數(shù)學(xué)反思：學(xué)生有效學(xué)習(xí)的應(yīng)然追求

錢惠峰

在初三數(shù)學(xué)中考專題復(fù)習(xí)中，教師普遍會(huì)讓學(xué)生進(jìn)行大容量訓(xùn)練，學(xué)生深深陷入題海，但中考成績(jī)提升卻不明顯。究其原因，很大程度上是因?yàn)榻處熡米约旱乃季S代替了學(xué)生的思維，學(xué)生缺乏個(gè)性化的理解，沒有真正內(nèi)化為自己的認(rèn)知。

撰寫數(shù)學(xué)小反思，能有效地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，最大程度地激發(fā)學(xué)生的思維，以學(xué)生思維代替教師思維，變教師習(xí)題教學(xué)為學(xué)生“講題活動(dòng)”，變教師單向傳授為學(xué)生相互傾聽、學(xué)生間多向“思維碰撞”。如此，學(xué)生的解題思路變得更為開闊，便于尋找最優(yōu)化的解題方法，同時(shí)解題能力大大提高，教師也從學(xué)生的交流中獲得啟發(fā)，受益匪淺。

一、什么是數(shù)學(xué)小反思

這里說(shuō)的小反思是特指師生在講題活動(dòng)中，學(xué)生記錄對(duì)某個(gè)解題方法的思考軌跡；或在別人解題思路的基礎(chǔ)上獲得靈感，找到更好的解題方法，并加以歸納總結(jié)，提出一般意義的通性通法，給別人以某種程度上的指點(diǎn)和借鑒；或陳述自己解題的心路歷程，以及所走的彎路，讓別人引以為戒。這樣的數(shù)學(xué)小反思形式多樣，內(nèi)容具體真實(shí)，目的明確，針對(duì)性強(qiáng)，有話則長(zhǎng)，無(wú)話則短，以文字短小、觀點(diǎn)鮮明、展示思維亮點(diǎn)見長(zhǎng)。

二、數(shù)學(xué)小反思的意義

寫數(shù)學(xué)小反思有利于提高學(xué)生解題能力，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。學(xué)生解題能力的提高是教師追求的重要目標(biāo)，但這一目標(biāo)在某種程度上說(shuō)并不是教師“教”出來(lái)的，而是學(xué)生通過(guò)自己的習(xí)得—體悟—內(nèi)化逐步形成的。小反思正是學(xué)生吐露解題心聲的平臺(tái)，學(xué)生把自己的想法真實(shí)地記錄下來(lái)，并從他人的解法中得到啟發(fā)，進(jìn)行思路優(yōu)化組合，在比較中逐漸找到最優(yōu)化的解法，這是一個(gè)正確、全面認(rèn)識(shí)事物的認(rèn)知過(guò)程，任何人都不能替代。

同時(shí)，它還有利于鍛煉學(xué)生的文字表達(dá)能力，提高寫作素養(yǎng)與探究問(wèn)題的能力；有利于學(xué)生準(zhǔn)確表達(dá)自己的觀點(diǎn)，捋順?biāo)悸?，為講題作充分的準(zhǔn)備；有利于培養(yǎng)學(xué)生善于思考、大膽探索的好習(xí)慣，增強(qiáng)智力。

以下是一位學(xué)生寫的數(shù)學(xué)小反思：

【案例1】已知直角ΔOAB三條邊分別為3、4、5（圖1），點(diǎn)P是ΔOAB內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，它到三邊的最小距離為1，那么點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡是什么圖形？它的周長(zhǎng)為多少？

由題意可知，滿足要求的點(diǎn)圍成的封閉圖形是ΔDEF，即求它的周長(zhǎng)，可先找出各個(gè)“關(guān)鍵點(diǎn)”，此點(diǎn)到ΔAOB各邊的距離為1，可先考慮一邊，若此點(diǎn)到OA的距離為1，則臨界點(diǎn)在與OB、AB距離為1的地方，可知在∠AOB和∠OAB的平分線上。同理，∠OBA的平分線也有一點(diǎn)，如此便化無(wú)形為有形，又顯而易見它與ΔAOB相似，故只需求得任意一邊長(zhǎng)便能算出其余的長(zhǎng)，可謂“萬(wàn)事俱備，只欠東風(fēng)”。先將DE雙向延長(zhǎng)，出其不意，將DE牢牢地與已知三角形綁定，明眼人一下就能看出EH還未知底細(xì)，可作EI⊥AB，對(duì)其行“十面埋伏”之計(jì)，由于ΔEIH∽ΔBOA，求得GH，鑒于GH、GD、EH皆已求出，DE便不攻自破，繼而DF、EF也可求出，周長(zhǎng)也不在話下。

【點(diǎn)評(píng)】小作者的文筆優(yōu)美，引經(jīng)據(jù)典，表達(dá)簡(jiǎn)潔扼要，解題路清晰有條理，是一段不錯(cuò)的數(shù)學(xué)美文。

