SVI隱含波動率模型的時間指數(shù)擴展

莊 穎， 吳小燕， 王美清

(福州大學數(shù)學與計算機科學學院， 福建 福州 350116)

0 引言

期權(quán)定價問題是近年來金融數(shù)學中的熱點之一. 1973年提出的Black-Scholes(B-S)期權(quán)定價[1]模型使得期權(quán)研究有了新的突破. 該模型假設標的資產(chǎn)服從幾何布朗運動， 其波動率為常數(shù). 但是大量實證分析表明， 通過B-S公式反推得到的隱含波動率并不是常數(shù)， 而是關于執(zhí)行價格和剩余期限的函數(shù)， 具有“波動率微笑”和“期限結(jié)構(gòu)”等特征[2-5]. 該函數(shù)所表示的曲面稱為隱含波動率曲面. 隱含波動率曲面包含了大量市場的信息， 能夠指導金融市場的投資方向.

隱含波動率曲面的重構(gòu)方法可根據(jù)其函數(shù)的參數(shù)形式分為參數(shù)模型、 半?yún)?shù)模型和非參數(shù)模型. 參數(shù)模型認為隱含波動率與標的資產(chǎn)價格、 期權(quán)合約的剩余期限和執(zhí)行價格等因素之間存在確定性的函數(shù)關系， 如： Derman[6]提出的粘性行權(quán)價(sticky strike)關系， 粘性delta(sticky delta)關系, 以及Daglish等[7]提出的平穩(wěn)時間平方根關系(stationary square root of time)等. 1998年Dumas等[8]基于粘性行權(quán)價關系， 采用S&P500指數(shù)期權(quán)的數(shù)據(jù)， 提出一組隱含波動率曲面的參數(shù)模型. 2004年Cassese等[9]沿用了文獻[8]的思想， 用在值程度替換了原模型中的執(zhí)行價格， 并證明了新的模型具有更好的擬合效果. 半?yún)?shù)隱含波動率模型描述的是隱含波動率曲面中某一維度的特性， 再延伸至整個隱含波動率曲面. 這方面的模型有隨機半?yún)?shù)SABR模型[10]和半?yún)?shù)化模型(stochastic volatility inspired， SVI)[11]. 非參數(shù)模型利用非參方法對隱含波動率曲面進行主成分分析再對其進行建模. 由于非參數(shù)模型缺乏拓展能力， 并且對數(shù)據(jù)量有一定的要求， 因而在實際應用中存在一定的局限.

本研究主要針對SVI模型進行改進， 該模型提出的隱含波動率函數(shù)在對數(shù)執(zhí)行價格方向上逼近市場數(shù)據(jù). 根據(jù)平穩(wěn)時間平方根規(guī)則， 用對數(shù)執(zhí)行價格和剩余期限的特定組合替代原模型中的對數(shù)執(zhí)行價格， 并引入了新的參數(shù)來調(diào)整二者之間的組合， 更靈活地表達了對數(shù)執(zhí)行價格與剩余期限之間的關系， 從而獲得更精確的擬合函數(shù). 最后， 將改進模型延伸至參數(shù)模型來構(gòu)建隱含波動率曲面. 本研究通過對AAPL蘋果股票期權(quán)市場數(shù)據(jù)進行實證分析， 結(jié)果表明改進的模型更具靈活性與精確性， 能更好地擬合市場隱含波動率和期權(quán)價格.

1 隱含波動率與SVI模型

1.1 隱含波動率

Black-Scholes期權(quán)定價模型假設標的資產(chǎn)價格遵循幾何布朗運動， 且波動率為常數(shù). 在不支付紅利與交易費用、 稅費的情況下， 針對某一標的資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的定價公式分別如下：

(1)

其中:N(·)為標準正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù)；T為到期日，t為時間，τ=T-t；St為t時刻標的資產(chǎn)的價格；r為年化無風險利率；σ為標的資產(chǎn)的波動率. 由公式(1)計算得到的期權(quán)價格統(tǒng)一記作VBS. 在該模型中， 標的市場價格、 剩余期限、 年化無風險利率均為市場給定， 只有波動率σ無法從市場直接獲取. 因此在已知期權(quán)價格、 執(zhí)行價格、 剩余期限以及無風險利率的情況下， 從Black-Scholes期權(quán)定價模型反推得到的波動率稱為隱含波動率， 即隱含波動率σ由下列公式定義：

σ(V,St,K,τ,r)= argσ{VBS(σ,St,K,τ,r)=Vmarket}

(2)

其中：Vmarket為市場的期權(quán)價格.

