zhǎng)iu氏運(yùn)算階,函數(shù)yLiu(w)稱為L(zhǎng)iu氏粗解.

近似解(23)式表明,通過(guò)調(diào)節(jié)電阻遞進(jìn)比α與電容遞進(jìn)比β的取值,可構(gòu)造出具有任意Liu氏運(yùn)算階的分抗逼近電路.當(dāng)取α=β=2時(shí),正比拓展得到μLiu=?1/2階的低頻有效分抗逼近電路,其運(yùn)算特征曲線如圖2(c),(d)所示.

反比拓展(0<α<1,0<β<1,0<σ<1)在高頻段也可得到同樣的Liu氏近似解.當(dāng)取α=β=1/2時(shí),反比拓展得到μLiu=?1/2階的高頻有效分抗逼近電路,其運(yùn)算特征曲線如圖2(e),(f)所示.

3.3 格型標(biāo)度方程的真實(shí)解與分形格電路的運(yùn)算振蕩現(xiàn)象

近似解(23)式在理論上表明了格型標(biāo)度方程(17)所描述的電路具有分?jǐn)?shù)階運(yùn)算性能.當(dāng)前在數(shù)學(xué)上直接精確求解方程(17)是困難的.但根據(jù)電路的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)特點(diǎn),使用傳輸參量矩陣法[1,8,9],或使用標(biāo)度迭代公式

在給定一個(gè)初始的有理阻抗函數(shù)y0(w)時(shí),比如y0(w)=∞(即初始阻抗開(kāi)路),可以求出一個(gè)有理的輸入阻抗函數(shù)序列{yk(w)}k∈N,使得

是非正則標(biāo)度方程(17)的一個(gè)真實(shí)解——標(biāo)度分形格電路的極限阻抗函數(shù).

取定標(biāo)度因子σ ?=1,由μLiu=?lgα/lgσ得電路的標(biāo)度特征參量

將這些參量代入(24)式,給定μLiu與σ就能算出相對(duì)應(yīng)的有理阻抗函數(shù)序列{yk(w)}k∈N,并由此獲得階頻特征μk(?)曲線(圖4)與相頻特征θk(?)曲線.

由圖2與圖4可知,標(biāo)度分形格分抗電路的運(yùn)算特征產(chǎn)生了運(yùn)算振蕩現(xiàn)象,存在固有的振蕩周期

圖4 標(biāo)度分形格分抗逼近電路的階頻特征曲線 (a)正比拓展σ=5;(b)反比拓展σ=1/5Fig.4.Order-frequency characteristic plots of scaling fractal-lattice fractance approximation circuit:(a)Direct proportion extensionσ=5;(b)inverse proportion extensionσ=1/5.

振蕩幅度不但與標(biāo)度因子σ有關(guān),還與運(yùn)算階μLiu密切關(guān)聯(lián).

顯然,當(dāng)σ=1時(shí)有W=0,意味著無(wú)運(yùn)算振蕩現(xiàn)象.這正好表征了Carlson分形格分抗電路的運(yùn)算特點(diǎn)(圖2(a),(b)).

3.4 標(biāo)度分形格分抗電路的逼近性能分析

首先考察負(fù)半階分形格分抗電路.此時(shí)α=β,σ=αβ,μLiu=?lgα/lgσ.

標(biāo)度拓展前,α=β=1,逼近帶寬指數(shù)πC[k]由(13)式給出,逼近效益ηC[k]((14)式)隨節(jié)數(shù)k的增加迅速減小并趨近于零.標(biāo)度拓展后,由圖2(c)—(f)與圖4可求出逼近帶寬指數(shù)

逼近效益

此時(shí)可見(jiàn),標(biāo)度拓展極大地提高了逼近效益.相對(duì)于標(biāo)度拓展前的Carlson分形格電路,獲得的拓展增益

定量表征標(biāo)度分形格分抗相對(duì)于Carlson分形格分抗獲得了更高的逼近效益程度.

Carlson分形格分抗的逼近效益ηC[k]與標(biāo)度分形格分抗的逼近效益η(?1/2)σ[k]曲線如圖5所示.由圖5可知,通過(guò)選擇合適的標(biāo)度因子σ和電路節(jié)數(shù)k,標(biāo)度分形格分抗可獲得比Carlson分形格分抗更高的逼近效益.由拓展增益函數(shù)(30)式得到如圖6所示的曲線,當(dāng)拓展增益gσ[k]>1時(shí),標(biāo)度分形格分抗的逼近效益高于Carlson分形格分抗.

