圖像法在高中數(shù)學(xué)解題中的運用

陳懌堯 湖北省沙市中學(xué)

1 圖像法簡述

所謂圖像法，即是指一種利用圖像來表達(dá)各種數(shù)學(xué)問題內(nèi)在的規(guī)律和過程，并對其進(jìn)行分析，從而更好解答問題的方法。其是數(shù)學(xué)的一般方法，在不同的數(shù)學(xué)分支中有著不同的稱呼，代數(shù)中稱其為圖像法，解析幾何中稱其為坐標(biāo)法。相較于普通代數(shù)方法，圖像法具有十分明顯的直觀性特征。因此在解答數(shù)學(xué)問題的時候，將其引入，就能更好地理解題意、尋找解題思路、避免繁冗運算，對于檢驗解題結(jié)果也很有好處。因此其被廣泛運用在方程、不等式、函數(shù)等各類數(shù)學(xué)問題的解答之中。

2 圖像法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

2.1 圖像法在高中數(shù)學(xué)函數(shù)相關(guān)問題中的應(yīng)用

圖像法在高中數(shù)學(xué)函數(shù)相關(guān)問題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面，即求函數(shù)定義域、值域的問題和函數(shù)問題。以下一一舉例進(jìn)行說明。

其一，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一個十分重要的知識點，高中生對其的學(xué)習(xí)、理解和記憶就十分倚重于函數(shù)圖像，因此運用圖像法來解答求函數(shù)定義域、值域的問題就天然就具有可行性和方便性。

從已經(jīng)給出的函數(shù)公式可以發(fā)現(xiàn)，其如果運用代數(shù)法進(jìn)行求解，解題計算過程就會十分復(fù)雜繁瑣。而且也可以發(fā)現(xiàn)，題中的函數(shù)公式一旦經(jīng)過變化，就能夠?qū)⑵滢D(zhuǎn)變?yōu)樾甭使侥Ｊ?，從而將問題要轉(zhuǎn)變?yōu)樾甭蕟栴}，再通過對函數(shù)圖像的分析就可以很快地得出最終答案。

由此公式可知，y其實就是A（-2，0）、P（sinx，consx）這兩點連線的斜率。

又∵點P在單位圓上，且y≥0，∴當(dāng)該點處在切點B的時候，斜率為，此時也是斜率最大之時。

圖1

又由圖可知，當(dāng)點P在點C的時候，斜率為KAC=0，此時斜率最小。則可知，函數(shù)）的值域為

其二，借助圖像法，能夠很快地解決如求解函數(shù)遞減區(qū)間之類的問題。

圖2

由圖像可知，函數(shù)U=-2x2-4x的遞減區(qū)間為{x|-2＜x＜1}，又∵函數(shù)y= 為減函數(shù)，∴根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的遞減區(qū)間為{x|-2＜x＜1}。

2.2 圖像法在高中數(shù)學(xué)求最值問題中的應(yīng)用

最值問題不僅是高中數(shù)學(xué)中一個比較重要，高考基本上年年都會有的問題，也是一個綜合性比較強、解答難度比較大的問題。其通常以函數(shù)、實際問題等形式出現(xiàn)，在解決的時候，就可以嘗試引入圖像法。

2.3 圖像法在高中數(shù)學(xué)數(shù)列相關(guān)問題中的應(yīng)用

數(shù)列中等差數(shù)列的一般通項公式為an=a1+（n-1）d，其可變形為an=d.n+（a1-d），其與一次函數(shù)的一個公式y(tǒng)=kx+b很一定的相似性。由此可知，等差數(shù)列的通項公式其實也是一個關(guān)于自變量n（n∈N）的函數(shù)，其中由于自變量的特殊性，（n，an）其實是一條直線上的點，這一函數(shù)的圖像其實就是一個點集，其由這條直線上一群孤立的點構(gòu)成，而這條直線則由一次函數(shù)y=d.x+（a1-d）確定。由此可知，等差數(shù)列中的公差d其實就是該條直線上前述那些孤立的點所構(gòu)成的點集的斜率。假設(shè)該點集上有另外一點為（m，am），則有公式

3 結(jié)束語

圖像法是高中數(shù)學(xué)中解答問題的一種重要方法，其不僅能夠幫助高中生更好、更清晰地了解題意，也能幫助簡化解題過程、提高解題效率和質(zhì)量。因此在諸多的如函數(shù)、求最值、方程、數(shù)列等方面的高中數(shù)學(xué)問題的解答中有著十分廣泛的運用。

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[3]陳瑩.立足函數(shù)觀點 觀察數(shù)列問題——例談用函數(shù)圖像性質(zhì)解決數(shù)列問題[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)), 2013(9):15-17.