設(shè)計(jì)空間差別處理優(yōu)化方法及其在汽車輕量化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

劉念斯 蔡永周 顧紀(jì)超 鄭 顥

廣州汽車集團(tuán)股份有限公司汽車工程研究院，廣州， 511434

0 引言

減少排放、節(jié)省燃料是汽車工業(yè)目前的重要課題。研究表明，每減輕10%的重量，汽車可節(jié)省燃油6%～8%[1-2]，降低排放4%[3]，因此，汽車輕量化設(shè)計(jì)成為汽車企業(yè)的重要研究?jī)?nèi)容。

在目前的優(yōu)化方法中，基于元模型的優(yōu)化方法以其計(jì)算快速的特點(diǎn)引起了眾多學(xué)者的關(guān)注。在過去的幾十年中，人們開發(fā)了很多優(yōu)秀的基于元模型的全局最優(yōu)化方法，如高效全局最優(yōu)化方法(EGO)[4]、模式搜索采樣方法(MPS)[5]等。這些方法應(yīng)用單一或多個(gè)元模型進(jìn)行搜索，取得了很大的成功。然而，工程師通常為實(shí)際工程中的問題定義足夠大的設(shè)計(jì)空間、盡量多的設(shè)計(jì)變量來得到滿意的結(jié)果，而元模型在擬合這類大規(guī)模問題時(shí)精度較差。由此，人們?cè)噲D通過移除不需要的設(shè)計(jì)空間來提高算法的性能。WANG等[6]開發(fā)了自適應(yīng)響應(yīng)面法(ARSM)，此方法可移除部分不需要的空間來提高算法的性能。但是，當(dāng)樣本點(diǎn)較少、元模型精度較差時(shí)，空間移除方法可能將全局最優(yōu)一并移除而導(dǎo)致算法無法找到全局最優(yōu)?；旌献赃m應(yīng)元模型方法(HAM)[7]采用多個(gè)元模型同時(shí)搜索，每隔兩次迭代在構(gòu)建的重點(diǎn)空間內(nèi)搜索一次的方法，似乎能夠解決大規(guī)模問題，然而，在HAM法中每三次迭代僅在重點(diǎn)空間內(nèi)搜索一次，其效率仍有待提高。HAM法每隔兩次迭代才使用固定數(shù)目的10個(gè)函數(shù)值最小的昂貴點(diǎn)構(gòu)建重點(diǎn)空間，會(huì)導(dǎo)致重點(diǎn)空間縮小過快而降低效率和精度。ZHOU等[8]改進(jìn)了HAM方法，將自移動(dòng)和縮放策略應(yīng)用于更新重點(diǎn)空間并改進(jìn)搜索策略，提出了一種增強(qiáng)的混合自適應(yīng)方法(E-HAM)，取得了很好的效果。JIE等[9]提出了一種自適應(yīng)元模型優(yōu)化方法(AMGO)，通過增加子優(yōu)化問題來平衡全局和局部搜索，也取得了一定的效果。

本文提出一種設(shè)計(jì)空間差別處理方法來對(duì)實(shí)際工程中具有多變量、大設(shè)計(jì)空間的問題進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 設(shè)計(jì)空間差別處理優(yōu)化方法

基于元模型的迭代優(yōu)化方法通常起源于少量樣本點(diǎn)構(gòu)造的粗糙元模型。如果根據(jù)從這些元模型得到的信息移除部分設(shè)計(jì)空間，則全局最優(yōu)也極有可能隨移除的空間被一同刪除。

本文提出一種設(shè)計(jì)空間差別處理(design space differentiation,DSD)方法，此方法首先利用部分昂貴點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)重點(diǎn)空間，然后采取在重點(diǎn)空間和其他空間內(nèi)應(yīng)用不同的搜索策略進(jìn)行搜索的方式來代替移除空間,在整個(gè)迭代過程中不移除任何涉及空間，可有效避免設(shè)計(jì)空間移除方法會(huì)移除全局最優(yōu)的弱點(diǎn)，其優(yōu)化流程如圖1所示。

