有限時(shí)間絕對(duì)穩(wěn)定的攻頂彈道設(shè)計(jì)*

王英煥，李錦，張銳

(北京電子工程總體研究所，北京 100854)

0 引言

隨著裝甲裝備防御能力的不斷提升，反坦克導(dǎo)彈必須充分發(fā)揮毀傷性能，導(dǎo)彈命中目標(biāo)時(shí)，其彈軸方向若能大體上同裝甲的法線一致，則能取得最好的破甲效果[1-2]?？紤]到坦克裝甲都具有一定的坡度，導(dǎo)彈若能從上向下攻擊，則將處于更優(yōu)越的態(tài)勢(shì)。這就需要反坦克導(dǎo)彈，針對(duì)裝甲裝備防御最薄弱的頂部實(shí)施大角度乃至垂直的攻頂打擊[3-4]。某新型反坦克導(dǎo)彈，需要在全射程范圍內(nèi)(1～25 km)實(shí)現(xiàn)對(duì)坦克類(lèi)目標(biāo)的有效打擊，這對(duì)制導(dǎo)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)提出了更高的要求，在確保制導(dǎo)精度的同時(shí)，要保證擊中目標(biāo)時(shí)落角盡可能大，控制系統(tǒng)需綜合彈道過(guò)載能力、導(dǎo)引頭框架角約束、導(dǎo)彈飛行末速等進(jìn)行拋物攻頂彈道設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)在1～25 km全射程范圍內(nèi)對(duì)坦克類(lèi)目標(biāo)大入射角攻擊，即在保證制導(dǎo)精度的前提下，近距離1 km射程時(shí)實(shí)現(xiàn)40°攻頂角，其它射程實(shí)現(xiàn)不小于60°的攻頂角[4-11]。

本文將反坦克導(dǎo)彈制導(dǎo)控制系統(tǒng)用Lurie系統(tǒng)進(jìn)行描述，給出該系統(tǒng)有限時(shí)間絕對(duì)穩(wěn)定和剩余飛行時(shí)間之間的關(guān)系，以減小無(wú)效剩余飛行時(shí)間為宗旨，進(jìn)行反坦克導(dǎo)彈全射程拋物攻頂彈道設(shè)計(jì)，并圍繞末端攔截時(shí)的攻擊角度進(jìn)行仿真驗(yàn)證，有效實(shí)現(xiàn)反坦克導(dǎo)彈拋物攻頂彈道設(shè)計(jì)。

1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型

以平面內(nèi)制導(dǎo)為例, 目標(biāo)-導(dǎo)彈相對(duì)運(yùn)動(dòng)的幾何關(guān)系[12]見(jiàn)圖1。由圖1可以導(dǎo)出如下方程:

經(jīng)過(guò)一定的簡(jiǎn)化，可以得到彈體和目標(biāo)的加速度之間的關(guān)系：

式中：wt,wm分別為目標(biāo)和導(dǎo)彈在視線方向的加速度分量;at,am分別為目標(biāo)和導(dǎo)彈在視線法向方向上的分量。

2 制導(dǎo)控制系統(tǒng)的Lurie系統(tǒng)描述

本文重點(diǎn)對(duì)末端尋的制導(dǎo)控制系統(tǒng)進(jìn)行研究。Lurie系統(tǒng)是一類(lèi)典型的非線性系統(tǒng)，它包含一個(gè)線性的前向通道和一個(gè)位于有限扇形區(qū)間內(nèi)的非線性反饋[13-14]。利用Lurie系統(tǒng)來(lái)研究尋的制導(dǎo)控制系統(tǒng)的末端穩(wěn)定性，將其作為末端制導(dǎo)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。

考慮制導(dǎo)盲區(qū)d為常值，τ為目標(biāo)開(kāi)始機(jī)動(dòng)之后的尋的時(shí)間，Δt為盲區(qū)內(nèi)飛行時(shí)間,N為導(dǎo)引系數(shù)。

由圖2,3可知，尋的制導(dǎo)回路可以表示為一個(gè)線性系統(tǒng)和時(shí)變單元的反饋連接，從而可以將其轉(zhuǎn)換成一個(gè)典型Lurie系統(tǒng)，如圖4所示。

其中各符號(hào)定義如下：

(1)

(2)

式中：φ(t,z)滿足不等式αz2≤zφ(t,z)≤βz2，屬于扇形區(qū)域D[α,β]。

對(duì)于圖4所示Lurie系統(tǒng)，根據(jù)圓判據(jù)[15],在扇形區(qū)域D[α,β]內(nèi)，系統(tǒng)有限時(shí)間絕對(duì)穩(wěn)定的充分條件為，存在H(s),使標(biāo)量傳遞函數(shù)

(3)

嚴(yán)格正實(shí)。

考慮接近速度為常值的情形，對(duì)于有限區(qū)間

0≤α=1/tf≤φ(t,z)≤1/tg0=β，

(4)

考慮到α值比較小，有

1+αRe[H(jω)]>0.

