一種新型類偏心圓非圓齒輪設(shè)計(jì)及其應(yīng)用

葉 軍 陳建能 趙 雄 孫新城 夏旭東 高奇峰

1.浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院，杭州，3100182.浙江工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，紹興，3120003.浙江省種植裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州，310018

0 引言

偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線簡(jiǎn)單、加工方便，在非勻速傳動(dòng)系統(tǒng)中得到了較為廣泛的應(yīng)用[1-4]。陳明等[5]設(shè)計(jì)了一種由兩對(duì)偏心圓非圓齒輪副驅(qū)動(dòng)的葉片差速泵，并根據(jù)非圓齒輪副的封閉條件、泵體結(jié)構(gòu)參數(shù)及葉片轉(zhuǎn)角關(guān)系，得到了偏心圓非圓齒輪副節(jié)曲線。范素香等[6-7]設(shè)計(jì)了由偏心圓非圓齒輪和偏心圓變位非圓齒輪組成的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，以確保偏心圓非圓齒輪副在傳動(dòng)過(guò)程中的齒側(cè)齒隙不變，并采用齒條包絡(luò)的方法得到非圓齒輪的齒廓。俞高紅等[8-9]將偏心圓非圓齒輪應(yīng)用于一種高速水稻插秧機(jī)旋轉(zhuǎn)式分插機(jī)構(gòu)，并通過(guò)優(yōu)化插秧軌跡和姿態(tài)，來(lái)滿足高速水稻插秧機(jī)前插式作業(yè)要求。王英等[10]通過(guò)偏心圓非圓齒輪與橢圓齒輪組合,設(shè)計(jì)了一種偏心-橢圓齒輪行星輪系栽植裝置。

一般偏心圓非圓齒輪副節(jié)曲線形狀是由偏心距和半徑兩個(gè)參數(shù)決定，可調(diào)參數(shù)少。筆者曾提出一種高階變性偏心共軛非圓齒輪，并推導(dǎo)了該齒輪節(jié)曲線方程，雖然增加了變形系數(shù)和階數(shù)兩個(gè)參數(shù)，提高了傳動(dòng)特性優(yōu)化的靈活性，但還是不能很好地滿足一些特殊情況的傳動(dòng)比變化要求[11]。為此，本文在偏心圓切線極坐標(biāo)方程基礎(chǔ)上，構(gòu)造一種新型類偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線方程，并建立了該類非圓齒輪的凹凸性判斷和弧長(zhǎng)計(jì)算模型，分析了其傳動(dòng)特性，同時(shí)編寫(xiě)了輔助設(shè)計(jì)及運(yùn)動(dòng)仿真軟件，并應(yīng)用于臥式枕形包裝機(jī)橫封機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)以更好地滿足包裝袋橫封的工藝要求。

1 一般偏心圓切線極坐標(biāo)方程

圖1所示為一般的偏心圓曲線，半徑為R，其圓心O在定直角坐標(biāo)系O1XY上的坐標(biāo)為(e，b)。選取偏心圓曲線上任意點(diǎn)B，作B點(diǎn)的切線t，并從轉(zhuǎn)動(dòng)中心O1作垂線交于切線t于N點(diǎn)，線段O1N的長(zhǎng)度為P，O1N與X軸正方向夾角為θ，點(diǎn)B到O1的距離為r1，根據(jù)切線極坐標(biāo)的定義，P與θ之間的函數(shù)關(guān)系即為一般偏心圓切線極坐標(biāo)方程[12]。為了獲得偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線方程，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)中心與圓心之間連線O1O與X軸正方向夾角為γ，并通過(guò)O點(diǎn)作O1N的垂線交于E點(diǎn)。

圖1 一般偏心圓曲線Fig.1 The general eccentric curve

根據(jù)幾何關(guān)系得到

P=R+O1E

(1)

O1E=O1Ocos(γ-θ)

(2)

(3)

tanγ=b/e

(4)

根據(jù)式(1)～式(4)，可以得到偏心圓切線極坐標(biāo)方程為

P(θ)=bsinθ+ecosθ+R

(5)

使用極坐標(biāo)表示方法，一般偏心圓曲線的方程為

(6)

式中，φ1為偏心圓曲線的極徑r1與X軸的夾角。

從上可以得出：該偏心圓曲線的切線極坐標(biāo)方程(式(5))相對(duì)于極坐標(biāo)方程(式(6))的表達(dá)方式簡(jiǎn)潔明了。

2 類偏心圓非圓齒輪構(gòu)造

2.1 類偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線方程

在偏心圓切線極坐標(biāo)方程基礎(chǔ)上，在余弦函數(shù)與正弦函數(shù)上增加冪指數(shù)k、l，構(gòu)建一種新型的非圓齒輪，稱之為類偏心圓非圓齒輪，其主動(dòng)輪節(jié)曲線切線極坐標(biāo)方程為

