飛機(jī)EMA行星輪減速器多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)*

夏澤斌，段富海,※，金 霞，安 瑋

行星輪減速器因其體積小，傳動(dòng)比大，承載能力強(qiáng)和傳動(dòng)效率高等特點(diǎn)，越來越廣泛應(yīng)用在航空航天、工程機(jī)械、礦山機(jī)械、數(shù)控設(shè)備等各種機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)中。飛機(jī)功率電傳用機(jī)電作動(dòng)器（Electro-Mechanical Actuator，EMA）要求功率重量比大、運(yùn)行可靠穩(wěn)定且使用壽命長(zhǎng)[1-2]，這對(duì)其行星輪減速器的設(shè)計(jì)提出了很高要求。行星輪減速器的性能是EMA高質(zhì)量完成工作的關(guān)鍵，而體積、強(qiáng)度及剛度等都是衡量行星輪減速器性能優(yōu)劣的重要指標(biāo)，這些指標(biāo)往往是相互沖突的，所需的約束條件又耦合在一起，使得行星輪減速器的設(shè)計(jì)變得復(fù)雜。如何兼顧上述性能目標(biāo)和質(zhì)量目標(biāo)，并求得總體設(shè)計(jì)的最優(yōu)解是工程設(shè)計(jì)人員不斷研究與探討的問題。

一直以來，設(shè)計(jì)人員常用遺傳算法、罰函數(shù)法等對(duì)減速器的各參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。楊奇[3]等人基于遺傳算法對(duì)行星輪減速器進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，提出了以單參數(shù)最大效能體積比來確定最佳短幅系數(shù)的方法，并得到了設(shè)計(jì)結(jié)果。西慶坤[4]等人利用MATLAB遺傳工具箱解決了擺線針輪行星減速器傳動(dòng)效率低，結(jié)構(gòu)不緊湊的問題。于明[5]等人以體積最小為優(yōu)化目標(biāo)，對(duì)減速器進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，但只考慮減速器的外部尺寸，沒有考慮內(nèi)部結(jié)構(gòu)對(duì)減速器的影響。隨著學(xué)者們對(duì)優(yōu)化算法的深入研究，人們發(fā)現(xiàn)遺傳算法存在對(duì)新空間的探索能力有限、計(jì)算復(fù)雜、難以處理非線性約束、穩(wěn)定性差等缺點(diǎn)；罰函數(shù)法存在起始點(diǎn)難以選擇、罰因子難以確定等缺點(diǎn)。另外對(duì)EMA的研究多集中在電機(jī)與控制學(xué)科，對(duì)機(jī)械學(xué)科的文獻(xiàn)相對(duì)較少。為進(jìn)一步提高行星輪減速器的性能，本文探索利用多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)（Collaborative Optimization，CO）方法來完成行星輪減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

CO方法充分利用不同學(xué)科之間的相互作用以及協(xié)同機(jī)制，將單個(gè)學(xué)科的分析與優(yōu)化同整個(gè)系統(tǒng)中互為耦合的其他學(xué)科的分析與優(yōu)化結(jié)合起來，能夠?qū)⑸婕暗膸讉€(gè)學(xué)科之間的耦合關(guān)系分析清楚，可很好地解決不同學(xué)科之間的沖突性以及約束的復(fù)雜性，從而得到適合條件的全局最優(yōu)解[6]。利用多學(xué)科CO設(shè)計(jì)方法來完成行星輪減速器優(yōu)化，可以將復(fù)雜的行星輪減速器設(shè)計(jì)分解為若干簡(jiǎn)單子任務(wù)，來完成原有的設(shè)計(jì)任務(wù)，這樣可減少原有設(shè)計(jì)復(fù)雜度，更易得到全局優(yōu)化解。設(shè)計(jì)空間縮減協(xié)同優(yōu)化算法（Design Space Decrease Collaborative Optimization，DSDCO）是一種改進(jìn)的協(xié)同優(yōu)化方法[7]，它根據(jù)子空間優(yōu)化結(jié)果，刪除不可行求解空間，選取系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化解，通過子空間循環(huán)迭代優(yōu)化計(jì)算，直至系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化解符合收斂條件。

本文以EMA擺線針輪行星輪減速器為研究對(duì)象，以符合設(shè)計(jì)要求的結(jié)構(gòu)尺寸和應(yīng)力約束條件為基礎(chǔ)，以行星輪減速器體積最小為目標(biāo)，建立數(shù)學(xué)模型，使用DSDCO算法對(duì)EMA進(jìn)行多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化，并對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行分析。

