基于Matlab的灰色線性回歸模型在高層建筑監(jiān)測中的應(yīng)用

陳 浩，歲秀珍，劉堅(jiān)耿，吳建中

(1.義烏市大地?cái)?shù)字測繪有限公司,浙江 義烏 322000；2.義烏市勘測設(shè)計(jì)研究院,浙江 義烏 322000)

隨著我國城市化進(jìn)程的加快，城市空間愈發(fā)擁擠，可用空地越來越少，房屋的層數(shù)不斷攀升，隨之而來，建設(shè)工程的施工與監(jiān)測難度愈發(fā)增加.進(jìn)入新世紀(jì)以來，各項(xiàng)監(jiān)測儀器及手段不斷應(yīng)用到監(jiān)測工程中來[1-3]，但還是會發(fā)生高層建筑倒塌的事故.運(yùn)用各種新型儀器監(jiān)測的同時(shí)，如何有效地對取得的監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行高效地預(yù)測分析，往往是各國學(xué)者研究的課題，直至目前，尚無一高精度預(yù)測模型可以運(yùn)用于各類監(jiān)測工程中[4].1969年Bate和Granger提出將不同模型根據(jù)自身特點(diǎn)有選擇性進(jìn)行組合[5]，可以彌補(bǔ)單一模型的不足，提高預(yù)報(bào)精度.從此，組合式模型成為各國學(xué)者的研究熱點(diǎn)課題，在施工監(jiān)測中，也被廣泛地運(yùn)用，以此作為施工決策的重要依據(jù).

建筑變形測量規(guī)范(JGJ8-2016)在“8.4建模和預(yù)報(bào)”中明確提出線性回歸模型和灰色系統(tǒng)理論模型的基礎(chǔ)上組合而成的新型模型.[6]它既具有線性回歸模型的特點(diǎn)又具有灰色模型對貧數(shù)據(jù)的處理能力.結(jié)合實(shí)際工程分析可知，采用兩者組合而成的模型在預(yù)測精度上有顯著地提高，預(yù)測的可靠性和穩(wěn)定性也高于單一的預(yù)測模型.在無外力施加作用下，因自身承重引起的高層建筑物沉降，灰色線性回歸模型有著廣泛地應(yīng)用前景.

1 灰色線性回歸組合模型

組合式模型應(yīng)充分考慮單一模型的數(shù)學(xué)函數(shù)結(jié)構(gòu)，從其結(jié)構(gòu)出發(fā)建立組合方式.灰色線性回歸(GMXX)組合模型是從灰色模型和回歸模型各自的結(jié)構(gòu)出發(fā)建立起來的，其模型建立原理如下[7]：

根據(jù)灰色GM(1,1)模型函數(shù)式為：

(1)

將式改寫為如下方程式：

(2)

(3)

式中，c1,c2,c3,v為待定參數(shù).

為確定待定參數(shù)，現(xiàn)構(gòu)造如下方程式：

(4)

令

ym(t)=z(t+m)-z(t)=c1evt(evm-1)(ev-1)

(5)

ym(t+1)=z(t+m+1)-z(t+1)=
c1ev(t+1)(evm-1)(ev-1)

(6)

式(6)與式(5)兩式相除，ym(t+1)/ym(t)=ev，即參數(shù)v的解為：

v=ln(ym(t+1)/ym(t))

(7)

z(t)=x(1)(t+1)-x(1)(t),(t=1,2,…,n-1)

(8)

式(7)中m取不同的值，v的計(jì)算值將不同：

當(dāng)m=1時(shí)，得

y1(t)=z(t+1)-z(t),(t=1,2,…,n-2)

v1(t)=ln(y1(t+1)/y1(t)),(t=1,2,…,n-3)

當(dāng)m=2時(shí)，得

y2(t)=z(t+2)-z(t),(t=1,2,…,n-3)

v2(t)=ln(y1(t+1)/y1(t)),(t=1,2,…,n-4)

當(dāng)m=n-3時(shí)，得

yn-3(t)=z(t+n-3)-z(t),(t=1,2)

vn-3(t)=ln(y1(t+1)/y1(t)),(t=1)

(9)

c=(ATA)-1ATx(1)

(10)

于是可以生產(chǎn)一次累加序列的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為：

(11)

將式(11)的計(jì)算值進(jìn)行一次累減，生成新的序列即為原始序列x(0)的擬合值和灰色線性回歸組合模型的預(yù)測值.

當(dāng)c1=0時(shí)，式(2)～式(11)為一元回歸方程式；當(dāng)c2=0時(shí)，式(11)為灰色GM(1,1)模型.由此充分說明灰色線性回歸組合模型是回歸模型與灰色模型運(yùn)用串聯(lián)的組合方式構(gòu)成的預(yù)測模型.

2 模型精度檢驗(yàn)

對模型精度的評定方法最常用的有：殘差檢驗(yàn)法、后驗(yàn)方差檢驗(yàn)法和關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)法[8].殘差檢驗(yàn)法是根據(jù)模型擬合值與原序列值進(jìn)行逐個(gè)檢驗(yàn)；后驗(yàn)方差檢驗(yàn)是對擬合殘差運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行檢驗(yàn)，主要由均方差比值C和小誤差概率p表達(dá)；關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)是基于擬合模型值與建模序列曲線的相似度進(jìn)行檢驗(yàn)，主要采用前兩種檢驗(yàn)方法.

