淺談信息技術(shù)展示高中數(shù)學(xué)知識(shí)和發(fā)展過程的案例研究

廣東省乳源瑤族自治縣高級(jí)中學(xué) 趙明亮

利用現(xiàn)代信息技術(shù)手段可以生動(dòng)地呈現(xiàn)難度較大的教學(xué)內(nèi)容，對(duì)知識(shí)的形成和發(fā)展可以進(jìn)行直觀的展現(xiàn)，能夠有效地解決學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問題，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維及能力；利用信息技術(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，能促進(jìn)學(xué)生有效探究問題的本質(zhì)，加深對(duì)概念、定理及性質(zhì)定理的理解；利用信息技術(shù)手段，還可以實(shí)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，促進(jìn)學(xué)生之間的交流與合作，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行自主合作探究性學(xué)習(xí)。

一、在信息技術(shù)的支持下的數(shù)學(xué)教學(xué)方式發(fā)生深刻的變化

使用信息技術(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，可以為學(xué)生創(chuàng)造出圖文并茂、豐富多彩、即時(shí)反饋的學(xué)習(xí)環(huán)境。在這樣的環(huán)境中，學(xué)生對(duì)新知識(shí)的構(gòu)建可以在自己觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、推理、交流、反思等過程中完成。信息技術(shù)的引入給學(xué)生的刺激是多樣性的，既看得見，又聽得著，還可以自己動(dòng)手操作，這有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和求知欲，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的獲取和保持具有重要意義，也是數(shù)學(xué)教學(xué)方式與學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)變的具體體現(xiàn)。

案例一.在概率的教學(xué)中，書本101頁向我們提出這樣一個(gè)問題：取一個(gè)邊長為2a的正方形及其內(nèi)切圓，隨機(jī)地向正方形丟一粒豆子，求豆子落在圓內(nèi)的概率。解決本題其實(shí)不難，學(xué)生基本都知道所求的概率為圓的面積除于正方形的面積，即然而當(dāng)老師提出可否用此模型求出π的近似值時(shí)，很多學(xué)生都懵了。有的學(xué)生提出疑問：π的值不是已經(jīng)知道了嗎，怎么還要估計(jì)。少數(shù)學(xué)生提出假設(shè)，如果能算出豆子落在圓內(nèi)概率為m，那么利用就可以算出π=4m了。那么這時(shí)又出現(xiàn)了一個(gè)問題：怎么計(jì)算豆子落在圓內(nèi)的概率呢？這時(shí)有學(xué)生想到做大量的實(shí)驗(yàn)，用頻率估計(jì)概率。這的確是一個(gè)好想法，但是這個(gè)大量的實(shí)驗(yàn)是多少次？這個(gè)大量實(shí)驗(yàn)是否會(huì)因?yàn)槿藶橐蛩厥菇Y(jié)果產(chǎn)生偏差呢？而你有這個(gè)信心去完成嗎？學(xué)生都在交頭接耳地討論怎么做。這時(shí)我打開幾何畫板，給學(xué)生在電腦中演示這種重復(fù)試驗(yàn)（如圖1）。雖然制作過程有點(diǎn)復(fù)雜，但是操作起來非常方便。

圖（1）

當(dāng)學(xué)生看完演示過程后，都恍然大悟，原來用幾何畫板還能快速地做模擬實(shí)驗(yàn)，而且非常直觀地體現(xiàn)出實(shí)驗(yàn)過程和結(jié)果。對(duì)于上述思想方法在2017韶關(guān)二模文科試題14題中就有所體現(xiàn)。題目是：歷史上有人向畫有內(nèi)切圓的正方形紙片上丟芝麻來估計(jì)圓周率的值，如果隨機(jī)地向紙片上撒一把芝麻，1000粒落在正方形上的芝麻有778粒落在正方形的內(nèi)切圓內(nèi)，那么通過此模擬實(shí)驗(yàn)計(jì)算出π的估計(jì)值為____。

二、在信息技術(shù)支持下有利于探究知識(shí)的發(fā)生過程，提高學(xué)習(xí)效率

信息技術(shù)在處理數(shù)據(jù)上有非常大的優(yōu)勢，利用excel可以簡化煩瑣的數(shù)據(jù)處理，讓學(xué)生能輕松地解決問題，提高課堂效率，提高學(xué)生的興趣。

案例二.《線性回歸方程》的教學(xué)

在必修3統(tǒng)計(jì)模塊的線性回歸方程教學(xué)中，在判斷兩個(gè)變量是否具備線性相關(guān)關(guān)系，要將給出的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷。而人工繪制散點(diǎn)圖難度較大，尤其當(dāng)數(shù)據(jù)較多和數(shù)據(jù)以非整數(shù)形式出現(xiàn)的時(shí)候，人工繪制出的散點(diǎn)圖會(huì)產(chǎn)生人為的偏差，課堂不但枯燥，而且費(fèi)時(shí)費(fèi)力。引入信息技術(shù)對(duì)數(shù)據(jù)處理能簡化煩瑣數(shù)據(jù)帶來的負(fù)面影響，而且讓學(xué)生操作，可以提高學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，提高學(xué)生的積極性。下面是本節(jié)課的部分教學(xué)片段。