1 行星輪減速器的數(shù)學(xué)模型

1.1 確定設(shè)計(jì)變量

某型飛機(jī)EMA所用減速器為擺線針輪行星減速器，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。通過分析影響擺線針輪行星減速器的主要參數(shù)，同時(shí)考慮優(yōu)化設(shè)計(jì)的建模，選擇針輪分布圓直徑DZ、針齒套外徑dZ、擺線輪寬度B、轉(zhuǎn)臂軸承外徑D1和柱銷直徑dp作為設(shè)計(jì)變量，其他參數(shù)均為設(shè)計(jì)常量，這5個(gè)設(shè)計(jì)變量分別獨(dú)立，決定了擺線針輪行星減速器的體積，即擺線針輪行星減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)變量：

X=[X1X2X3X4X5]T=[DZdZB D1dp]T

圖1 擺線針輪行星減速器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Cycloid reducer structure diagram

1.2 建立目標(biāo)函數(shù)

擺線針輪行星減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)既可以是性能指標(biāo)，也可以是總體的結(jié)構(gòu)尺寸。本文采用在給定傳動(dòng)功率和傳動(dòng)比時(shí)，滿足強(qiáng)度及其他幾何尺寸要求條件下擺線輪的體積最小，作為擺線針輪行星減速器設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)[8-10]，以便使減速器結(jié)構(gòu)緊湊，功重比大。擺線輪的尺寸決定了擺線針輪行星減速器的結(jié)構(gòu)大小。

擺線輪的體積可認(rèn)為是齒根圓內(nèi)的圓盤體積加上擺線齒部分的體積，減去轉(zhuǎn)臂軸承占據(jù)的體積和柱銷孔的尺寸，可推得擺線輪體積為：

于是得到擺線針輪行星減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù):

式（2）中：Zb為針輪齒數(shù)，其數(shù)值為傳動(dòng)比加1；ZW為柱銷數(shù)目；Δ2為柱銷套壁厚；K1為短幅系數(shù)。

1.3 建立約束條件方程

1.3.1 擺線輪齒廓不根切條件

為避免齒廓發(fā)生根切，針齒套外徑dZ與針輪分布圓直徑DZ的比值應(yīng)當(dāng)小于理論齒廓最小曲率

半徑系數(shù)amin，即

得約束條件為：

式（3）中：Zg為擺線輪齒數(shù)；K1為短幅系數(shù)，是擺線針輪行星傳動(dòng)的重要系數(shù)。1.3.2擺線輪厚度的限制條件

擺線輪厚度一般為：

得約束條件為：

1.3.3 擺線輪與針齒的接觸強(qiáng)度條件

1.3.4 針齒銷的彎曲強(qiáng)度條件

對(duì)于雙支點(diǎn)針齒銷的彎曲應(yīng)力為：

式（6）中： MV為輸出軸的阻力矩，

式 （7） 中 ： dz1

針齒銷上最大的彎矩?cái)?shù)值為：

式中：δ0為擺線輪與針齒殼側(cè)面間的間隙，一般取δ0=4 mm；δ為兩擺線輪間隔環(huán)的厚度，δ=B-b，b為軸承的寬度；Δ為針齒殼側(cè)面的壁厚，一般為dZ＜Δ＜B。

約束條件為：

1.3.5 針輪分布圓直徑的限制條件

針輪分布圓直徑的設(shè)計(jì)對(duì)減速器結(jié)構(gòu)尺寸和承載能力有很大的影響，一般是根據(jù)輸出軸的阻力矩，由經(jīng)驗(yàn)來確定和選擇的。其經(jīng)驗(yàn)公式為:

1.3.6 柱銷的彎曲強(qiáng)度

臥式結(jié)構(gòu)的柱銷常規(guī)設(shè)計(jì)是懸臂安裝的[11]，其柱銷所受的最大彎曲應(yīng)力需滿足:

式（9）中：柱銷分布圓半徑RW：

約束條件為：

1.3.7 柱銷套與柱銷孔的接觸強(qiáng)度條件

柱銷套與柱銷孔的接觸應(yīng)力由赫茲公式，經(jīng)整理得到，接觸強(qiáng)度條件為:

式（11）中：柱銷套半徑rp=0.5dp+Δ2。

約束條件為：

1.3.8 柱銷孔最大直徑的限制條件

為保證擺線輪有足夠的強(qiáng)度，在兩個(gè)柱銷孔之間，柱銷孔與轉(zhuǎn)臂軸承外徑孔之間，又有一定的厚度Δ0，工程中一般取Δ0=0.03DZ，其限制條件為：