(5)

根據(jù)定理1，式(3)嚴(yán)格正實(shí)，等價(jià)于M(s)是Huriwitz陣，且

(6)

(7)

tgo(min)=max{0,-min[B(jω)]}.

(8)

式(8)表明當(dāng)剩余飛行時(shí)間tg0>tg0(min)時(shí)，尋的制導(dǎo)系統(tǒng)是有限時(shí)間絕對(duì)穩(wěn)定的。

考慮彈體動(dòng)態(tài)為

(9)

由于飛行時(shí)間tf值較大，根據(jù)式(7)，尋的制導(dǎo)系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定的邊界為

(10)

由式(10)知，導(dǎo)彈失穩(wěn)時(shí)間主要取決于控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性，在剩余飛行時(shí)間大于失穩(wěn)時(shí)間時(shí)，系統(tǒng)是有限時(shí)間絕對(duì)穩(wěn)定的。由此，可以在末制導(dǎo)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，從推遲無(wú)效剩余飛行時(shí)間角度出發(fā)進(jìn)行末端導(dǎo)引方法和控制策略的優(yōu)化設(shè)計(jì)，以實(shí)現(xiàn)希望的良好設(shè)計(jì)結(jié)果。

3 導(dǎo)引律及控制策略

對(duì)于末端落角約束問(wèn)題，制導(dǎo)控制系統(tǒng)的目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)趨零脫靶和期望命中姿態(tài)角。

采用末段尋的導(dǎo)引方案的反坦克導(dǎo)彈，宜采用拋物彈道方案，文中所研究的彈道即為此類(lèi)型彈道，采用拋物彈道可以保證遠(yuǎn)界彈道落點(diǎn)處的末速。

導(dǎo)彈垂直發(fā)射轉(zhuǎn)彎后，按程序指令爬升，然后彈上根據(jù)數(shù)據(jù)鏈上傳信息及導(dǎo)彈自身飛行狀態(tài)對(duì)彈道進(jìn)行修正，待彈目相對(duì)距離達(dá)到導(dǎo)引頭作用距離時(shí)，導(dǎo)引頭對(duì)目標(biāo)進(jìn)行搜索，當(dāng)導(dǎo)引頭完成對(duì)目標(biāo)的捕獲和跟蹤后，制導(dǎo)控制系統(tǒng)按一定的導(dǎo)引律和控制策略控制導(dǎo)彈實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的攔截。

由于受到導(dǎo)彈可用過(guò)載的限制，當(dāng)采用拋物俯沖攻頂方案時(shí)，射程的遠(yuǎn)近對(duì)命中點(diǎn)落角的影響較大，射程越近彈道越低深，落角就會(huì)越小;遠(yuǎn)界攻擊時(shí)，彈道高度若過(guò)高，導(dǎo)彈就有可能進(jìn)入云層飛行，這又會(huì)影響導(dǎo)引頭的工作性能。因此在全射程拋物彈道設(shè)計(jì)時(shí)，在保證落角的同時(shí)不僅要兼顧可用過(guò)載，同時(shí)還要有效控制導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)時(shí)刻的導(dǎo)彈飛行高度，導(dǎo)引頭的框架角也是彈道設(shè)計(jì)中必須要考慮的約束條件之一。

將導(dǎo)彈與目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程視為一組約束方程，以遭遇時(shí)刻彈體姿態(tài)角和導(dǎo)引頭框架角為終端約束，以脫靶量和能量消耗(需用過(guò)載不大于最大可用過(guò)載)為性能指標(biāo)，來(lái)進(jìn)行導(dǎo)引律設(shè)計(jì)。

本文設(shè)計(jì)一種導(dǎo)引律和一種末端控制策略：非線性攻頂導(dǎo)引律和基于有限時(shí)間絕對(duì)穩(wěn)定的末端控制策略。非線性攻頂導(dǎo)引律在中制導(dǎo)階段使導(dǎo)彈趨向預(yù)測(cè)截獲點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)引頭捕獲并穩(wěn)定跟蹤目標(biāo)后控制導(dǎo)彈以一定的攻頂角對(duì)目標(biāo)進(jìn)行攻擊，當(dāng)待飛時(shí)間tgo>tgo(min)時(shí)使用末端控制策略進(jìn)一步抑制視線角發(fā)散，實(shí)現(xiàn)在保證一定末速的前提下，以給定攻擊角對(duì)目標(biāo)進(jìn)行攔截。