1.2 SVI模型

為了便于判斷隱含波動率未來走勢， 需要根據(jù)市場數(shù)據(jù)獲取隱含波動率、 執(zhí)行價格和剩余期限三者之間的關系. 通過B-S公式直接反推求隱含波動率是個不適定的反問題[12]， 在算法實現(xiàn)上存在一定的困難. SVI半?yún)?shù)化模型[11]把問題限制在一維的情況， 在固定剩余期限的情況下考慮隱含波動率與對數(shù)執(zhí)行價格之間的關系. 該模型固定的剩余期限τ， 當對數(shù)執(zhí)行價格|k|→時， 隱含方差關于k是線性的， 并由此建立了總隱含方差 (total implied variance)ω與對數(shù)執(zhí)行價格k的函數(shù)關系式.

總隱含方差定義為：

(3)

對數(shù)執(zhí)行價格定義為：

(4)

其中:K為執(zhí)行價格;St為t時刻標的資產(chǎn)的價格;r為年化無風險利率.

固定的剩余期限τ， SVI模型給出的總隱含方差與對數(shù)執(zhí)行價格之間的函數(shù)關系式為：

(5)

2 模型改進

2.1 改進SVI模型——時間指數(shù)E-SVI模型

對SVI模型(即公式(5))進行變形可以得到公式(6)：

(6)

該公式描述了隱含波動率與對數(shù)執(zhí)行價格和剩余期限的確定性函數(shù)關系式， 這樣的關系式滿足粘性delta規(guī)則， 即隱含波動率是關于對數(shù)執(zhí)行價格和剩余期限的函數(shù).

(7)

文獻[7]用OTC市場S&P500期權(quán)的月度數(shù)據(jù)對粘性delta規(guī)則和平穩(wěn)時間平方根規(guī)則進行了實證檢驗， 結(jié)果表明平穩(wěn)時間平方根規(guī)則構(gòu)建的模型參數(shù)更少， 并且比粘性delta規(guī)則的模型更能準確描述隱含波動率曲面.

(8)

(9)

(10)

(11)

2.2 無套利條件約束模型

不存在無風險套利機會是Black-Scholes期權(quán)定價公式中重要的假設之一. 套利機會可分為動態(tài)套利機會和靜態(tài)套利機會， 在本研究中僅考慮避免靜態(tài)套利機會， 即避免跨期套利和蝶式套利. 隱含波動率模型在建立時， 應考慮隱含波動率曲面的無套利條件[11, 13-14]. 隱含波動率曲面無套利條件歸納如下：

1) 對任意τ>0,ω(·,τ)是二階可微的.

2) 對任意k∈,τ>0，ω(k,τ)>0成立.

3) 對任意k∈,τ>0， 滿足

(12)

4) 對任意k∈,ω(k, ·)是增函數(shù)， ?τω(k,τ)≥0.

5) 對任意k∈,ω(k, 0)=0成立.

為了表示方便， 本研究將剩余期限為τj的參數(shù)集合記為χτj={a，b，ρ，m，c，β}， 并將總隱含方差記為ωτ(k;χτj). 針對上節(jié)提出的E-SVI模型引入無套利約束條件， 則公式(11)改寫為下述非線性約束問題：

(13)

條件①是為了保證隱含波動率恒大于0， 條件②是為了避免蝶式套利， 條件③是為了消除跨期套利. 當求解χτm時， 非線性約束問題(13)不考慮條件③. 在求解模型時， 往往選擇從剩余期限最大(即j=m)的隱含波動率曲線的參數(shù)開始擬合.

