一類閉環(huán)切換微分系統(tǒng)解的存在唯一性

摘 要：合理引進解，獲得了一類切換機制依賴于狀態(tài)的線性微分切換系統(tǒng)的初值問題的解的存在唯一性，為進一步建立閉環(huán)切換系統(tǒng)的定性理論奠定了扎實的基礎。

關鍵詞：閉環(huán)切換系統(tǒng)；存在性；唯一性

中圖分類號：O175.12

文獻標識碼： A

在管理和金融、航空航天、工程等領域，許多問題往往兼具連續(xù)動態(tài)與離散動態(tài)并相互作用的特征。在數(shù)學上，人們往往用切換系統(tǒng)刻畫此類問題。正因如此，切換系統(tǒng)是兼具連續(xù)動態(tài)和離散動態(tài)且相互作用的典型的混雜系統(tǒng)，具有廣泛應用背景，其研究一直方興未艾。

1966年，H.S. Winstsenhause[1] 在IEEE AC 發(fā)表的文章《A Class of Hybrid-state Continuous-time Dynamic Systems》標志著混雜系統(tǒng)理論研究的開始。1986年由美國國家基金會和IEEE控制協(xié)會召集美國控制界知名學者和研究人員，在美國加州Santa Clara大學舉行的一次關于控制科學今后發(fā)展情況的專題研討會上，首次提出了關于混雜系統(tǒng)的概念?；祀s動態(tài)系統(tǒng)同時描述連續(xù)動態(tài)和離散動態(tài)，因而較為科學合理地反映了眾多的實際問題，受到人們普遍重視。隨著混雜動態(tài)系統(tǒng)研究的深入，1998年，Antsaklis[2]在IEEE AC的混雜動態(tài)系統(tǒng)?？囊灾薪o出了混雜動態(tài)系統(tǒng)的三種類型，其中之一就是切換系統(tǒng)。

切換系統(tǒng)[3]是由若干子系統(tǒng)以及切換機制構成的一類特殊且十分重要的混合動態(tài)系統(tǒng)，它通過切換機制的控制使切換系統(tǒng)在各個子系統(tǒng)之間切換從而實現(xiàn)預定目標。切換系統(tǒng)通常是由下面微分方程描述：x˙=fα（x），其中{fp：p∈P}表示切換系統(tǒng)包含的子系統(tǒng)函數(shù)，P為指標集，映射α：[0，T]×Rn→P表示切換機制。近年來，切換系統(tǒng)成為國際控制界、計算機界以及應用數(shù)學界的熱門課題[4-9]。

根據(jù)切換機制的特點，切換系統(tǒng)可分為兩大類：切換時刻固定（開環(huán)）和切換時刻依賴于狀態(tài)（閉環(huán)）。對于切換時刻固定的切換系統(tǒng)的研究已比較成熟，研究成果主要集中于切換系統(tǒng)穩(wěn)定性[10-13]、能觀能達性[14]和最優(yōu)控制[15]。隨著智能化信息化時代的發(fā)展，開環(huán)切換系統(tǒng)難以滿足實際要求，如無人駕駛飛機、無人駕駛汽車等，而閉環(huán)切換系統(tǒng)是解決此類問題的數(shù)學模型，但閉環(huán)切換系統(tǒng)因其復雜性尚未被深入研究。

本文正是基于此，提出并研究如下切換時刻依賴于狀態(tài)的切換系統(tǒng)模型

參考文獻：

[1]H.S.Winstesenhausen. A class of hybrid-state continuous-time dynamics[J]. IEEE Transaction Automatic Control， 1966，11（6）：161-167.

[2]P.J.Antsaklis， A.Nerode. Hybrid control systems： An introductory discussion to the special issue[J]. IEEE Transaction on Automatic Control， 1998，43（4）：457-459.

[3]D. Liberzon and A.S.Morse. Basic problems in stability and design of switched systems[J]. IEEE Control System Magazine，1999（10）：59-70.

[4]Branicky.M.S. Multiple Lyapunov functions and other analysis tools for switched and hybrid systems[J]. IEEE Transaction on Automatic Control， 1998，43（4）：475-482.

[5]Ling Hou， Anthony N. Michel， Hui Ye. Stability analysis of switched systems[J]. IEEE Conference on Decision and Control， 1996，2（2）：1208-1212.

[6]Peleties.P， Decarlo.R.A. Asymptotic stability of m-switched systems using Lyapunov function[J]. IEEE Conference on Decision and Control，1991（4）：3438-3439.

[7]Andrii Mironchenko， Fabian Wirth， Kai Wulff. Stabilization of switched linear differential algebraic equations and periodic switching[J]. IEEE Transaction on Automatic Control， 2015，60（8）：2102-2113.

[8]Marwen Kermani， Anis Sakly. On the stability analysis of switched nonlinear systems with time varying delay under arbitrary switching[J]. Springer， 2017，30（2）： 329-346.

[9]董瑩瑩，錢偉懿.一類脈沖控制系統(tǒng)解的存在性與唯一性[J].渤海大學學報（自然科學版），2008，29（4）：354-357.

[10]Liberzon D，Morse A S.Basic problems in stability and design of switched systems[J].IEEE Control Systems Magazine，1999，19（5）：59-70.

[11]Liberzon D，Hespanha J，Morse A.Stability of switched systems： a Lie-algebraic condition[J].Systems Control Letter，1999，37（3）：117-122.

[12]Lu J，Brown LJ.A multiple Lyapunov functions approach for stability of switched systems[J].American Control Conference，2010，58（8）：3253-3256.

[13]Peleties P，DeCarlo R.Asymptotic stability of m-switched systems using Lyapunov functions[J].IEEE Conference on Decision and Control， 1991，4：3438-3439.

[14]Ezzine， Haddad. Controllability and observability of hybrid systems[J]. International Journal of Control，1989（49）：2045-2055.

[15]Krener A. A generalization of Chow’s theorem and the bang-bang theorem to nonlinear control problems[J]. SIAM Journal on Control， 1974，12（1）：43-52.

（責任編輯：曾 晶）