由第2節(jié)的證明過(guò)程可知，系統(tǒng)是絕對(duì)穩(wěn)定的。

式中：K=fK(tgo,ΔR)，Δ=fΔ(tgo,ΔR)，K2=fK2(tgo,ΔR)，Δ_K2=fΔK2(flag_t,tgo,ΔR)，K3=fK3(tgo,ΔR)，K4=fK4(tgo,ΔR)均為待飛時(shí)間tgo和彈目相對(duì)距離ΔR的函數(shù)；ΔRm為末制導(dǎo)距離。

4 仿真結(jié)果及分析

仿真條件：導(dǎo)彈為垂直發(fā)射，全向調(diào)轉(zhuǎn)，射程分別為1，5，10，15，20，25 km目標(biāo)不機(jī)動(dòng)導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)距離2 km。不同射程仿真的初始條件見(jiàn)表1。

彈道設(shè)計(jì)要求：近界1 km時(shí)攻頂角不小于40°，其他射程攻擊角不小于60°，導(dǎo)引頭框架角不大于18°，末速不小于180 m/s，需用過(guò)載不大于5。

表1 不同射程仿真初始條件

圖5為彈道R-t曲線，從圖5可以看出，為實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的大攻擊角，拋物彈道的高度隨著射程的增加而有所增大，仿真中導(dǎo)引開(kāi)機(jī)距離為2 km，所設(shè)計(jì)的遠(yuǎn)界彈道(15 km以上)在導(dǎo)引頭開(kāi)機(jī)時(shí)刻均已處于彈道俯沖段，有效末制導(dǎo)時(shí)間(除1 km彈道)均大于10 s。

圖6為不同彈道末端彈目遭遇時(shí)刻彈體指向角(俯仰角)曲線，從仿真結(jié)果看，所有彈道均實(shí)現(xiàn)末端指向角的要求。

圖7為末制導(dǎo)段導(dǎo)引頭框架角曲線，可見(jiàn)在所有進(jìn)行的彈道仿真中，所設(shè)計(jì)的導(dǎo)引律和末端控制策略均有效的實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)對(duì)導(dǎo)引頭框架角不能大于18°的約束，解決了飛行過(guò)程中為實(shí)現(xiàn)大的俯沖角度而導(dǎo)致的導(dǎo)引頭框架角限幅的問(wèn)題。

表2為末制導(dǎo)仿真設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)情況和約束條件統(tǒng)計(jì)表。從表2的統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出，最大過(guò)載和框架角均出現(xiàn)在近界彈道，為實(shí)現(xiàn)要求的攻擊角，近界彈道的曲率最大;本文所設(shè)計(jì)的導(dǎo)引方法和控制策略可以保證遠(yuǎn)界攻擊目標(biāo)時(shí)，導(dǎo)彈在遭遇時(shí)刻有足夠的飛行末速(不小于200 m/s)，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的有效攔截。

表2 設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)和約束條件統(tǒng)計(jì)

5 結(jié)束語(yǔ)

本文在系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定的前提下，對(duì)某型反坦克導(dǎo)彈進(jìn)行全射程內(nèi)攻頂彈道設(shè)計(jì)，提出了基于落角約束、彈目相對(duì)距離、末端過(guò)載約束等條件下的導(dǎo)引律和控制策略設(shè)計(jì)，以實(shí)現(xiàn)1～25 km全射程內(nèi)的導(dǎo)彈攻擊角要求，設(shè)計(jì)和仿真結(jié)果表明, 所提出的導(dǎo)引律和控制策略在導(dǎo)彈的全射程內(nèi)可實(shí)現(xiàn)近界1 km時(shí)攻頂角不小于40°，其他射程攻擊角不小于60°的設(shè)計(jì)結(jié)果。

參考文獻(xiàn)：

[1] 蔡洪,胡正東,曹淵.具有終端角度約束的導(dǎo)引律綜述[J].宇航學(xué)報(bào),2010,31(2):315-323.

CAI Hong,HU Zheng-dong ,CAO Yuan.A Survey of Guidance Law with Terminal Impact Angle Constraints[J].Journal of Astronautics,2010,31(2):315-323.