本研究使用序列二次規(guī)劃算法[15](sequential quadratic programming， SQP)求解非線性約束問題(13). 該算法將復雜的非線性約束最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為比較簡單的二次規(guī)劃問題， 即目標函數(shù)為二次函數(shù)， 約束條件為線性函數(shù)的最優(yōu)化問題.

將問題(13)的解作為模型參數(shù)帶入模型(10)～(11)， 即可獲得由模型擬合的隱含波動率和隱含方差. 將該隱含波動率帶入B-S模型， 即可求出相應的期權(quán)價格.

3 隱含波動率曲面

在SVI半?yún)?shù)模型中， 對總隱含方差的擬合只考慮了一維變量， 即總隱含方差與執(zhí)行價格K(或者對數(shù)執(zhí)行價格k)的關系， 沒有考慮二維變量， 雖然經(jīng)過公式變化可以擬合隱含波動率曲面， 但無法加入跨期套利約束.

上節(jié)提出的時間指數(shù)E-SVI模型在固定剩余期限的情況下， 認為隱含波動率是對數(shù)執(zhí)行價格的一維函數(shù). 在剩余期限τ變化的情況下， 該一維函數(shù)就拓展為二維曲面：

(14)

(15)

4 實證分析

1) 相關性系數(shù)ρ， 用來比較模型結(jié)果與市場數(shù)據(jù)的相關性. 則相關性系數(shù)計算如下：

期權(quán)價格的觀察指標如下：

4.1 隱含波動率曲線

本研究采用AAPL股票期權(quán)2016年3月共21個交易日的市場數(shù)據(jù)對E-SVI模型做實證分析. 圖1給出了2016年3月1日市場數(shù)據(jù)的擬合情況， 其中圖1(a)給出了到期日為2016年10月21日的隱含波動率擬合曲線， 以及與市場隱含波動率的對比情況. 可以看出， 該模型較好地擬合了市場數(shù)據(jù). 圖1(b)給出了到期日分別為2016年10月21日和2017年1月20日的總隱含方差擬合曲線. 可以看出兩條曲線之間不存在交叉情況， 即無套利機會.

黨的十九大報告明確提出鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，要求逐步實現(xiàn)鄉(xiāng)村“產(chǎn)業(yè)興旺、生態(tài)宜居、鄉(xiāng)風文明、治理有效、生活富裕”[1-2]。鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略是一項復雜的系統(tǒng)工程，涉及政治、經(jīng)濟、文化等多方面的建設和發(fā)展。在互聯(lián)網(wǎng)時代，社會發(fā)展迅速，在城市化建設的沖擊下，鄉(xiāng)村振興成為社會協(xié)調(diào)發(fā)展的必然趨勢，對實現(xiàn)中華民族偉大復興具有重要意義。

圖1 E-SVI模型擬合隱含波動率曲線Fig.1 The curve fitting of the E-SVI model

表1～2給出了2016年3月1日對于不同到期日的數(shù)據(jù)分析. 其中表1給出了E-SVI模型計算結(jié)果與市場數(shù)據(jù)的相關性系數(shù)并與SVI模型做比較. 表2分別比較了兩個模型獲得隱含波動率和期權(quán)價格與市場數(shù)據(jù)的近似程度.

通過表1～2可知， 對于一個交易日中不同的到期日， E-SVI模型在擬合效果上有一定的改善. 通過相關性比較， 原始SVI模型得到的隱含波動率估計值與市場數(shù)據(jù)已經(jīng)普遍具有很高的相關性， 而E-SVI模型的相關性系數(shù)相比原始SVI模型有所提高. 觀察表2中數(shù)據(jù)比較可知， 原始SVI對隱含波動率曲線的擬合已經(jīng)足夠接近市場真實數(shù)據(jù)， E-SVI模型在表2中的5個指標對于與原始SVI均有一定的改善.

