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    基于非線性SUR模型的獼猴桃生長(zhǎng)曲線研究

    2018-04-26 11:05張莉莉趙喜梅
    農(nóng)業(yè)與技術(shù) 2018年6期
    關(guān)鍵詞:非線性獼猴桃

    張莉莉 趙喜梅

    摘 要:本文從建模的角度分析“碧玉”獼猴桃果實(shí)縱橫徑的生長(zhǎng)數(shù)據(jù),給出適合該數(shù)據(jù)的一種非線性SUR模型。將縱徑和橫徑的生長(zhǎng)看成一個(gè)整體,利用非線性SUR模型模擬其生長(zhǎng)過(guò)程,通過(guò)R語(yǔ)言編寫(xiě)程序,求出模型中參數(shù)的極大似然估計(jì)及模型的擬合優(yōu)度。得到獼猴桃果實(shí)縱徑和橫徑的生長(zhǎng)曲線,說(shuō)明本文非線性SUR模型的有效性。

    關(guān)鍵詞: 非線性;SUR模型;獼猴桃;生長(zhǎng)曲線

    中圖分類號(hào):O212 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A DOI:10.11974/nyyjs.20180333003

    引言

    SUR(Seemingly Unrelated Regression)回歸模型[1]也稱半相依回歸模型,是聯(lián)立方程模型,方程之間因誤差項(xiàng)的跨方程相關(guān)而互相聯(lián)系,在生物、遺傳、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域都有重要應(yīng)用[2]。有關(guān)SUR模型的統(tǒng)計(jì)研究已有很多成果,如文獻(xiàn)[3-5],其中文獻(xiàn)[5]系統(tǒng)研究了線性和非線性SUR模型及其在醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用,并指出當(dāng)模型中方程間的非線性函數(shù)形式不同時(shí),SUR模型下的參數(shù)估計(jì)優(yōu)于普通非線性最小二乘估計(jì)。

    對(duì)植物及其果實(shí)的生長(zhǎng)動(dòng)態(tài)進(jìn)行研究有助于掌握植物的生長(zhǎng)發(fā)育規(guī)律,而植物生長(zhǎng)曲線的擬合可以直觀的表現(xiàn)其生長(zhǎng)動(dòng)態(tài)。目前有關(guān)植物生長(zhǎng)動(dòng)態(tài)的研究已有大量成果,如文獻(xiàn)[6]在溫室與露地2種環(huán)境下對(duì)無(wú)核早紅葡萄的生長(zhǎng)動(dòng)態(tài)進(jìn)行了比較研究,文獻(xiàn)[7]利用二次曲線分別對(duì)“碧玉”獼猴桃果實(shí)縱徑和橫徑的生長(zhǎng)動(dòng)態(tài)進(jìn)行了曲線擬合。

    針對(duì)文獻(xiàn)[7]提供的生長(zhǎng)數(shù)據(jù),本文基于非線性SUR模型,充分利用模型中不同方程提供的信息,將縱徑和橫徑的生長(zhǎng)看成一個(gè)整體,利用R語(yǔ)言(版本3.3.3)編寫(xiě)程序,運(yùn)用擬牛頓算法(BFGS)得到了非線性SUR模型參數(shù)的極大似然估計(jì)值,繪制出“碧玉” 獼猴桃果實(shí)縱徑和橫徑的生長(zhǎng)曲線,進(jìn)一步分析了獼猴桃果實(shí)縱徑和橫徑的生長(zhǎng)規(guī)律。

    1 非線性SUR模型

    一般的,非線性SUR模型的形式[8]為

    (1)

    其中,yi=(yi1,yi2,…,yin)為的觀測(cè)數(shù)據(jù),ti=(ti1,ti2,…,tin)為的觀測(cè)時(shí)間,是待估參數(shù)向量,是非線性函數(shù),ei=(ei1,ei2,…,ein)為的誤差向量,i=1,2,…,m,V為協(xié)方差矩陣。

    本文考慮如下含2個(gè)方程的非線性SUR模型

    (2)

    其中是第1個(gè)方程中的待估參數(shù),ai(i=0,1,2,3,4)是第2個(gè)方程中的待估參數(shù);協(xié)方差矩陣表示∑與In的

    Kronecker乘積,

    模型(2)中的2個(gè)方程的非線性函數(shù)表達(dá)式不統(tǒng)一,且隨機(jī)誤差具有相關(guān)性 。如果不同方程的非線性函數(shù)表示不同群體的擬合曲線,則此模型表示第1個(gè)群體的擬合曲線為L(zhǎng)ogistic曲線,第2個(gè)群體的擬合曲線為多項(xiàng)式曲線,均可表示群體的“S”型生長(zhǎng)曲線。

    如記

    則模型(2)可表示為

    (3)