P(θ)=bsinkθ+ecoslθ+R

(7)

由式(7)可知，P是以θ變化2π為周期的周期函數(shù)，因此由該方程構(gòu)成的曲線是封閉的。

為了計(jì)算與類偏心圓非圓齒輪共軛的非圓齒輪節(jié)曲線方程，需將主動(dòng)輪切線極坐標(biāo)方程通過(guò)下式轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程或者極坐標(biāo)方程：

(8)

(9)

(10)

式中,μ為類偏心圓非圓齒輪主動(dòng)輪節(jié)曲線的極徑與該點(diǎn)切線的夾角。

將式(7)的節(jié)曲線方程代入式(8)、式(9)或者式(10)可以求得唯一的r1(φ1)。

由非圓齒輪副傳動(dòng)原理可知,從動(dòng)非圓齒輪節(jié)曲線方程為[2]

(11)

式中，a為類偏心圓非圓齒輪副中心距。

要使從動(dòng)非圓齒輪節(jié)曲線封閉，由

(12)

可以求出中心距a，最終代入式(11)可得到與類偏心圓非圓齒輪共軛的非圓齒輪節(jié)曲線方程。

2.2 類偏心圓非圓齒輪的凹凸性判斷與弧長(zhǎng)計(jì)算模型

2.2.1凹凸性判斷模型

根據(jù)范成法加工非圓齒輪齒廓的要求，主從動(dòng)非圓齒輪節(jié)曲線應(yīng)保持凸性，因此必須對(duì)節(jié)曲線的凹凸性進(jìn)行校驗(yàn)。

類偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線采用切線極坐標(biāo)表示，因此將式(8)對(duì)θ進(jìn)行求導(dǎo)，得

(13)

設(shè)類偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線的弧長(zhǎng)用L表示，它是θ(0≤θ≤2π)的單調(diào)增函數(shù)，則該類節(jié)曲線的曲率半徑ρ1可表示為

(14)

將式(7)代入式(14)可以得類偏心圓非圓主動(dòng)輪無(wú)內(nèi)凹的條件：

b(1-k)sinkθ+e(1-l)coslθ+bk(k-1)sink-2θcos2θ+
el(l-1)cosl-2θsin2θ+R>0

(15)

與類偏心圓非圓齒輪共軛的從動(dòng)輪節(jié)曲線上各點(diǎn)的曲率半徑ρ2可以由歐拉-薩伐里公式求出[11]，其公式為

(16)

由式(10)、式(11)、式(14)可得類偏心圓非圓從動(dòng)輪無(wú)內(nèi)凹的條件:

(17)

2.2.2弧長(zhǎng)計(jì)算模型

若類偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線的弧長(zhǎng)用L表示，則由曲線弧長(zhǎng)公式可得

(18)

(19)

當(dāng)P(θ)=-P(θ+π)時(shí)，可以求出L=2πR。

3 類偏心圓非圓齒輪傳動(dòng)特性分析

3.1 正弦參數(shù)對(duì)類偏心圓非圓節(jié)曲線的影響

類偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線切線極坐標(biāo)方程由正弦函數(shù)與余弦函數(shù)兩部分組成，其傳動(dòng)比的變化主要取決于這兩個(gè)部分的參數(shù)變化。余弦函數(shù)與正弦函數(shù)的相位角相差90°，因此只討論正弦函數(shù)對(duì)類偏心圓非圓節(jié)曲線的影響。

當(dāng)e=0和主動(dòng)輪角速度為ω=1 rad/s時(shí)，類偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線只有正弦函數(shù)部分組成，根據(jù)類偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線切線極坐標(biāo)方程，可知當(dāng)k=1時(shí)即為標(biāo)準(zhǔn)的偏心圓非圓齒輪表達(dá)式。選取不同的冪指數(shù)，令k=1、2、3，b=2 mm，R=12 mm，可以得到類偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線、傳動(dòng)比變化曲線以及從動(dòng)輪的角加速度曲線，如圖2～圖4所示。由圖2、圖3可知，不同的冪指數(shù)k對(duì)類偏心圓非圓齒輪的傳動(dòng)比有不同的影響，k=2時(shí)傳動(dòng)比的周期增加一倍并且具有對(duì)稱性，但傳動(dòng)比的最大、最小值也相應(yīng)減半；由圖4可知，當(dāng)k=3時(shí)傳動(dòng)比曲線在一個(gè)周期中最大、最小值附近的角加速度變化大。

