例談函數(shù)奇偶性應(yīng)用中的兩類求值問題

張子才

（湖北省監(jiān)利中學(xué)）

函數(shù)奇偶性是函數(shù)的主要性質(zhì),在解題中運(yùn)用很廣泛，下面就結(jié)合具體例子談一談關(guān)于函數(shù)奇偶性應(yīng)用中的兩類求值問題。

一、利用函數(shù)的奇偶性直接求值

例1：f（x）是R上的奇函數(shù)，x∈（0，+∞）的解析式為.求f（-1）的值.

解1：∵f（x）是R上的奇函數(shù)∴f（-x）=-f（x），則f（-1）=-f（1）

點(diǎn)評：利用函數(shù)的奇偶性求值主要是將未知的值或區(qū)間轉(zhuǎn)化為已知的值或區(qū)間變式：設(shè)f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，且，求函數(shù)f（2）、g（2）的值．

例 2：已知 x，y∈R 滿足（x-1）3+2018（x-1）=-1，（y-1）3+2018（y-1）=1，求 x+y 的值.

解：設(shè) g（t）=t3+2018t，而且容易知道 g（-t）=-g（t），∴g（t）在 R 上是奇函數(shù)

點(diǎn)評：觀察式子特點(diǎn)，將x-1，y-1視為一個(gè)整體構(gòu)造函數(shù) g（t）=t3+2018t，再利用函數(shù)的奇偶性找到 x-1，y-1的關(guān)系，進(jìn)而求出x+y=2

以上兩例都是已知或可證明函數(shù)的奇偶性解決求值問題，下面若是遇見非奇非偶函數(shù)可以間接處理。

二、利用函數(shù)的奇偶性間接求值

點(diǎn)評：例題中雖然函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)，但觀察表達(dá)式可以發(fā)現(xiàn)其間存在奇偶性的表達(dá)式，所以可將f（x）=g（x）-8轉(zhuǎn)化為奇函數(shù)g（x）求值從而間接求出f（2）的值。

例4：已知f（x）=x3+3x2+6x+14，f（a）=1，f（b）=19，求a+b的值

設(shè) g（t）=t3+t，而且 g（t）在 R 上是奇函數(shù)，則 a+1=-（b+1），∴a+b=-2

點(diǎn)評：本題通過巧妙構(gòu)造新的“準(zhǔn)奇偶性”的函數(shù)來解決函數(shù)中的求值問題，這種利用奇偶性構(gòu)造方法在以后的學(xué)習(xí)中是常用的方法。