(1)殘差檢驗(yàn)

殘差序列為：

(12)

相對殘差為：

(13)

(2)后驗(yàn)方差檢驗(yàn)

原始數(shù)據(jù)序列X(0)的均值與方差為：

(14)

殘差序列ε(0)的均值與方差為：

(15)

均方差比值C為：

C=S2/S1

(16)

小誤差概率p為：

(17)

通過式(15)～式(17)計(jì)算相對誤差Δ，均方差比值C，小誤差概率的值p，通過查詢可以確定灰色模型擬合精度的等級(見表1).

表1 模型檢驗(yàn)等級

3 MATLAB編程實(shí)現(xiàn)灰色線性回歸模型

MATLAB具有強(qiáng)大的運(yùn)算與編程能力，灰色線性回歸組合模型的計(jì)算量比較大，運(yùn)用MATLAB模型編寫相應(yīng)的計(jì)算程序，可以計(jì)算出相應(yīng)的擬合值和預(yù)測值，大大縮短了計(jì)算時(shí)間，提高了準(zhǔn)確度[9].方便監(jiān)測數(shù)據(jù)的處理，通過讀取指定模板的.xls格式，可以輸出預(yù)制的監(jiān)測成果數(shù)據(jù)表，能夠直觀的顯示擬合值、預(yù)測值、擬合殘差及預(yù)報(bào)等級，軟件界面(見圖1).

圖1 軟件界面

灰色線性回歸組合模型的核心代碼如下：

nn1=input(‘請輸入需要預(yù)測的期數(shù)=’);

x0=input(‘請輸入已有實(shí)測的期數(shù)數(shù)據(jù)(以行向量輸入) x0=’);

for i=1:size(x0,2)

acu=0;

for k=1:i

acu=acu+x0(k);

end

x1(i)=acu;

end

for j=1:(size(x0,2)-3)

for i=1:(size(x0,2)-j-2)

v=log((x1(i+j+2)-x1(i+j+1)-x1(i+2)+x1(i+1))/(x1(i+j+1)+x1(i)-x1(i+1)-x1(i+j)));

a(i,j)=v;

end

end

n=size(x0,2);

v1=2*sum(sum(a))/((n-2)*(n-3));

lt=zeros(1,n);

for k1=1:n

l=exp(v1*k1);

lt(k1)=l;

end

aa1=ones(n,1);

aa2=zeros(n,1);

for kk=1:n

n1=kk;

aa2(kk)=n1;

end

aa=[lt' aa2 aa1];

c=inv(aa'*aa)*aa'*x1';

for i=1:(n+nn1)

xx=c(1)*exp(v1*i)+c(2)*i+c(3);

xx1(i)=xx;

end

4 工程案例

本文選取義烏經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)總部經(jīng)濟(jì)A組團(tuán)工程，共8幢高層建筑，其中2幢為超過100 m的超高層.項(xiàng)目所涉及基坑均為一級基坑.從施工監(jiān)測開始，選擇其中40期房屋沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)，具體監(jiān)測數(shù)據(jù)(見表2).

將前30期數(shù)據(jù)作為分析樣本，對后10期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，分別采用線性回歸模型、灰色模型、灰色線性回歸模型進(jìn)行擬合預(yù)測，后10期數(shù)據(jù)預(yù)測數(shù)據(jù)(見表3).

表2 沉降數(shù)據(jù)

表3 三種模型預(yù)報(bào)值對比表

由表3分析可知，經(jīng)模型精度檢驗(yàn)，三種模型等級均為一級.但在預(yù)測精度方面，線性回歸模型最小為0.298%，最大為1.163%；灰色模型最小為0.232%，最大為2.984%；灰色線性回歸模型最小為0.007%，最大為0.752%.隨著預(yù)報(bào)期數(shù)增多，線性回歸模型和灰色模型預(yù)測的精度有減弱趨勢，而灰色線性回歸模型整體預(yù)報(bào)精度比較平穩(wěn).

5 結(jié) 論

通過MATLAB編程結(jié)合工程案例分析，灰色線性回歸模型相對于線性回歸模型、灰色模型有著較好的預(yù)報(bào)精度，預(yù)報(bào)精度較穩(wěn)定.說明灰色線性回歸模型在高層建筑監(jiān)測工作中具有較高預(yù)報(bào)精度，在未來的監(jiān)測工作中擁有廣泛的應(yīng)用前景.

參考文獻(xiàn)：

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[2] 張 勇,李子陽,馬福恒,等.西溪水庫大壩安全監(jiān)測儀器可靠性評價(jià)[J].浙江水利水電學(xué)院學(xué)報(bào),2015,27(3):22-27.

[3] 朱 強(qiáng),李東風(fēng),李 濤,等.道人山圍涂Ⅱ標(biāo)原位監(jiān)測設(shè)計(jì)及分析[J].浙江水利水電學(xué)院學(xué)報(bào),2017,29(1):37-40.

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[8] 劉思峰,謝乃明.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2014：12-20.

[9] 阮沈勇,王永利.MATLAB程序設(shè)計(jì)[M].北京:電子工業(yè)出版社,2004：122-156.