圖1 優(yōu)化流程Fig.1 Procedures of the method

DSD方法主要用于解決耗時(shí)的大規(guī)模問題，其主要步驟如下。

(1)應(yīng)用拉丁方設(shè)計(jì)方法生成10個(gè)初始樣本點(diǎn)x1、x2、…、x10，計(jì)算其函數(shù)值f(x1)、f(x2)、…、f(x10)，構(gòu)造二階多項(xiàng)式響應(yīng)面。拉丁方設(shè)計(jì)是一種空間填充設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，能夠消除仿真分析中的確定性誤差[10-12]，而二階多項(xiàng)式響應(yīng)面能夠準(zhǔn)確擬合任何平滑曲面的任意局部空間[5]。經(jīng)過大量的測(cè)試發(fā)現(xiàn)，10個(gè)初始點(diǎn)能夠滿足算法的需要，更多的初始點(diǎn)并不能顯著提高算法的性能。

(2)構(gòu)建重點(diǎn)空間。重點(diǎn)空間的構(gòu)造決定了該算法的性能。初始重點(diǎn)空間要盡量包含足夠大的空間，以保證包含全局最優(yōu)，并且隨著迭代的進(jìn)行要逐漸縮小到全局最優(yōu)附近。本文提出的DSD方法采用一定數(shù)目的具有真實(shí)解的昂貴點(diǎn)來構(gòu)建重點(diǎn)空間，其數(shù)目ne隨著迭代的進(jìn)行不斷變化，以保證得到合適的重點(diǎn)空間，其數(shù)目的定義如下：

(1)

其中，me是當(dāng)前昂貴點(diǎn)的數(shù)目，wi是構(gòu)建重點(diǎn)空間的昂貴點(diǎn)占當(dāng)前昂貴點(diǎn)的比例，i為迭代次數(shù)。由于初始點(diǎn)以及每一次迭代所選取的昂貴點(diǎn)的數(shù)目都為10，根據(jù)式(1)，所選擇的構(gòu)建重點(diǎn)空間的樣本點(diǎn)的數(shù)目依次為10、18、24、28、30、30、28、24、18、10。初始樣本點(diǎn)由拉丁方設(shè)計(jì)直接得到，能夠保證初始重點(diǎn)空間盡可能布滿整個(gè)設(shè)計(jì)空間，如圖2所示。構(gòu)造重點(diǎn)空間的樣本點(diǎn)的數(shù)目逐漸增大然后減小，既能保證在優(yōu)化前幾次迭代中包含足夠的空間，又能使重點(diǎn)空間快速縮小，圖

圖2 某優(yōu)化問題第1次迭代得到的重點(diǎn)空間示意圖Fig.2 The first important region in a design optimization

3所示是某優(yōu)化問題第4次迭代得到的重點(diǎn)空間，與第1次迭代相比，重點(diǎn)空間包含全局最小值，而且減小明顯。

圖3 某優(yōu)化問題第4次迭代得到的重點(diǎn)空間示意圖Fig.3 The fourth important region in a design optimization

(3)分別在重點(diǎn)空間和其他空間內(nèi)選取新的昂貴點(diǎn)，其策略如下：

①在重點(diǎn)空間內(nèi)選擇昂貴點(diǎn)。a)應(yīng)用拉丁方設(shè)計(jì)在重點(diǎn)空間生成大量樣本點(diǎn)(推薦為104個(gè))[5]，這些點(diǎn)使用元模型計(jì)算，稱為廉價(jià)點(diǎn)；b)使用二階多項(xiàng)式計(jì)算這些樣本點(diǎn)的函數(shù)值；c)選取6個(gè)函數(shù)值最小的樣本點(diǎn)作為新的昂貴點(diǎn)。

②在其他空間內(nèi)選擇昂貴點(diǎn)。a)應(yīng)用拉丁方設(shè)計(jì)在其他空間生成大量樣本點(diǎn)(推薦為104個(gè));b)使用二階多項(xiàng)式計(jì)算這些樣本點(diǎn)的函數(shù)值;c)選取4個(gè)函數(shù)值最小的樣本點(diǎn)作為新的昂貴點(diǎn)。

