淺談二次函數(shù)中參數(shù)問題解決方法

劉茜

摘要：隨著新課改進程的加快，教材在內(nèi)容及結(jié)構(gòu)上也開始日益變化，來達到素質(zhì)教育的要求。高中數(shù)學(xué)應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，同時也是新課改中重要組成部分?？墒菬o論怎樣變更，對于數(shù)學(xué)問題而言，解題方法永遠是重要的一點，而眾多問題中，含參問題的討論則是高中數(shù)學(xué)的重中之重，它也是歷年考試中的必考內(nèi)容，并且對最近幾年的試題分析情況來看，分值略有上升趨勢。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；參數(shù)問題；高中數(shù)學(xué)；分類討論

縱觀整個中學(xué)數(shù)學(xué)，參數(shù)問題是一條貫穿其中的脈絡(luò)，參數(shù)與函數(shù)的定義域，值域（最值）相結(jié)合；與單調(diào)性結(jié)合；與方程問題相結(jié)合；與恒成立問題相結(jié)合?？芍^參數(shù)問題在高中數(shù)學(xué)中無處不在。含參數(shù)問題的討論，是訓(xùn)練和檢查學(xué)生邏輯推理能力和分析問題能力的一種綜合題型.求解這類問題的方法不復(fù)雜，但在一定程度上反映了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的高低，因此，一直為人們所重視。

一般來講，絕大數(shù)需要利用分類討論的數(shù)學(xué)問題都是含參問題，由于參數(shù)所在的范圍的不同導(dǎo)致相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型的變化，從而必須在各種不同的具體情境下求解問題，但同時還要注意認真審查題目的特點，充分挖掘求解問題中潛在的特殊性和簡單性。

在現(xiàn)今的素質(zhì)教育中，培養(yǎng)學(xué)生的自主思考能力是其中一個重要方面。而含參數(shù)的函數(shù)問題是高中數(shù)學(xué)中的一類重要問題，滲透著化歸轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法。加強對此類問題的研究與訓(xùn)練有利于培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性，對提升綜合解題能力大有裨益。

二次函數(shù)中的含參問題大致分為與二次函數(shù)和一元二次方程定義交匯、與二次函數(shù)的單調(diào)性問題交匯、以及與圖像和二次函數(shù)性質(zhì)等問題交匯。下面筆者將從這幾個方面給出常見問題解決的方法和幾點建議。

一、與二次函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合

（1）二次函數(shù)奇偶性問題

（2012年溫州測試）已知二次函數(shù)f（x）=x2-ax+4，若f（x+1）是偶函數(shù)，則實數(shù)a的值為______。答案：a=2 （解題過程?。?/p>

（2）二次函數(shù)的最值

關(guān)于這類含參二次函數(shù)求最值問題，是高考的熱點。也是日后學(xué)習(xí)微分中參數(shù)恒成立問題的鋪墊。

二次函數(shù)求最值問題，首先采用配方法化為y=a（x-m）2+n的形式，得頂點（m，n）和對稱軸方程x=m結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解，常見有三種類型：

①頂點固定，區(qū)間也固定；

②頂點中含有參數(shù)，頂點是動點，而區(qū)間固定區(qū)間，這時就需要討論頂點橫坐標與定區(qū)間之間的關(guān)系，配合單調(diào)性，求出范圍；

③頂點固定，區(qū)間變動，這時要討論區(qū)間中的參數(shù)。

討論的目的是確定對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，明確函數(shù)單調(diào)性情況，從而確定函數(shù)的最值。

[例1]（軸動區(qū)間定）已知函數(shù)f（x）=-x2+2ax+1-a在x[0，1]時有最大值為2，求a的取值范圍。

解：函數(shù)f（x）=-x2+2ax+1-a=-（x-a）2+a2-a+1對稱軸方程為x=a

（?。┊?dāng)a<0時，f（x）max= f（x）=1-a所以1-a=2，所以a=-1

（ⅱ）當(dāng)0 ≤ a ≤ 1時，f（x）max=a2-a+1所以a2-a+1=2

所以

（舍）

（ⅲ）當(dāng)

