高職高專建筑工程技術(shù)類專業(yè)關(guān)于有效數(shù)字的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計

鄭曉珍

摘 要：為了取得準確的分析結(jié)果，不僅要準確測量，而且還要正確記錄與計算。所謂正確記錄是指記錄數(shù)字的位數(shù)。因為數(shù)字的位數(shù)不僅表示數(shù)字的大小，也反映測量的精確程度。有效數(shù)字具體地說，是指在分析工作中實際能夠測量到的數(shù)字。能夠測量到的是包括最后一位估計的，不確定的數(shù)字。我們把通過直讀獲得的準確數(shù)字叫做可靠數(shù)字；把通過估讀得到的那部分數(shù)字叫做存疑數(shù)字。把測量結(jié)果中能夠反映被測量大小的帶有一位存疑數(shù)字的全部數(shù)字叫有效數(shù)字。

關(guān)鍵詞：準確測量；正確記錄；有效數(shù)字

一、有效數(shù)字的含義及位數(shù)

為了取得準確的分析結(jié)果，不僅要準確測量，而且還要正確記錄與計算。所謂正確記錄是指記錄數(shù)字的位數(shù)。因為數(shù)字的位數(shù)不僅表示數(shù)字的大小，也反映測量的精確程度。

如某物長0.5m，其中0.5是正確的，0位可疑，假設(shè)0.502是由0.52近似得來的，也就是說，此物長的絕對誤差為-0.02，相對誤差為：[δ=∣-0.002∣0.50×100%=0.4%]。

若寫成0.5m，假設(shè)0.5是由0.52近似得來的，也就是說，此物長的絕對誤差為-0.02，相對誤差為：[δ=∣-0.02∣0.50×100%=4%]。

可見，多一位或少一位零，從數(shù)字角度考慮關(guān)系不大，但反映的精密程度前者卻是后者的10倍。

有效數(shù)字具體地說，是指在分析工作中實際能夠測量到的數(shù)字。能夠測量到的是包括最后一位估計的，不確定的數(shù)字。我們把通過直讀獲得的準確數(shù)字叫做可靠數(shù)字；把通過估讀得到的那部分數(shù)字叫做存疑數(shù)字。把測量結(jié)果中能夠反映被測量大小的帶有一位存疑數(shù)字的全部數(shù)字叫有效數(shù)字。

另外在數(shù)學(xué)中，有效數(shù)字是指從一個數(shù)的左邊第一個非0數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字。就是一個數(shù)從左邊第一個不為0的數(shù)字數(shù)起到末位數(shù)字為止，所有的數(shù)字（包括0，科學(xué)計數(shù)法不計10的n次方），稱為有效數(shù)字。簡單的說，把一個數(shù)字前面的0都去掉，從第一個正整數(shù)到精確的數(shù)位止所有的都是有效數(shù)字了。

例如：1.0006，0.5000，0.678，0.00678，32.008，2.017×106，0.0002%這七個數(shù)字的有效數(shù)字分別是5個，4個，3個，3個，5個，4個，1個。

二、有效數(shù)字的修約規(guī)則

在處理數(shù)據(jù)過程中涉及的各測量值的有效數(shù)字位數(shù)可能不同，因此需要按下面所述的計算規(guī)則，確定各測量值的有效數(shù)字位數(shù)。各測量值的有效數(shù)字位數(shù)確定之后，就要將它后面多余的數(shù)字舍棄。舍棄多余數(shù)字的過程稱為“數(shù)字修約”，它所遵循的規(guī)則稱為“數(shù)字修約規(guī)則”。在過去，人們習(xí)慣采用“四舍五入”數(shù)字修約規(guī)則，現(xiàn)在則通行“四舍六入五成雙”規(guī)則。四舍五入規(guī)則的最大缺點是見五就進，它必然會使修約后的測量值系統(tǒng)誤差偏高。而采用“四舍六入五成雙”規(guī)則，逢五時有舍有入，則由五的舍入所引起的誤差本身可自相抵消。