(4)應(yīng)用原始模型計(jì)算新的昂貴點(diǎn)的值并檢查收斂條件。如果滿足收斂條件，算法終止，否則重復(fù)步驟(2)至步驟(3)直到結(jié)束。算法采取HAM法中提出的收斂條件[7]:

(2)

式中，ε為設(shè)計(jì)者給定的一個(gè)較小的數(shù)值；fj為第j個(gè)最小的函數(shù)值。

2 算法驗(yàn)證

本文利用4個(gè)應(yīng)用廣泛的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)函數(shù)算例對(duì)DSD方法進(jìn)行驗(yàn)證，這4個(gè)函數(shù)分別是10個(gè)變量的Pavinai函數(shù)(PF)和Trid函數(shù)(TF)，以及16個(gè)變量的F16函數(shù)和20個(gè)變量的Sum Squares函數(shù)(SSF)。

(1)Pavinai 函數(shù)(N=10):

(3)

xi∈[2.1,9.9]

(2)Trid函數(shù)(N=10):

(4)

xi∈[-100,100]

(3)F16函數(shù)(N=16):

(5)

xi,xj∈[-5,5]

(4)Sum Squares函數(shù)(N=20):

(6)

這4個(gè)函數(shù)中PF是對(duì)數(shù)函數(shù)， F16是高階函數(shù)，而TF和SSF是二階多項(xiàng)式函數(shù)，TF具有較大的設(shè)計(jì)空間。這4個(gè)函數(shù)各具特點(diǎn)，能夠全面地測(cè)試所提出方法的有效性，而且所得到的結(jié)果將與同類算法HAM和遺傳算法(GA)進(jìn)行對(duì)比(比較搜索精度和搜索效率)。優(yōu)化對(duì)比結(jié)果見表1。每個(gè)函數(shù)都運(yùn)算100次以避免不具代表性的結(jié)果，表中min表示算法得到的平均最小值，nit表示所用的平均迭代次數(shù)，nfe表示算法所用的昂貴點(diǎn)的平均數(shù)目。其中min和nit保留一位小數(shù)，nfe只保留整數(shù)部分。

從表1中可以看出，GA在優(yōu)化PF和TF時(shí)精度較高，在優(yōu)化F16和SSF時(shí)精度較低，最小平均迭代次數(shù)為64，調(diào)用原始模型最小平均次數(shù)為1298次。即如果每次迭代所產(chǎn)生的20個(gè)優(yōu)化方案能夠同時(shí)計(jì)算，對(duì)于優(yōu)化一個(gè)單個(gè)模型計(jì)算需要1 h的問題，所用最短時(shí)間為64 h，最長為239.8 h。如果不能夠同時(shí)計(jì)算，則最少需要1298 h。對(duì)于HAM，其所得結(jié)果的精度較低，在優(yōu)化TF時(shí)則完全找不到最小值，在優(yōu)化PF和F16時(shí)所得結(jié)果的精度也難以滿足要求。DSD法在精度和效率上達(dá)到很好的平衡，能夠以很高的效率得到精度

表1 數(shù)學(xué)函數(shù)優(yōu)化結(jié)果(平均值)Tab.1 Results of math functions (mean values)

較高的結(jié)果，對(duì)于所優(yōu)化的4個(gè)問題，所得到的最小值都接近各自理論最小值。如果單個(gè)模型計(jì)算時(shí)間仍為1 h，則能夠同時(shí)計(jì)算每次迭代所得到的方案和每次僅能計(jì)算一個(gè)方案所需的最長時(shí)間分別為20.9 h和219 h，與GA相比，節(jié)省了80%以上的計(jì)算時(shí)間。

3 初始點(diǎn)數(shù)目的討論

為確定初始點(diǎn)的數(shù)目，DSD方法分別應(yīng)用10個(gè)和30個(gè)初始點(diǎn)對(duì)以上4個(gè)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果見表2。從表2中可以看出，初始樣本點(diǎn)從10個(gè)增加到30個(gè)，其綜合性能并沒有顯著變化。可見，較多的初始樣本點(diǎn)并不能大幅度提高算法性能,因此，初始樣本點(diǎn)的數(shù)目定為10。