1.k=1 2.k=2 3.k=3圖2 不同的冪指數(shù)k的類偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線Fig.2 The pitch curves of the new generalized noncircular gears with different power exponent k

圖3 不同的冪指數(shù)k對(duì)應(yīng)的傳動(dòng)比i21曲線Fig.3 The transmission ratio curves i21 with different power exponent k

圖4 不同的冪指數(shù)k對(duì)應(yīng)的從動(dòng)輪的角加速度曲線Fig.4 The angular acceleration curves of the driven gears with different power exponent k

選取不同的偏心距，令b=2，4，8 mm，k=2和R=12 mm，可以得到類偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線、傳動(dòng)比變化曲線以及從動(dòng)輪的角加速度曲線，如圖5～圖7所示。由圖5～圖7可知，類偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線的偏心距變化與偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線的變化是一致的，都可以使得傳動(dòng)比的變化范圍增大，角加速度也相應(yīng)變大。

1.b=2 mm 2.b=4 mm 3.b=8 mm圖5 不同偏心距的類偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線Fig.5 The pitch curves of the new generalized noncircular gears with different eccentricities

圖6 不同偏心距對(duì)應(yīng)的傳動(dòng)比i21曲線Fig.6 The transmission ratio curves i21 withdifferent eccentricities

圖7 不同偏心距對(duì)應(yīng)的從動(dòng)輪角加速度曲線Fig.7 The angular acceleration curves of the driven gears with different eccentricities

3.2 不同組合的冪指數(shù)對(duì)類偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線影響

由3.1節(jié)可知，類偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線方程中冪指數(shù)不同對(duì)傳動(dòng)比影響較大，因此當(dāng)取不同余弦和正弦函數(shù)冪指數(shù)參數(shù)時(shí)，可以得到不同的傳動(dòng)比變化規(guī)律。通過(guò)以下具體的實(shí)例進(jìn)行比較。

令b=2 mm、e=2 mm、R=12 mm，分別選取不同組合的冪指數(shù)k=1、l=1，k=2、l=1，k=3、l=1，k=3、l=2，k=3、l=3，可以得到類偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線、傳動(dòng)比變化曲線及從動(dòng)輪角加速度，如圖8所示。

(a)類偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線

(b)傳動(dòng)比變化曲線

(c)從動(dòng)輪的角加速度1.k=1,l=1 2.k=2,l=1 3.k=3,l=14.k=3,l=2 5.k=3,l=3圖8 不同的冪指數(shù)組合的類偏心圓非圓齒輪傳動(dòng)特性Fig.8 The transmission characteristics of the new generalized noncircular gears with different power exponent

從圖8中可以發(fā)現(xiàn)，類偏心圓非圓齒輪傳動(dòng)比變化曲線仍然保持偏心圓非圓齒輪的對(duì)稱性質(zhì)，但傳動(dòng)比曲線出現(xiàn)了多樣性，呈現(xiàn)多種變化的規(guī)律，如當(dāng)k=3、l=2時(shí)，類偏心圓非圓齒輪傳動(dòng)比在前半段基本保持不變，在轉(zhuǎn)角為150°～200°區(qū)間，呈現(xiàn)正弦變化規(guī)律，并且在此區(qū)間內(nèi)加速度變化比標(biāo)準(zhǔn)偏心圓非圓齒輪快。

綜上可知，類偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線切線極坐標(biāo)方程包含了標(biāo)準(zhǔn)偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線表達(dá)式，可以說(shuō)是偏心圓非圓齒輪的一種廣義定義。通過(guò)對(duì)類偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線參數(shù)進(jìn)行選擇，可以滿足更多、更廣的傳動(dòng)特性要求。

4 輔助分析軟件編寫(xiě)及應(yīng)用

4.1 輔助分析軟件編寫(xiě)

根據(jù)第2節(jié)建立的類偏心圓非圓齒輪設(shè)計(jì)和分析數(shù)學(xué)模型，利用MATLAB編寫(xiě)了可視化的類偏心圓非圓齒輪輔助設(shè)計(jì)及運(yùn)動(dòng)仿真軟件，如圖9所示。

圖9 類偏心圓非圓齒輪設(shè)計(jì)與仿真軟件界面Fig.9 The new generalized noncircular gear design and simulation program interface