1.擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字小于或等于4時則舍去，即保留的各位數(shù)字不變。

練習(xí)1：將數(shù)字12.1498修約到一位小數(shù)。

解：12.1498→12.1。

練習(xí)2：將數(shù)字12.1498修約成兩位有效數(shù)字。

解：12.1498→12。

2.擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字大于或等于6時則進一，即保留的末位數(shù)字加1。

練習(xí)3：將數(shù)字12.1498修約到兩位小數(shù)。

解：12.1498→12.15。

練習(xí)4：將數(shù)字7.396修約到兩位小數(shù)。

解：7.396→7.40。

3.擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字是5，而其后跟有并非全部為0的數(shù)字時，則進一，即保留的末位數(shù)字加1。

練習(xí)5：將數(shù)字2.451修約到兩位有效數(shù)字。

解：2.451→2.5。

練習(xí)6：將數(shù)字10.502修約到個位數(shù)。

解：10.502→11。

4.擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字為5，而后面無數(shù)字或皆為0時，若所保留的末位數(shù)字為奇數(shù)（1，3，5，7，9）則進一，為偶數(shù)（0，2，4，6，8）則舍棄。

練習(xí)7：將數(shù)字1.4500修約到一位小數(shù)。

解：1.4500→1.4。

練習(xí)8：將數(shù)字0.375修約到兩位小數(shù)。

解：0.375→0.38。

注：（1）在修約數(shù)字時，只能對原始數(shù)據(jù)修約到所需位數(shù)，而不能連續(xù)修約。例如：要把17.46修約為兩位數(shù)，只能一次修約為17，而不能寫成17.46→17.5→18。

（2）對于負數(shù)的修約規(guī)則，先將其取絕對值而后按照正數(shù)的修約規(guī)則進行修約，最后加上負號就可以了。

三、有效數(shù)字的計算規(guī)則

1.有效數(shù)字的加減法計算規(guī)則。幾個數(shù)相加減時，和或差的有效數(shù)字的保留，應(yīng)以小數(shù)點后位數(shù)最少的數(shù)據(jù)為依據(jù)，即決定于絕對誤差最大的那個數(shù)據(jù)。例如：0.0121+25.64-1.05782=24.59428。應(yīng)以25.64為依據(jù)，即原式≈25.59。

2.有效數(shù)字的乘除法計算規(guī)則。幾個數(shù)據(jù)相乘或相除時，它們的積或商的有效數(shù)字位數(shù)的保留必須以各數(shù)據(jù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)據(jù)為準。例如：1.54×31.76=48.9104≈48.9。

在乘除運算過程中，首位數(shù)為“8”或“9”的數(shù)據(jù)，有效數(shù)字位數(shù)可多取1位。例如：8.37的有效數(shù)字是三位，可以看作是四位；0.09812的有效數(shù)字是四位，可以看作是五位。

3.有效數(shù)字的乘方和開方計算規(guī)則。對數(shù)據(jù)進行乘方或開方時，所得結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)保留應(yīng)與原數(shù)據(jù)相同。例如：6.772=45.1584≈45.2（保留3位有效數(shù)字），[9.65=3.10644……≈3.11]（保留3位有效數(shù)字）。

4.有效數(shù)字的對數(shù)計算規(guī)則。所取對數(shù)的小數(shù)點后的位數(shù)（不包括整數(shù)部分）應(yīng)與原數(shù)據(jù)的有效數(shù)字的位數(shù)相等。例如：[log102=2.00860017≈2.009]（小數(shù)點后保留3位有效數(shù)字）。

5.對于一些分數(shù)、常數(shù)、自然數(shù)可以視為足夠有效，不考慮其位數(shù)。

6.在混合計算中，有效數(shù)字的保留以最后一步計算的規(guī)則執(zhí)行。