約束條件為：

2 多學(xué)科協(xié)同設(shè)計(jì)優(yōu)化及其算法

2.1 多學(xué)科協(xié)同設(shè)計(jì)優(yōu)化

多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化（CO）是一種針對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)設(shè)計(jì)問題的多級(jí)式優(yōu)化方法，它將復(fù)雜的系統(tǒng)設(shè)計(jì)問題分解為一個(gè)系統(tǒng)級(jí)和并行的幾個(gè)子系統(tǒng)級(jí)問題，并通過系統(tǒng)級(jí)約束條件來協(xié)調(diào)各子系統(tǒng)之間的共享設(shè)計(jì)變量和耦合狀態(tài)變量[12-13]。CO主要思想是：在子系統(tǒng)優(yōu)化時(shí)可以暫時(shí)不考慮其它學(xué)科的影響，只需要滿足該子系統(tǒng)級(jí)約束，子系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化目標(biāo)是使該子系統(tǒng)優(yōu)化結(jié)果與系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化提供的目標(biāo)差異值達(dá)到最??；而各個(gè)子系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化結(jié)果的不一致性由系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化來協(xié)調(diào)，通過系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化和子系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化之間多次迭代，最終得到一個(gè)符合學(xué)科間一致性要求的系統(tǒng)最優(yōu)化設(shè)計(jì)方案。根據(jù)CO思想，減速器的子系統(tǒng)劃分可以按照約束條件所屬學(xué)科進(jìn)行，由減速器優(yōu)化模型可知，約束條件包含了機(jī)械結(jié)構(gòu)以及力學(xué)兩個(gè)不同的學(xué)科。可將減速器優(yōu)化問題劃分為兩個(gè)子系統(tǒng)：機(jī)械結(jié)構(gòu)學(xué)科和力學(xué)學(xué)科。在兩個(gè)子系統(tǒng)內(nèi)分別進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，并把子系統(tǒng)優(yōu)化結(jié)果傳遞到減速器系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化。相比于其他優(yōu)化過程，CO可解決復(fù)雜耦合問題并簡(jiǎn)化復(fù)雜計(jì)算過程。

將多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化應(yīng)用于減速器，其本身就是考慮滿足不同學(xué)科下的約束條件所需目標(biāo)的最優(yōu)解，減速器設(shè)計(jì)也由直覺、經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)變?yōu)楦行?、更符合使用要求的理性設(shè)計(jì)。

2.2 DSDCO算法求解思路及其特點(diǎn)

多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化有多種算法，如ECO、CLA-CO、DSDCO等。金霞[7]等提出的設(shè)計(jì)空間縮減協(xié)同優(yōu)化算法（DSDCO）適用變量有界的多學(xué)科優(yōu)化問題，具有對(duì)起始點(diǎn)無要求、計(jì)算時(shí)間快、對(duì)約束條件凸凹性沒有要求等特點(diǎn)。DSDCO根據(jù)子系統(tǒng)優(yōu)化結(jié)果，在原問題的求解空間中去除子系統(tǒng)計(jì)算所得的不可行域，將剩余的求解空間作為系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化的求解空間進(jìn)行系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化計(jì)算。隨著迭代的繼續(xù)，求解空間不斷更新系統(tǒng)級(jí)變量邊界，在原求解空間中不斷去除不可行域，但始終包含完整的原問題可行域。當(dāng)系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化解滿足收斂條件時(shí)，得到原問題的全局最優(yōu)解。該方法對(duì)于原問題約束函數(shù)的凸性沒有限制，在系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化公式中，用變量邊界代替了傳統(tǒng)協(xié)同優(yōu)化中的一致性等式約束，使系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化得到有效的簡(jiǎn)化，很好地解決了傳統(tǒng)協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化求解困難的問題。但該算法需要在原問題的設(shè)計(jì)空間內(nèi)不斷更新優(yōu)化設(shè)計(jì)空間，故僅適用于變量有界的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化問題[7,14-15]。

某多學(xué)科優(yōu)化問題含有n個(gè)系統(tǒng)級(jí)設(shè)計(jì)變量，z個(gè)子系統(tǒng)。在k-1次迭代優(yōu)化時(shí)，系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的子系統(tǒng)優(yōu)化空間為OBJ*(k-1)，系統(tǒng)級(jí)求解得到的子空間集為L(zhǎng)*(k-1)。因子系統(tǒng)個(gè)數(shù)為z，子系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化可得到z個(gè)子系 統(tǒng) 優(yōu) 化 解（i=1,2,…,n）。 定 義為

為去除當(dāng)前求解子空間L*(k-1)中不可行域，需要沿著各個(gè)坐標(biāo)軸去除不可行域。為最大限度的去除不可行域，每個(gè)坐標(biāo)方向上的上下界限分別為：

將Lknew傳遞到系統(tǒng)級(jí)求解子空間并更新系統(tǒng)級(jí)求解子空間集Lk。由以上操作得到新的求解空間，進(jìn)行優(yōu)化求解過程，循環(huán)迭代此過程，直至得到的系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化結(jié)果滿足收斂條件。但是需要注意的是，Lnew中若出現(xiàn)不符合邏輯的空間，需刪除不符合邏輯的求解空間。比如，在更新得到的求解空間中，如果某變量上界或下界超出L*(k-1)中該變量的上下界，則用L*(k-1)中相應(yīng)界限值將其代替。