三、怎樣撰寫數(shù)學(xué)小反思

1.師生間對(duì)話（含生生對(duì)話）中記錄精彩，師生共享

【案例2】如圖2，把一個(gè)矩形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA、OC分別落在x軸、y軸上，連接OB，將紙片OABC沿OB折疊，使點(diǎn)A落在A'點(diǎn)處，若OB=，tan∠BOC=0.5，求點(diǎn)A'坐標(biāo)。

求點(diǎn)的坐標(biāo)，是中考常考的題型，本題求法具有典型性，體現(xiàn)一般的數(shù)學(xué)思想和方法，請(qǐng)學(xué)生講題是很好的嘗試。

師：如何求點(diǎn)A'坐標(biāo)？

生：求點(diǎn)的坐標(biāo)，通常的方法是作垂線，過(guò)A'作HI⊥x軸。

師：作垂線是關(guān)鍵的一步！

生：接下來(lái)就是轉(zhuǎn)化為求線段HO、A'H的長(zhǎng)度，一般可以考慮用勾股定理，求出三角形A'HO三邊的長(zhǎng)度。

師：這三邊中有沒有已知線段？

生：A'O=1，OH可設(shè)為x，下面的問(wèn)題就是如何用x表示A'H。

師：說(shuō)得好，如何表示A'H是解決問(wèn)題的關(guān)鍵！

生：ΔBIA'∽ΔA'HO，A'I=2x，A'H可以用x表示出來(lái)！

師：這位學(xué)生的思路很開闊，一下子抓住了問(wèn)題的要害！

生：下面使用勾股定理，建立方程即可，即 。

學(xué)生們都會(huì)心地點(diǎn)頭。

師：有無(wú)其他解法或其他思路？

生：ΔABO翻折至ΔA'OB處，聯(lián)想到翻折中全等三角形，A'Q=CQ，設(shè)A'Q=x，在三角形A'OQ中，可先求出x，作A'H'⊥OQ，于是A'H'是三角形A'OQ的高，這是一張經(jīng)典圖（圖3），求A'H'自然手到擒來(lái)。

大多數(shù)學(xué)生都點(diǎn)頭認(rèn)同。

生：由翻折的特征，AJ=A'J，OA=1，且tan∠BOC=tan∠OAJ

=0.5，可求出OJ、AJ，再利用ΔOAJ與ΔAA'H相似，即可求出A'H、OH。（圖4）

師：太精彩了?。ù蠹覠崃夜恼疲┰撏瑢W(xué)抓住翻折的特征，巧妙地把tan∠BOC轉(zhuǎn)化為，再次用相似知識(shí)叩開求線段長(zhǎng)度之大門，這種解法具有一般指導(dǎo)意義。

【點(diǎn)評(píng)】本題求線段長(zhǎng)度單純使用一次相似知識(shí)無(wú)法完成，單純使用一次勾股定理也無(wú)法完成，需要綜合使用相似和勾股定理或使用兩次相似知識(shí)，同學(xué)們根據(jù)自己的理解，從不同角度很好地解讀了它！請(qǐng)有志于探索研究的同學(xué)，把這部分精彩對(duì)白記錄下來(lái)，并附上自己的反思。

以上是上課時(shí)的實(shí)錄片段，在這種“對(duì)話教學(xué)”情景下，師生間、生生間思維火花碰撞連連，產(chǎn)生共鳴，教師與學(xué)生陶醉于其中，教學(xué)效果令人震撼！雖然比較費(fèi)時(shí)，在復(fù)習(xí)階段只講一題，但它以一當(dāng)十，學(xué)生可以觸類旁通，實(shí)踐證明，復(fù)習(xí)效率大大提高。

2.問(wèn)題研究，學(xué)生記錄自己思考的心路歷程與同伴分享

在批閱完學(xué)生的作業(yè)后，每天留20分鐘的問(wèn)題研究時(shí)間，這段時(shí)間是有針對(duì)性地指導(dǎo)學(xué)生的好機(jī)會(huì)。所謂問(wèn)題研究，就是學(xué)生對(duì)當(dāng)天所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行消化、反思、吸納，甚至是與教師進(jìn)行爭(zhēng)辨的學(xué)習(xí)形式。它不是集體上課，教師要著重傾聽學(xué)生的真實(shí)想法，并為學(xué)生提供個(gè)性化的指點(diǎn)，師生一對(duì)一的對(duì)話、學(xué)生間的雙向交流應(yīng)是它的最大特征。

【案例3】如圖5，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM。那么，當(dāng)AM+BM+CM的最小值為 +1時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)。

學(xué)生求正方形的邊長(zhǎng)時(shí)，普遍作EF⊥CF（圖6），在三角形CEF中解決問(wèn)題，設(shè)EF=x，方程為 。

生：以上方程比較煩瑣，我的想法是：連AC，作AI⊥EC（圖7），注意到∠AEC=45。，∠EAC=105。，故∠ACE=30。，且EC=+1，在三角形AEC中，求得AI=1，所以正方形邊長(zhǎng)=AE=。