該軟件根據(jù)輸入?yún)?shù)R、e、k、l、b，可求得中心距a和各種類偏心圓非圓齒輪的節(jié)曲線，同時(shí)可計(jì)算出傳動(dòng)比、角速度及角加速度等，并可進(jìn)行凹凸性判斷。根據(jù)輸入?yún)?shù)的變化可實(shí)時(shí)地計(jì)算并且輸出參數(shù)和運(yùn)動(dòng)學(xué)曲線，同時(shí)進(jìn)行類偏心圓非圓齒輪的運(yùn)動(dòng)模擬。

在計(jì)算過(guò)程中，利用式(12)計(jì)算類偏心圓非圓齒輪中心距a是一個(gè)積分過(guò)程，本軟件中采用數(shù)值積分法得到一個(gè)近似解，基于變步長(zhǎng)、牛頓-柯特斯法，采用MATLAB中quadl函數(shù)來(lái)求定積分[13]。在計(jì)算時(shí)，首先給定一個(gè)中心距a的初始值，并且給定精度，通過(guò)迭代法的思想逼近并且求出中心距a的近似值。

4.2 應(yīng)用

4.2.1橫封機(jī)構(gòu)的工藝要求

臥式枕式包裝機(jī)屬于接縫式包裝機(jī)，集制袋、裹包、封口、切斷等功能為一體。其中橫封機(jī)構(gòu)是封口的重要執(zhí)行機(jī)構(gòu)，其性能好壞直接影響到包裝產(chǎn)品的質(zhì)量[14]。橫封工藝主要由對(duì)滾封切器完成，被加熱的封切器在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中壓向包裝袋中間間隙，包裝袋被熱封，與此同時(shí)封切器中切刀切斷包裝袋，使其成為獨(dú)立包裝袋,具體運(yùn)動(dòng)過(guò)程如圖10所示。

1.對(duì)滾封切器 2.包裝袋圖10 臥式枕形包裝機(jī)橫封運(yùn)動(dòng)過(guò)程Fig.10 The transverse seal movement of horizontal pillow packaging machine

對(duì)滾封切器旋轉(zhuǎn)一周可以分為空程區(qū)、封切區(qū)及退讓區(qū)，其工藝要求如下：①在封切區(qū)時(shí)，要求勻速或近似勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，使封切器線速度與包裝袋輸送的速度相等;②在空程區(qū)時(shí)，速度盡量快，以提高效率；③在退讓區(qū)時(shí)，封切器切斷包裝袋后需加速退讓，以保證具有一定包裝高度的物品通過(guò)對(duì)滾橫封器并保留空隙?？梢?jiàn)，封切器在一個(gè)周期內(nèi)是做不等速運(yùn)動(dòng)的，傳統(tǒng)的橫封機(jī)構(gòu)中常采用偏心圓、偏心鏈輪或者雙曲柄搖桿機(jī)構(gòu)等實(shí)現(xiàn)不等速運(yùn)動(dòng)[15-16]。

4.2.2滿足橫封機(jī)構(gòu)工藝要求的類偏心圓非圓齒輪設(shè)計(jì)

類偏心圓非圓齒輪驅(qū)動(dòng)橫封機(jī)構(gòu)(圖11)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程為包裝袋由左往右運(yùn)動(dòng)，對(duì)滾封切器相對(duì)滾動(dòng)，封切器處在中間位置時(shí)切斷包裝袋，具體如圖12所示。根據(jù)橫封器與包裝袋運(yùn)動(dòng)速度同步可得

(20)

式中，v為包裝袋運(yùn)動(dòng)速度；ω為類偏心圓非圓齒輪主動(dòng)輪角速度；L2為對(duì)滾的封切器中心距；i21min為類偏心圓非圓齒輪傳動(dòng)的最小傳動(dòng)比。

1.類偏心圓非圓齒輪副 2.傳動(dòng)齒輪 3.對(duì)滾封切器圖11 類偏心圓非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的橫封機(jī)構(gòu)Fig.11 The transverse seal mechanism with new generalized noncircular gear

圖12 橫封機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析圖Fig.12 The motion analysis of this transverse seal mechanism

設(shè)所需的包裝高度為h，由幾何關(guān)系可以得到

β=α+arccos[(L2-h)/L2]

(21)

式中，β為橫封器由切斷位置到離開(kāi)位置的轉(zhuǎn)角；α為橫封器邊緣和中心線的夾角。

為了使包裝袋能順利通過(guò)橫封器并保留合理間隙，需要讓封切器退讓區(qū)轉(zhuǎn)角滿足以下條件：

(22)

式中，φ1=0處為對(duì)滾封切器速度最小位置；l2為被包裝物離切斷邊緣距離。

(23)