綜合DSDCO特點(diǎn)以及其求解思路，該方法適用于優(yōu)化擺線針輪行星減速器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量，可以綜合考慮不同學(xué)科的影響，滿足特殊設(shè)計(jì)要求以及約束條件，獲得最優(yōu)設(shè)計(jì)，有效提高設(shè)計(jì)質(zhì)量，降低研制費(fèi)用，縮短設(shè)計(jì)周期。

3 結(jié)果及分析

3.1 減速器優(yōu)化過程及結(jié)果

擺線針輪行星減速器輸入功率NH=4 kW，許用彎曲應(yīng)力[σN]=15 000 N/cm2，許用接觸應(yīng)力為[σj]=85 000 N/cm2[16]，主動(dòng)軸轉(zhuǎn)速 nH=1 440 r/min，傳動(dòng)比為i=29，針齒殼側(cè)面的壁厚Δ=14 mm，針齒套壁厚Δ1=2.5 mm，柱銷套壁厚Δ2=5 mm，短幅系數(shù)K1=0.69，軸承的寬度b=20 mm。

該設(shè)計(jì)優(yōu)化問題可表示為：

DSDCO算法將原問題分解為一個(gè)系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化問題和兩個(gè)子系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化問題。子系統(tǒng)1的約束為g1、g2、g3、g7、g8，設(shè)計(jì)變量為X1、X2、 X3、 X4、 X5；子系統(tǒng)2的約束為 g4、g5、 g6，設(shè)計(jì)變量為 X1、 X2、 X3、 X4、 X5；系統(tǒng)級(jí)設(shè)計(jì)變量為X1、X2、X3、X4、X5。將減速器體積最小作為目標(biāo)函數(shù)，編寫DSDCO優(yōu)化程序，運(yùn)行程序，循環(huán)過程中得到部分?jǐn)?shù)據(jù)如表1。

表1 循環(huán)過程中部分?jǐn)?shù)據(jù)Table1 Somedatain thecyclic process

最后得到最優(yōu)解如表2所示。

表2 擺線針輪行星減速器優(yōu)化結(jié)果Table2 Cycloid reducer optimization results

3.2 優(yōu)化結(jié)果分析

與原設(shè)計(jì)結(jié)果比較可得，由DSDCO計(jì)算得到的體積相對(duì)減少量為（2.448-2.130）/2.448×100%=12.99%。此優(yōu)化結(jié)果說明采用DSDCO對(duì)擺線針輪行星減速器進(jìn)行優(yōu)化，能夠在保證減速器接觸強(qiáng)度以及彎曲強(qiáng)度的前提下，使的減速器結(jié)構(gòu)變得更為緊湊。使用該目標(biāo)函數(shù)、約束條件以及DSDCO算法進(jìn)行的優(yōu)化設(shè)計(jì)有效，DSDCO可為減速器優(yōu)化或其他類似結(jié)構(gòu)的多學(xué)科優(yōu)化提供參考。

4 結(jié)論

（1）以擺線針齒行星輪減速器為研究對(duì)象，以減速器體積最小為優(yōu)化目標(biāo)，以減速器內(nèi)部機(jī)構(gòu)尺寸關(guān)系和各個(gè)部位的應(yīng)力要求為約束條件，建立的減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，能夠很好地體現(xiàn)減速器內(nèi)部結(jié)構(gòu)和應(yīng)力要求，能夠真實(shí)地反映減速器的設(shè)計(jì)情況，切合實(shí)際。

（2）采用DSDCO優(yōu)化設(shè)計(jì)后減速器的體積明顯減小，得到的設(shè)計(jì)參數(shù)更為科學(xué)合理，彌補(bǔ)了當(dāng)前減速器設(shè)計(jì)中設(shè)計(jì)變量主要依據(jù)傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的不足。因此達(dá)到了優(yōu)化飛機(jī)EMA擺線針齒行星輪減速器的目的。

（3）運(yùn)用DSDCO算法對(duì)減速器模型進(jìn)行優(yōu)化，很好地解決了包含兩個(gè)學(xué)科的耦合問題，求解簡(jiǎn)單方便，減少設(shè)計(jì)復(fù)雜度，更易得到全局優(yōu)化解。

（4）本文研究對(duì)EMA行星輪減速器的設(shè)計(jì)具有一定的理論指導(dǎo)和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，所用DSDCO算法為解決含有多個(gè)學(xué)科的耦合優(yōu)化問題提供了一種新方法，具有一定理論價(jià)值。

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