對(duì)于α≠β≠1的情形,μLiu≠?1/2,由階頻特征曲線可求得逼近帶寬指數(shù)

逼近效益

式中κ(μLiu)是由運(yùn)算階μLiu確定的正實(shí)數(shù).

圖5 逼近效益對(duì)比曲線Fig.5.Contrast curves of approximation efficiency.

圖6 拓展增益曲線Fig.6.Extension efficiency curve.

4 實(shí)驗(yàn)測(cè)試

4.1 測(cè)試系統(tǒng)與測(cè)試方法

構(gòu)建有源半階微分運(yùn)算電路作為分抗測(cè)試電路(圖7),取R=300 ?,C=0.47 μF,分別使用五節(jié)Carlson分形格分抗(圖1,拓展前α=β=1,σ=1,k=5)與標(biāo)度分形格分抗(圖3,拓展后α=β=2,σ=4,k=5)為分抗元F.

圖7 有源半階微分運(yùn)算原理電路Fig.7.Active differential operational principle circuit of half order.

圖7中運(yùn)算放大器A,B采用高速電流反饋運(yùn)算放大器THS3001,Rb1=Rb1=820 ?,Rin=1 k?,Rf1=2.2 k?,Rf2=5.6 k?. 電阻阻值誤差小于5%,電容容量誤差小于10%.由電路的電壓傳輸函數(shù)(理論上)

可得到被測(cè)分抗逼近電路阻抗函數(shù)Zk(s)的幅頻特征Ak(?).測(cè)量輸入正弦電壓信號(hào)uin(t)的峰-峰值Vinpp(?)、輸出正弦電壓信號(hào)uout(t)的峰-峰值Voutpp(?),則有

進(jìn)而數(shù)值求解分抗的階頻特征

與F特征[22]

正弦信號(hào)uin(t)由信號(hào)發(fā)生器(型號(hào):EE16330)輸出,示波器(型號(hào):TDS1012 C)測(cè)量信號(hào)uin(t)與信號(hào)uout(t)的峰-峰值(Vinpp(?)與Voutpp(?)).信號(hào)uin(t)是頻率在0.1 Hz—1 MHz范圍內(nèi),?均勻離散變化的正弦信號(hào).實(shí)驗(yàn)測(cè)試時(shí),控制Vinpp(?)與Voutpp(?)在電路正常工作的電壓范圍內(nèi).

4.2 測(cè)試結(jié)果與分析

五節(jié)Carlson分形格分抗與標(biāo)度分形格分抗的階頻特征與F特征實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果與理論對(duì)比如圖8所示.由(35)和(36)式可知,階頻特征和F特征的實(shí)驗(yàn)結(jié)果需要數(shù)值微分運(yùn)算.由于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)固有的誤差、數(shù)值微分相對(duì)于理想微分的誤差,造成實(shí)驗(yàn)得到的階頻特征和F特征離散較大.使用MATLAB中的smooth函數(shù)對(duì)數(shù)值微分后的數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑濾波處理,結(jié)果如圖8所示的星號(hào)曲線所示(平滑點(diǎn)為20,lowess平滑方法).

實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果與理論分析相符合,誤差主要來(lái)源于電路元件參數(shù)誤差、實(shí)驗(yàn)測(cè)試儀器誤差和平滑濾波誤差,且圖8(b)所示的階頻特征再次印證了格型標(biāo)度方程Liu氏近似解的正確性.五節(jié)Carlson分形格分抗(拓展前α=β=1,σ=1,k=5)的逼近帶寬指數(shù)πC[5]≈1.5918,逼近效益ηC[5]≈0.3184,標(biāo)度分形格分抗(拓展后α=β=2,σ=4,k=5)的逼近帶寬指數(shù)逼近效益由此可知圖8中的運(yùn)算特征也證明標(biāo)度分形格分抗相對(duì)于Carlson分形格分抗可獲得更高的逼近帶寬指數(shù)和逼近效益,符合圖6所示的拓展增益結(jié)果.

圖8 實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果 (a)Carlson分形格分抗的階頻特征,拓展前σ=1;(b)標(biāo)度分形格分抗的階頻特征,拓展后σ=4;(c)Carlson分形格分抗的F特征,拓展前σ=1;(d)標(biāo)度分形格分抗的F特征,拓展后σ=4Fig.8.Experimental test results:(a)Order-frequency characteristic of Carlson fractal-lattice fractance approximation circuit before extension(σ=1);(b)order-frequency characteristic of scaling fractal-lattice fractance approximation circuit after extension(σ=4);(c)F-frequency characteristic of Carlson fractal-lattice fractance approximation circuit before extension(σ=1);(d)F-frequency characteristic of scaling fractal-lattice fractance approximation circuit after extension(σ=4).