請(qǐng)同學(xué)們看73頁的例題1。下面教同學(xué)們利用excel處理數(shù)據(jù)求線性回歸方程的方法，同學(xué)們可以體驗(yàn)下用excel處理數(shù)據(jù)帶來的方便。第一步：打開excel表格，將數(shù)據(jù)分兩行對(duì)應(yīng)輸入到excel表格中，第二步：選中所輸入的數(shù)據(jù)，點(diǎn)擊“插入”中的圖表按鈕，選擇“xy散點(diǎn)圖”，這樣就呈現(xiàn)出了輸入數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖。第三步：根據(jù)畫出的散點(diǎn)圖判斷出變量具有線性相關(guān)關(guān)系，接下來利用excel中函數(shù)功能，在空白處點(diǎn)擊函數(shù)按鈕，在選擇類別中勾出統(tǒng)計(jì)，選擇“slope”這個(gè)函數(shù)，按照提示分別框起y和x對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，點(diǎn)擊確定就出現(xiàn)了a的值，再次選擇統(tǒng)計(jì)中的“intercept”這個(gè)函數(shù)，按照提示再次框起y和x對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，點(diǎn)擊確定就出現(xiàn)了b的值。這時(shí)就求出了線性回歸方程了。如圖（2）

圖（2）

當(dāng)學(xué)生看到利用excel表格三步就能解決所有問題，大家都覺得很神奇。當(dāng)老師提出有哪位同學(xué)想利用excel表格處理75練習(xí)第二題的時(shí)候，學(xué)生都躍躍欲試，最后由鐘文飄和鄭健同學(xué)上來展示。展示的情況見圖（3）。從這個(gè)教學(xué)片段中發(fā)現(xiàn)，信息技術(shù)的運(yùn)用，很好地解決了統(tǒng)計(jì)中煩瑣數(shù)據(jù)帶來的問題。信息技術(shù)的使用優(yōu)化了課堂教學(xué)，創(chuàng)新了課堂教學(xué)模式。通過學(xué)生自己的操作，傳統(tǒng)的枯燥的數(shù)據(jù)處理變成了生動(dòng)的有趣活動(dòng)課，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也充分體現(xiàn)信息技術(shù)支持下的高水平學(xué)習(xí)過程。

圖（3）

三、借助信息技術(shù)探究高考題命制過程

信息技術(shù)的引入可以讓我們通過動(dòng)畫來發(fā)現(xiàn)一些結(jié)論性的東西，而這些結(jié)論也正是命題人命題的方向。通過信息技術(shù)可以讓我們探究命題人員對(duì)高考題的命題思想和命題過程。

案例三.我們一起來猜想2014年全國甲卷（文）第21題這道題命題人的命題思路。題目是：已知函數(shù)f（x）=x3-3x2+ax+2，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，2）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2。

（1）求 a。（2）證明：當(dāng) k＜1 時(shí)，曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn)。

我們先來看第一問，命題人以（0，2）這個(gè)點(diǎn)來選擇命題是因?yàn)檫@個(gè)點(diǎn)是函數(shù)y=f（x）圖像與y軸的交點(diǎn)，也是函數(shù)圖像唯一的一個(gè)定點(diǎn)。那么為什么選擇考查此處的切線呢？我們利用幾何畫板作出函數(shù)y=f（x）在（0，2）處的切線。通過動(dòng)畫我們發(fā)現(xiàn)隨著a的變化，函數(shù)y=f（x）在（0，2）處的切線也是在變化的，但是當(dāng)a=1時(shí)，切線恰好過點(diǎn)（-2，0），所以命題人就用這個(gè)特殊的值進(jìn)行命題，這時(shí)第一問的設(shè)問就順理成章了。如圖（4）

圖（4）

對(duì)于第二問的設(shè)問就更加巧妙，首先我們來思考下為什么命題人會(huì)選擇y=kx-2這樣一條直線？其實(shí)這條直線不是平白無故出現(xiàn)的，而是命題人通過計(jì)算精心設(shè)計(jì)出來的。首先還是找函數(shù) f（x）=x3-3x2+x+2圖像上特殊的點(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn)該函數(shù)與x軸的交點(diǎn)恰好是（2，0）。通過計(jì)算，我們求出函數(shù)y=f（x）在x=2處的切線方程為 y=x-2，剛好過（0，-2）。并且發(fā)現(xiàn)過（0，-2）向函數(shù)y=f（x）圖像作切線巧好只有一條，所以命題人就選擇過定點(diǎn)（0，-2）的直線y=kx-2作為命題基礎(chǔ)。直線y=kx-2已經(jīng)設(shè)出來了，那么試題的考查就應(yīng)該圍繞參數(shù)k來開展，命題的原理還是一樣，通過變化找不變的量。通過變化k值命題人發(fā)現(xiàn)：當(dāng)k＞1時(shí)，函數(shù)y=kx-2與函數(shù)y=f（x）交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2個(gè)或3個(gè)，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)不確定會(huì)加大命題難度。當(dāng)k=1時(shí)，此時(shí)的交點(diǎn)有兩個(gè)，此時(shí)命題又太過簡單。當(dāng)k＜1時(shí)，通過動(dòng)畫我們發(fā)現(xiàn)兩曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有且只有一個(gè)，符合命題要求。題目命完之后當(dāng)然還要驗(yàn)證高中生用現(xiàn)有的知識(shí)能否解決這個(gè)問題。通過論證，第二問的設(shè)問學(xué)生可以通過已學(xué)的知識(shí)進(jìn)行解答，而且體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中一些重要的思想方法，難度適中，完全符合高考題型的要求。如圖（5）

圖（5）

這些案例向我們充分地展示了利用信息技術(shù)，可以準(zhǔn)確地把握命題人的命題思想和方法，也充分地體現(xiàn)了信息技術(shù)在命題過程中起到的作用。信息技術(shù)的利用不只局限于解決已知的問題，而是深層次地去發(fā)現(xiàn)未知的問題。只有充分地去探索未知世界，才能把信息技術(shù)的作用發(fā)揮到極致。