    2 參數(shù)估計(jì)及擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

    記模型(3)中的未知參數(shù)向量為

    ,其對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

    其中,

    本文中,模型(3)中未知參數(shù)向量包含11個(gè)參數(shù),極大似然估計(jì)記為

    要求其具體表達(dá)式很繁瑣,甚至有些參數(shù)的極大似然估計(jì)并求不出顯式解,對(duì)于具體的實(shí)際問(wèn)題,可借助于計(jì)算機(jī)軟件求解更為方便。本文基于R語(yǔ)言利用擬牛頓算法(BFGS)求各參數(shù)的極大似然估計(jì)值。

    將參數(shù)的極大似然估計(jì)值代入模型中各方程,便可得2個(gè)相關(guān)群體的擬合曲線,進(jìn)而可對(duì)2群體的生長(zhǎng)動(dòng)態(tài)進(jìn)行整體把握。對(duì)每一方程或群體的擬合曲線,利用決定系數(shù)

    和統(tǒng)計(jì)量來(lái)

    判斷曲線擬合的優(yōu)劣程度,其中表示第個(gè)個(gè)體的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù),為擬合值。越接近于1,或?qū)o定的顯著性水平,若,則表示曲線擬合的越好[9]。

    3 獼猴桃果實(shí)生長(zhǎng)趨勢(shì)分析

    不同品種的獼猴桃果實(shí),其生長(zhǎng)曲線可能會(huì)不同。一般獼猴桃果實(shí)縱橫徑的生長(zhǎng)趨勢(shì)呈“S”或“雙S”型曲線[10]。有關(guān)不同品種獼猴桃果實(shí)的生長(zhǎng)曲線已有大量文獻(xiàn)對(duì)其研究,但大多都是單獨(dú)描述某一性狀且只描述其生長(zhǎng)的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程,繪制出折線圖,并沒(méi)有給出擬合度較高的生長(zhǎng)曲線。文獻(xiàn)[7]以直線和二次多項(xiàng)式分別對(duì)獼猴桃果實(shí)縱徑和橫徑的生長(zhǎng)曲線進(jìn)行擬合,盡管二次多項(xiàng)式的擬合優(yōu)度R2較高,均在0.9以上,但實(shí)際上其擬合效果并不好。

    同一果實(shí)的縱徑和橫徑的生長(zhǎng)存在高度相關(guān)性,將縱徑和橫徑的生長(zhǎng)看成一個(gè)整體,而不是孤立的分析他們各自的生長(zhǎng)過(guò)程更符合實(shí)際。針對(duì)文獻(xiàn)[7]中的“碧玉”獼猴桃果實(shí)縱橫徑的生長(zhǎng)數(shù)據(jù)(圖1、表1),縱徑與橫徑的相關(guān)系數(shù)為0.9883095,通過(guò)其散點(diǎn)圖(圖1)發(fā)現(xiàn),縱橫徑的生長(zhǎng)趨勢(shì)均呈“S”型曲線,利用R語(yǔ)言編寫(xiě)程序?qū)v橫徑生長(zhǎng)數(shù)據(jù)單獨(dú)進(jìn)行曲線擬合,發(fā)現(xiàn)利用Logistic曲線和四次多項(xiàng)式曲線分別描述其生長(zhǎng)趨勢(shì)效果較好。為使得擬合效果更好,本文選擇在非線性SUR模型(2)的框架下,將縱徑和寬橫徑的生長(zhǎng)看成一個(gè)整體,充分利用不同方程提供的信息,在R語(yǔ)言中,根據(jù)擬牛頓算法,求出模型(2)中各參數(shù)的極大似然估計(jì)值(表2),進(jìn)而得到縱 徑和橫徑生長(zhǎng)的擬合數(shù)據(jù)(表1),擬合縱徑和橫徑的生長(zhǎng)曲線(圖1),并求出模型的擬合優(yōu)度(表2),為獼猴桃果實(shí)的生長(zhǎng)發(fā)育過(guò)程提供一定的參考,也進(jìn)一步說(shuō)明本文模型的有效性。

    根據(jù)參數(shù)的估計(jì)值(表2)可得,縱徑的擬合曲線為,橫徑的曲線為

    兩曲線的擬合效果都很好(圖1),且擬合優(yōu)度也較高,統(tǒng)計(jì)量都小于0.05水平下的臨界值,也都接近于1,優(yōu)于文獻(xiàn)[7]的結(jié)果。

    4 討論與結(jié)論

    本文以“碧玉”獼猴桃果實(shí)縱橫徑的生長(zhǎng)數(shù)據(jù)[7]為例,給出擬合曲線及曲線的擬合優(yōu)度,從建模的角度描述了獼猴桃果實(shí)縱橫徑的生長(zhǎng)過(guò)程,也說(shuō)明了本文模型的有效性。

    非線性SUR模型(1)將聯(lián)立的非線性方程看成整體來(lái)研究,不僅利用了其他方程提供的附加信息,而且可以得出模型中各方程的參數(shù)估計(jì)及不同方程間相關(guān)程度的估計(jì),可用于描述方程內(nèi)部具有方差齊性而跨方程間具有相關(guān)性的實(shí)際問(wèn)題。

    參考文獻(xiàn)

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    作者簡(jiǎn)介:張莉莉(1981–),女,山西廣靈人,碩士,講師,研究方向:概率統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用。

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