高中函數(shù)零點問題的求法探析

江智如

福建省南平市高級中學(xué) (353000)

1.問題提出

函數(shù)的零點問題是近些年高考的熱點，因其涵蓋知識廣，綜合性強，不僅可以考查高中學(xué)生的運算能力和化歸思想素養(yǎng)，也能很好地體現(xiàn)試卷的區(qū)分度，因此零點問題成為各類綜合試卷與練習(xí)的?？停彩歉咧袑W(xué)生比較畏懼的難點之一，許多考生對這類問題束手無策，往往只能放棄，甚為可惜．基于此，本文從提高高中學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和做題質(zhì)量，培養(yǎng)高中學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的角度出發(fā)，探析解決零點問題的有效方法．

2.概念界定

對于函數(shù)y=f(x)，把使f(x)=0的實數(shù)x稱為函數(shù)y=f(x)的零點．即函數(shù)y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的實數(shù)根，也就是函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交點的橫坐標，二者是等價的．在日常的教學(xué)過程中可“結(jié)合二次函數(shù)的圖像，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)，從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系”．

3.方法探析

在課標課程中，常見的函數(shù)零點問題有兩類：(Ⅰ)函數(shù)零點(方程根)的求解與判定問題；(Ⅱ)以函數(shù)零點(方程根)為載體的參數(shù)求解問題．

3.1 函數(shù)的零點(方程的根)的求解與判定問題

3.1.1 判斷函數(shù)的零點(方程的根)的個數(shù)

若函數(shù)表達式能夠因式分解，一般采用直接求零點的方法，即：令f(x)=0，通過因式進行求解，有幾個解就是有幾個零點．這類問題主要考查高中學(xué)生的運算能力，也就是多項式分解的能力，大部分的高中學(xué)生都能解決．

分析：本題考查高中學(xué)生對函數(shù)概念及分段函數(shù)的理解與掌握．因為f(x)是一次和二次的解析式，問題可轉(zhuǎn)化為直接求方程f(2-x)=3的解．先求得f(2-x)的解析式，再進行求解，最終得到y(tǒng)=g(x)的零點個數(shù)為1．

點評：對于由初等函數(shù)簡單組合的函數(shù)或方程，一般通過直接求解的方式進行解決，這類問題主要考查高中學(xué)生的因式分解與運算能力，得分率較高，學(xué)生的完成情況較好．

3.1.2 函數(shù)的零點所在區(qū)間的判定

對于無法直接求解的函數(shù)，可從函數(shù)零點存在性定理(介值定理)著手．求解步驟為：(Ⅰ)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線；(Ⅱ)f(a)·f(b)<0；(Ⅲ)結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性)確定函數(shù)的零點個數(shù)．

例2 (2013重慶理6)若a

A．(a,b)和(b,c)B．(-∞,a)和(a,b)

C．(b,c)和(c,+∞)D．(-∞,a)和(c,+∞)

分析：本題是零點問題的概念題，考查定理的理解和方程的運算能力．根據(jù)題意分別求解f(x)在a,b,c三處的函數(shù)值，判斷正負關(guān)系，得到結(jié)果為A．

如同課程中所講，溝通問題會激發(fā)強烈的情緒。在嘗試解決溝通問題時，首先要明確表達自己的情緒，坦承自己感受有助于緩和個人情緒。在控制情緒的基礎(chǔ)上，做到中立的評估事實，然后進行有效的溝通而不是對峙。使用非對抗性的語言清楚的表達自己的意思是有效的手段。而我在初次和項目長溝通受到質(zhì)疑時，并沒有正確的分析問題，嘗試有效的溝通。后來在與項目其他成員溝通時沒有控制住自己的個人情緒，陷入了對峙的狀態(tài)，采用了對抗性的語言，并把對方置于自己的對立面，最后沖突也無法得到有效的解決。