表1 2016年3月1日隱含波動率曲線模型相關性比較

注： 加粗字體表示對應模型得到的數(shù)據(jù)與市場數(shù)據(jù)之間的相關性更強

表2 2016年3月1日隱含波動率曲線模型擬合誤差分析

注： 表中η為期權(quán)價格正確率； ivR為隱含波動率的均方根誤差； ivM為隱含波動率平均絕對誤差； VR為期權(quán)價格均方根誤； VM為期權(quán)價格平均絕對誤差. 加粗字體表示對應模型得到結(jié)果更好， 表4和表6同

為了進一步觀察E-SVI模型的改進效果， 本研究對于2016年3月的其余21個交易日分別進行SVI模型以及E-SVI模型的擬合實驗， 將一個交易日中所有實驗得出的實驗數(shù)據(jù)與該交易日中的市場數(shù)據(jù)進行對比分析， 如表3～4所示. 其中表3給出了兩個模型的計算結(jié)果與市場數(shù)據(jù)的相關性系數(shù). 表4分別比較了兩個模型獲得的隱含波動率和期權(quán)價格與市場數(shù)據(jù)的近似程度.

觀察表3～4可知， E-SVI模型與原始SVI相比， 在擬合效果上有一定的改善. E-SVI模型下的相關性系數(shù)相比原始SVI模型有所提高， 且E-SVI模型在表4中的5個指標對于與原始SVI均有一定的改善.

表3 隱含波動率曲面半?yún)?shù)模型相關性比較

注： 加粗字體表示對應模型得到的數(shù)據(jù)與市場數(shù)據(jù)之間的相關性更強

表4 隱含波動率曲面半?yún)?shù)模型擬合誤差分析

4.2 隱含波動率曲面

對隱含波動率曲面的擬合， 選擇AAPL股票期權(quán)2016年3月1日至2016年3月31日的市場數(shù)據(jù)在無套利條件約束下的E-SVI模型(14)進行擬合. 由于大規(guī)模約束問題會影響算法的穩(wěn)定性， 本研究僅考慮避免跨期套利的條件約束， 并對無約束SVI模型和避免跨期套利約束E-SVI模型做了對比實驗. 圖2(a)為E-SVI模型在無跨期套利約束下對2016年3月1日11組不同到期日組成的隱含波動率曲面的結(jié)果圖， 圖2(b)為在SVI模型不加入無套利條件下的擬合曲面.

圖2 E-SVI和SVI模型擬合隱含波動率曲面Fig.2 The surface fitting of the E-SVI and SVI model

表5～6給出了上述實驗的數(shù)據(jù)分析. 其中表5給出了兩個模型的計算結(jié)果與市場數(shù)據(jù)的相關性系數(shù)； 表6比較了兩個模型獲得的隱含波動率和期權(quán)價格與市場數(shù)據(jù)的近似程度.

表5 隱含波動率曲面模型相關性比較

注： 加粗字體表示對應模型得到的數(shù)據(jù)與市場數(shù)據(jù)之間的相關性更強

表6 隱含波動率曲面模型擬合誤差分析

由以上分析可知， E-SVI模型在加入套利條件下， 其擬合效果比未加入套利條件的SVI模型好. 將E-SVI模型進行延伸， 對整個隱含波動率曲面進行建模， 得到的隱含波動率估計值與市場數(shù)據(jù)之間整體存在強相關性， 相對于SVI模型進行延伸對整個隱含波動率曲面進行擬合， 其準確度得到了很大的提高. 觀察表6數(shù)據(jù)可知， 避免跨期套利約束E-SVI模型的5個指標相對無約束SVI模型有明顯的改善. 但根據(jù)具體的市場數(shù)據(jù)， 實驗過程中會發(fā)現(xiàn)避免跨期套利約束E-SVI模型仍存在一些的誤差， 例如該模型對曲面整體擬合較好， 對于近期平價期權(quán)附近的隱含波動率存在一些小誤差.

5 結(jié)語

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