綜上可知 a=-1或a=2

在討論過程中，要按照對稱軸與區(qū)間之間的關(guān)系進行討論。

[例2]（軸定區(qū)間動）函數(shù)f（x）= x2-2x+2在閉區(qū)間[t，t+1]（tR），記為g（t）。試寫出g（t）的函數(shù)表達式。

解：因為f（x）= x2-2x+2=（x-1）2+1

當(dāng)t+1<1，即t<0時，函數(shù)[t， t+1]上為減函數(shù)。g（t）= f（t+1） =t2+1

當(dāng)t<1≤ t+1，即0≤ t <0時，g（t）= f（t）=1

當(dāng)t ≥1，函數(shù)[t， t+1]上為增函數(shù)。

所以g（t）= f（t）=t2-2t+2所以

在做這類軸定區(qū)間動的題時，一定要找好“標桿”----就是對稱軸。

（3）恒成立問題轉(zhuǎn)化二次函數(shù)

確定恒成立中參數(shù)的取值范圍需要靈活應(yīng)用函數(shù)與不等式的基礎(chǔ)知識，并時常要在兩者間進行合理交匯。在函數(shù)思想的指引下，將其轉(zhuǎn)化為與函數(shù)有關(guān)的問題。常用的方法有：分離參數(shù)，變更主元，借助函數(shù)圖象等。

[例3]若x（1，2），不等式x2+mx+4<0恒成立，求m的取值

范圍。

分析 由于本題目中x的取值范，可以判斷不等號的方向，能夠分離參數(shù)出來，可以用不等式m>f （x）恒成立m>[ f （x）]max；不等式m< f （x）恒成立m<[ f （x）]min，求出m范圍。

解法 1：因為x（1，2），不等式x2+mx+4<0恒成立，

所以mx-x2-4即m<-（x+

）對x（1，2）恒成立， 令f（x）=-（x+

） （1

依據(jù)題意得m ≤ [ f （x）]min，當(dāng)x（1，2）時可求得-5< f （x）<-4，

所以m ≤ -5。

解法 2：（函數(shù)思想）設(shè)f （x）= x2+mx+4

則由二次函數(shù)圖象可得

得m ≤ -5，即m取值范圍是{m|m ≤ -5}。

分離參數(shù)的方法學(xué)生容易理解和掌握，但是某些含參恒成立問題，在分離參數(shù)會遇到討論麻煩或是即使能容易分離參數(shù)與變量，但函數(shù)的最值卻難以求出時。這種方法就不適用了。

[例4]對任意的|m| ≤ 2，函數(shù)f （x）=mx2-2x+1-m的值恒小于零，求x的取值范圍。

分析 明顯看出類似這種問題，分離參數(shù)很困難，不過我們會發(fā)現(xiàn)含有的參數(shù)m為一次項，于是我們可以用變換主元變量的方法。

解：對任意的|m| ≤ 2， mx2-2x+1-m<0恒成立， 等價于（x2-1）m -2x+1<0恒成立。

設(shè)g（x）=（x2-1）m-2x+1，則g（m）是關(guān)于m的一次函數(shù)依據(jù)圖象與性質(zhì)，

當(dāng)-2 ≤ m ≤ 2，g（m）<0恒成立等價于

即x的取值范圍是（

）

本例題在解題時把變元與參數(shù)換個位置，再結(jié)合一次函數(shù)的知識，得到了出奇制勝的效果，將一道原本復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化的非常簡單。

參考文獻：

[1]吳磊.如何求解含有參數(shù)的復(fù)數(shù)問題[J].中學(xué)生數(shù)理化（高二版），2011（03）

[2]孔令頤.突出重點 強化訓(xùn)練--2000年高考數(shù)學(xué)試題中與參數(shù)有關(guān)的內(nèi)容[J].考試，2000（12）