點評：對于判定零點區(qū)間的問題，一般利用連續(xù)函數(shù)的零點存在性定理判斷函數(shù)值的正負情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進行求解，考查高中學(xué)生運算求解和推理論證能力．

3.1.3 函數(shù)的零點、方程的根與函數(shù)圖像的交點三者之間的互相轉(zhuǎn)化

利用函數(shù)圖像的交點來求解零點個數(shù)的問題．首先把方程轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)等式，然后分別畫出等式兩邊初等函數(shù)的圖像．判斷其是否相交，若相交，交點的個數(shù)有幾個，則相應(yīng)的交點橫坐標就有幾個不同的值，函數(shù)就有幾個不同的零點，從而得到原方程的實數(shù)根的個數(shù)；若不相交，則函數(shù)沒有零點，亦即方程無實數(shù)根．

例3 (2017江蘇14)設(shè)f(x)是定義在上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間[0,1)上,其中集合則方程f(x)-lgx=0的解的個數(shù)是 ．

分析：本題考查數(shù)論的相關(guān)知識，難度較大，考查高中學(xué)生的邏輯推理和運算能力．因為D是有理數(shù)集的子集，且D?[0,1)，同時在區(qū)間[0,1)上,f(x)∈[0,1)，故lgx=f(x)∈[0,1)，因此可以考慮1≤x<10的情況．利用f(x)的周期性與y=lgx的單調(diào)性，結(jié)合二者的圖像得到方程解的個數(shù)為8．

點評：本題的設(shè)計，讓考生體會到有理數(shù)集與無理數(shù)集之間緊密關(guān)系的思想與方法，這不僅能提高高中學(xué)生的邏輯推理能力，也能有效地培養(yǎng)高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

3.2 以函數(shù)零點(方程根)為載體的參數(shù)求解問題

以函數(shù)零點(方程根)為載體的參數(shù)問題，考查高中學(xué)生對問題的理解及綜合地應(yīng)用知識分析、解決問題所需要的抽象概括能力和推理論證能力，考查創(chuàng)新意識，常用3種方法求解．

3.2.1 直接法：根據(jù)已知條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，通過求解不等式(組)確定參數(shù)

點評：本題考查了分類討論和化歸的數(shù)學(xué)思想．通過函數(shù)的單調(diào)性和y截距的定義，利用兩個函數(shù)的圖像關(guān)系，得到不等式組進行求解，使問題變得直觀、簡單，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的有效性．

3.2.2 分離參數(shù)法：根據(jù)解析式將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成函數(shù)值域問題加以解決

點評：分離參數(shù)法是解決零點問題的有效方法，考查高中學(xué)生的化歸思想和數(shù)據(jù)運算能力，高中學(xué)生理解和掌握情況較好，但困難在于方程的化簡和運算上，在日常的練習(xí)中可加以訓(xùn)練．

3.2.3 數(shù)形結(jié)合法：將解析式變形，畫出相應(yīng)函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法加以解決

分析：本題可從圖像入手，利用數(shù)形結(jié)合的方法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與y=b的交點個數(shù)問題．因為y=x3與y=x2的交點為(0,0)和(1,1)．由冪函數(shù)的圖像可求得，當a<0或a>1時，滿足條件，故a的取值范圍是(-,0)∪(1,+)．

點評：數(shù)形結(jié)合是零點問題中常用的思想方法，運用數(shù)形結(jié)合思想，可以使抽象的零點問題直觀化、形象化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握零點問題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解題思路，能避免復(fù)雜的計算與推理，簡化解題過程．

4.方法總結(jié)

函數(shù)零點是綜合性的問題，其解決方法不是單一絕對的，常需要以上多種思想與方法的結(jié)合才能解決，它能夠培養(yǎng)高中學(xué)生函數(shù)與方程化歸的思想、數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用意識．因此，在具體的教學(xué)實踐過程中，可從“結(jié)合初等函數(shù)的圖像，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，判斷方程根的存在性及根的個數(shù)”的角度進行思考與探究．