將設(shè)計(jì)參數(shù)代入式(21)、式(23)，得到該型橫封機(jī)構(gòu)的類偏心圓非圓齒輪傳動(dòng)比最小值i21min=0.679 1，橫封器由切斷位置到離開(kāi)包裝物的轉(zhuǎn)角β=43.55°。

根據(jù)設(shè)計(jì)要求，給定類偏心圓非圓齒輪參數(shù)R=30 mm，對(duì)該新型橫封機(jī)構(gòu)的類偏心齒輪參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

(1)目標(biāo)函數(shù)建立。根據(jù)上文可知，橫封器從切斷位置到離開(kāi)包裝物的退讓區(qū)轉(zhuǎn)角越大，能包裝的物品越高，因此優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為

(24)

其中，φ1=0時(shí)對(duì)滾封切器速度最小。

(2)約束條件。節(jié)曲線應(yīng)該是凸的，即節(jié)曲線的曲率半徑ρ1>0，ρ2>0；為保證熱封、切斷時(shí)勻速或近似勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，類偏心齒輪傳動(dòng)比最小值i21min=0.679 1。

(3)優(yōu)化結(jié)果。根據(jù)設(shè)計(jì)要求，選取類偏心齒輪參數(shù)的取值范圍如下： 0≤b≤10 mm、0≤e≤10 mm,運(yùn)用MATLAB中的fmincon優(yōu)化工具箱中的函數(shù)尋找類偏心齒輪驅(qū)動(dòng)的橫封機(jī)構(gòu)的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的最大值。選取不同冪指數(shù)得到優(yōu)化結(jié)果,如表1所示。

表1 不同冪指數(shù)的類偏心齒輪優(yōu)化

設(shè)類偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線參數(shù)R=30 mm、b=5.68 mm、e=5.67 mm、k=3、l=3，通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到中心距a=60.13 mm，i21min=0.679 2，橫封器退讓區(qū)轉(zhuǎn)角為52.47°,大于β。根據(jù)式(19)計(jì)算得到主從動(dòng)輪弧長(zhǎng)L=60π，因此選取主從動(dòng)齒輪模數(shù)m=2 mm，得到主從動(dòng)齒數(shù)Z=30，建立齒輪副齒廓，得到該齒輪嚙合圖見(jiàn)圖13。

圖13 臥式枕形包裝機(jī)類偏心圓非圓齒輪副及其節(jié)曲線Fig.13 The new eccentric noncircular gear pair and its pitch curve in the transverse seal mechanism

如果采用其對(duì)應(yīng)的傳統(tǒng)偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線參數(shù)(R=30 mm、b=0.19 mm、e=5.53 mm、k=1、l=1)，橫封器退讓區(qū)轉(zhuǎn)角為41.10°，小于β，不符合設(shè)計(jì)要求。優(yōu)化后的類偏心圓非圓齒輪與偏心圓非圓齒輪的傳動(dòng)特性對(duì)比如圖14所示。

1.偏心圓非圓齒輪傳動(dòng)比 2.類偏心圓非圓齒輪傳動(dòng)比圖14 優(yōu)化的類偏心圓非圓齒輪與偏心圓傳動(dòng)特性Fig.14 The transmission characteristics of new optimal eccentric noncircular gear and eccentric noncircular gear

對(duì)比兩個(gè)非勻速齒輪的傳動(dòng)比曲線可以得出類偏心圓非圓齒輪運(yùn)用在臥式枕形包裝機(jī)上有以下優(yōu)勢(shì)：①相比于偏心圓非圓齒輪，該類偏心圓非圓齒輪在退讓區(qū)具有較快的加速度，能夠讓更高高度的物品通過(guò)橫封器，適用于更多物品包裝;②類偏心圓非圓齒輪傳動(dòng)比變化規(guī)律靈活，能夠更好地滿足其他的熱封、切斷工藝要求。

5 結(jié)論

(1)提出了一種類偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線，推導(dǎo)出了該類非圓齒輪副主從動(dòng)輪的節(jié)曲線方程。

(2)采用切線極坐標(biāo)表達(dá)方式，類偏心圓非圓齒輪節(jié)曲線及其共軛的非圓齒輪節(jié)曲線表達(dá)式簡(jiǎn)潔，凹凸性判斷和弧長(zhǎng)計(jì)算模型簡(jiǎn)單。

(3)相比于一般的偏心齒輪,類偏心圓非圓齒輪具有更好的設(shè)計(jì)靈活性，可滿足更多的非勻速傳動(dòng)特性要求。

(4)將該類型非圓齒輪用于驅(qū)動(dòng)臥式枕形包裝機(jī)橫封機(jī)構(gòu)，更好地滿足了橫封工藝要求。

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