[2] RYOO C K,CHO H,TAHK M J.Optimal Guidance Laws with Terminal Impact Angle Constraint[J].Journal of Guidance，Control and Dynamics，2005，28(4)：724-732.

[3] LIU Da-wei,XIA Qun-li,WU Tao,et al.Trajectory Shaping Guidance Law with Terminal Impact Angle Constraint[ J].Journal of Beijing Institute of Technology,2011,20(3):345-350.

[4] 席杰,楊軍,朱學(xué)平.帶落角和導(dǎo)引頭視角約束的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)[J].光電與控制,2014,21(9):26-29.

XI Jie,YANG Jun,ZHU Xue-ping.Guidance Law Design with Impact Angle and View Angle Constraints[J].Elecrtonics Optics & Control,2014,21(9):26-29.

[5] 郭建國(guó),周軍.一種新的具有攻擊角度約束的末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)[J].計(jì)算機(jī)仿真,2013,30(8):70-73.

GUO Jian-guo,ZHOU Jun.Adaptive Robust Guidance Law Design for Air-to-Ground Missile with Impact angle Constraint[J].Computer Simulation ,2013,30(8):70-73.

[6] 李憲強(qiáng),周軍.可攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的終端角度約束制導(dǎo)律[J].固體火箭技術(shù),2015,38(5) :614-621.

LI Xian-qiang ZHOU Jun.Guidance Law with Angle Constraint used to Intercept Maneuvering Targets[J].Journal of Solid Rocket Technology ,2015,38(5):614-621.

[7] 劉大衛(wèi),杜運(yùn)理,溫求遒，等.侵徹制導(dǎo)武器終端多約束最優(yōu)制導(dǎo)律[J].固體火箭技術(shù),2015(2):166-171.

LIU Da-wei,DU Yun-li,WEN Qiu-qiu.Optimal Guidance Law with Multiple Terminal Constrains for Penetrating Guided Weapon[J].Journal of Solid Rocket Technology,2015(2):166-171.

[8] 張旭,周軍,呼衛(wèi)軍.雙紅外導(dǎo)引頭信息融合三維角度約束制導(dǎo)方法[J].航天控制,2014,32(3):12-17.

ZHANG Xu,ZHOU Jun,HU Wei-jun.The Three-Dimensions Angle Constraint Guidance Law Based on Dual-Detectors Information Fusion[J].Aerospace Control,2014,32(3) :12-17.

[9] 周華,卓佳,王長(zhǎng)慶，等.基于角度約束的彈道仿真研究[J].計(jì)算機(jī)仿真,2014,31(10):76-79.

ZHOU Hua,ZHUO Jia,WANG Chang-qing,et al.Study on Ttrajectory Simulation with Impact Angle Constraint[J].Computer Simulation,2014,31(10):76-79.

[10] 張意，馬清華.反坦克導(dǎo)彈近距離攻頂彈道設(shè)計(jì)[J] .彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào)，2010，30(2)187-189.

ZHANG Yi,MA Qing-hua.Short Range Top Attack Trajectory Design for Anti Tank Missile[J].Journal of Projectiles,Rockets,Missiles and Guidance,2010,30(12)：1432-1435.

[11] 韓艷鏵，徐波.攻擊地面機(jī)動(dòng)目標(biāo)的一種擊頂制導(dǎo)策略[J].兵工學(xué)報(bào),2009,30(3)：324-328.

HAN Yan-hua ,XU Bo.A Guidance Law for Overhead Attacking Surface Maneuver Target[J].Acta Armamentarii,2009,30(3)：324-328.

[12] 季登高,姚郁,賀風(fēng)華.基于穩(wěn)定性分析的尋的制導(dǎo)約束問(wèn)題研究[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2007,39(5):678-681.

JI Deng-gao.YAO Yu,HE Feng-hua.Research on Design Constraints of Homing Guidance System Based on Stability Analysis[J].Journal of Harbin Institute of Technology,2007,39(5):678-681.

[13] TESIA,VOCOMPA.Robust Stability of Lurie Control Systems in Parameter[J].Automatica,1991,27(1):147-151.

[14] 周曉航.兩類(lèi)Lurie時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與濾波器設(shè)計(jì)[D].杭州：杭州電子科技大學(xué)，2014.

ZHOU Xiao-hang.Stability Analysis and Filter Design for Two Class of Lurie Systems With Time-Delays[D].Hangzhou:Hangzhou Dianzi University,2014.

[15] KHALIL H K.Nonlinear Systems[M ].3rd ed.NJ:Prentice Hall,2002.