師：作垂線AI還真不容易想到，你是怎么想到的呢？

生：通過(guò)觀察，能說(shuō)明∠BEN=15。，即∠AEC=45。，且∠EAC=105。，所以∠ACE=30。，這樣三角形AEC就不是普通三角形了，并注意到EC=AM+BM+CM=+1，所以作垂線AI。

師：你說(shuō)得很好！觀察到三角形AEC不是普通三角形是關(guān)鍵，這樣作垂線才有意義，分成兩個(gè)特殊的直角三角形！你的觀察能力很強(qiáng)，方法簡(jiǎn)單，思考得很到位。

筆者及時(shí)把她的做法介紹給其他愛動(dòng)腦的學(xué)生，并鼓勵(lì)他們結(jié)合自己的思路與之作比較，把此解法寫下來(lái)，看看解題方法孰優(yōu)孰劣？

3.展示解題中“寶貴”的錯(cuò)誤資源，不斷修正優(yōu)化，以警示同伴

在中考復(fù)習(xí)階段，批閱學(xué)生的作業(yè)時(shí)，大多數(shù)教師只是單純地進(jìn)行批閱。有些錯(cuò)誤確實(shí)是學(xué)生個(gè)體的問(wèn)題，不一定具有代表性，但有些錯(cuò)誤卻具有典型性，把它拿出來(lái)，展示給學(xué)生，有警示作用，可以讓學(xué)生少走彎路。

【案例4】如圖8，在直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（12， 8），點(diǎn)B、C在x軸上，tan∠ABC= ，AB=AC，AH⊥BC于H，D為AC邊上一點(diǎn)，BD交AH于點(diǎn)M，且△ADM與△BHM的面積相等。

（1）求點(diǎn)D坐標(biāo)；（2）求過(guò)B、C、D三點(diǎn)的拋物線的解析式，并求出拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）過(guò)點(diǎn)E且平行于AB的直線l交y軸于點(diǎn)G，若將（2）中的拋物線沿直線l平移，平移后的拋物線交y軸于點(diǎn)F，頂點(diǎn)為E'（點(diǎn)E'在y軸右側(cè)）。是否存在這樣的拋物線，使△E'FG為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)頂點(diǎn)E'的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

（1）（2）解答省略。

筆者把該作業(yè)展示給全班學(xué)生評(píng)判，學(xué)生認(rèn)為容易想到勾股定理并列出方程，但方程復(fù)雜，不易解答，學(xué)生普遍有這樣的深刻體會(huì)！

師：究其原因，學(xué)生普遍愿意使用勾股定理，使用簡(jiǎn)單，好理解，但列出方程后卻發(fā)現(xiàn)，解起來(lái)并不簡(jiǎn)單！這也是中考復(fù)習(xí)中學(xué)生經(jīng)常碰到的“難題”。

師：在利用GF=GE'時(shí)，GF可以直接用F縱坐標(biāo)減G的縱坐標(biāo)（用含t的表達(dá)式），若GE'直接用t的代數(shù)式表示，就相對(duì)簡(jiǎn)單些，可通過(guò)三角形HE'G與三角形GOK相似（ΔGOK三邊比為3：4：5）來(lái)解。（圖9）

生：哦！（豁然開朗）

以下是學(xué)生寫的此小題小反思：

反思：勾股定理好想，好用，但由于出現(xiàn)平方，得到的方程比較復(fù)雜，當(dāng)邊是用二次代數(shù)式表示時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)高次方程，要慎用！

【點(diǎn)評(píng)】思考深刻，出現(xiàn)二次再平方時(shí)，要慎重，可換個(gè)角度試試！

四、關(guān)于數(shù)學(xué)小反思的兩點(diǎn)思考

數(shù)學(xué)小反思的真實(shí)性是它的價(jià)值所在。數(shù)學(xué)小反思應(yīng)是學(xué)生根據(jù)自己的真實(shí)意愿記錄的，可以記錄解題的精彩瞬間，也可以描述探索問(wèn)題的點(diǎn)滴心路歷程和軌跡，甚至可以闡述自己的錯(cuò)誤主張，只要有思考和研討的成分即可，這樣的小反思就有強(qiáng)大的生命力！

教師指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)小反思才是活而有用的教學(xué)素材。教師針對(duì)學(xué)生的小反思，取其精華，棄其糟粕，對(duì)于具有典型性的解題方法、觸及到重要數(shù)學(xué)思想、具有獨(dú)特的個(gè)性化的理解應(yīng)給予點(diǎn)評(píng)，展示給全體學(xué)生，讓師生互相學(xué)習(xí)，真正實(shí)現(xiàn)共同成長(zhǎng)。