5 應(yīng)用案例——信號(hào)的分?jǐn)?shù)階微分運(yùn)算

由(35)和(36)式及圖8可知,在有效運(yùn)算頻率范圍內(nèi),五節(jié)標(biāo)度分形格分抗逼近理想分抗的阻抗值

若將五節(jié)標(biāo)度分形格分抗看作理想分抗,則由(33)和(37)式可得圖7所示的半階微分電路的運(yùn)算關(guān)系

式中,t為時(shí)間,uin(t)為輸入信號(hào),uout(t)為輸出信號(hào).

若輸入信號(hào)uin(t)為周期三角波,?0為基波角頻率,T為周期,E為峰峰值,根據(jù)周期三角波信號(hào)的半階微分表達(dá)式[23?25]

與(38)式,計(jì)算半階微分運(yùn)算電路的理論輸出信號(hào)uout(t)(圖9(a)),與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果一致(圖9(b)).

若輸入信號(hào)uin(t)為周期方波,根據(jù)周期對(duì)稱方波信號(hào)的半階微分表達(dá)式[23?25]

與(38)式,算出半階微分運(yùn)算電路的理論輸出信號(hào)uout(t)(圖10(a)),與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果相符合(圖10(b)).

通過(guò)輸入周期三角波和周期方波,實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果證明圖7所示的半階微分電路能完成信號(hào)的分?jǐn)?shù)階微分運(yùn)算.

圖9 半階微分電路對(duì)周期三角波信號(hào)的運(yùn)算結(jié)果 (a)理論分析;(b)實(shí)驗(yàn)測(cè)試Fig.9.Operational results of differential circuits of half-order for periodic triangular wave signals:(a)Theoretical analyses;(b)experimental measurements.

圖10 半階微分電路對(duì)周期對(duì)稱方波信號(hào)的運(yùn)算結(jié)果 (a)理論分析;(b)實(shí)驗(yàn)測(cè)試Fig.10.Operational results of differential circuits of half-order for periodic symmetric square wave signals:(a)Theoretical analyses;(b)experimental measurements.

6 結(jié) 論

標(biāo)度拓展Carlson分形格分抗獲得任意階標(biāo)度分形格分抗,它完全由格型標(biāo)度方程(17式)描述.通過(guò)調(diào)節(jié)電阻遞進(jìn)比α、電容遞進(jìn)比β的取值,能夠設(shè)計(jì)任意階分抗逼近電路.雖然標(biāo)度分形格分抗的運(yùn)算特征產(chǎn)生了周期為|lgσ|的振蕩現(xiàn)象,但負(fù)半階標(biāo)度分形格分抗的逼近效益明顯高于Carlson分形格分抗.本文同時(shí)證明格型標(biāo)度方程(17)式是一種可物理實(shí)現(xiàn)的任意分?jǐn)?shù)階微積分算子有理逼近.

關(guān)于標(biāo)度分形格分抗與非正則格型標(biāo)度方程,本文研究?jī)H僅是一個(gè)開(kāi)端,還存在以下亟待解決的問(wèn)題:

1)標(biāo)度分形格分抗的運(yùn)算振蕩現(xiàn)象的定性與定量特征研究.

2)獲得格型標(biāo)度方程的真實(shí)解的解析表達(dá)式是非常困難的.本文初步探討了怎樣求解格型標(biāo)度方程.若能夠得到格型標(biāo)度方程的真實(shí)解的解析表達(dá)式,便能描述標(biāo)度分形格分抗的運(yùn)算特征的振蕩現(xiàn)象,也為求解其他非正則標(biāo)度方程提供一種思路.

3)運(yùn)算階μLiu?=?1/2的標(biāo)度分形格分抗,對(duì)理想的分?jǐn)?shù)階微積分算子的逼近效果在歸一化特征頻率w0附近不甚理想.研究標(biāo)度分形格分抗的優(yōu)化也是一件有趣的事,特別是對(duì)標(biāo)度分形格分抗電路的微調(diào)整——添加補(bǔ)償電阻或補(bǔ)償電容,能顯著地提高逼近性能.

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