4 汽車輕量化設(shè)計(jì)

某款車的后車架質(zhì)量為73.65 kg，在設(shè)計(jì)過程中已經(jīng)進(jìn)行過一次輕量化設(shè)計(jì)，為降低成本，需要對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步減重，而公司標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，在放置200 kg貨物時(shí)所產(chǎn)生的最大位移d不能超過2.0 mm。優(yōu)化模型為

表2 不同數(shù)目初始點(diǎn)所得到的結(jié)果比較Tab.2 Comparison of the results with different number of initial points

(7)

式中，m為整個(gè)系統(tǒng)的質(zhì)量，kg；t1～18為選擇的18個(gè)具有減重價(jià)值的部件的厚度，在優(yōu)化分析中作為設(shè)計(jì)變量。

圖4和圖5是有限模型的加載和約束示意圖。此結(jié)構(gòu)的有限元模型包含43個(gè)部件、161 656個(gè)單元。

圖4 某款車后車架載荷示意圖Fig.4 An illustration of the Load on the vehicle rear frame

圖5 某款車后車架約束示意圖Fig.5 An illustration of the constraints on the vehicle rear frame

應(yīng)用商業(yè)軟件Nastran對(duì)該模型進(jìn)行計(jì)算。該模型雖是一個(gè)線性問題，但是包含18個(gè)設(shè)計(jì)變量，具有較大設(shè)計(jì)空間，應(yīng)用目前已經(jīng)發(fā)布的基于元模型的優(yōu)化方法計(jì)算困難，因此應(yīng)用DSD方法對(duì)其進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)。優(yōu)化結(jié)果見表3。同時(shí)給出應(yīng)用HAM法所得到的結(jié)果，與DSD法進(jìn)行比較。表3中所有結(jié)果均保留兩位小數(shù)。

從表3中可以看出，這個(gè)優(yōu)化過程經(jīng)過8次迭代，包括初始點(diǎn)在內(nèi)一共需要90個(gè)昂貴點(diǎn)，即調(diào)用有限元模型計(jì)算90次，后車架系統(tǒng)的質(zhì)量從73.65 kg減小到65.98 kg，減小了7.67 kg，即整個(gè)系統(tǒng)質(zhì)量減小10.4%，施加力所產(chǎn)生的最大位移從2.046 mm減小到1.997 mm，系統(tǒng)的剛度有所增大。而HAM法應(yīng)用35次迭代，調(diào)用仿真模型243次，質(zhì)量減小了3.14 kg，比DSD法少4.53 kg。比較了優(yōu)化前后施加力產(chǎn)生的最大位移，見圖6。

表3 輕量化結(jié)果Tab.3 Results of the lightweight design

(a)優(yōu)化前

(b)HAM法結(jié)果

(c)DSD法結(jié)果圖6 優(yōu)化前后施加力產(chǎn)生的最大位移比較Fig.6 The max. displacement by the load before and after optimization

5 結(jié)論

本文提出一種設(shè)計(jì)空間差別處理優(yōu)化方法，此方法對(duì)不同的空間采用不同的處理方式，并不移除任何設(shè)計(jì)空間，具有傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)空間移除方法高效的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)在一定程度上避免了傳統(tǒng)方法會(huì)移除全局最優(yōu)的弱點(diǎn)，是傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)空間移除方法的改進(jìn)方法。通過4個(gè)高維標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)算例的驗(yàn)證以及在汽車輕量化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，證明了算法的有效性以及在實(shí)際工程中應(yīng)用的潛力。

下一階段的工作將致力于研究基于不同元模型的設(shè)計(jì)空間差別處理方法的性能，同時(shí)研究將混合元模型策略與設(shè)計(jì)空間差別處理策略相結(jié)合，開發(fā)效率更高、應(yīng)用更廣泛的方法。

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