相對論黏滯流體動(dòng)力學(xué)演化

傅永平 ，郗 勤 ，王 棟

在相對論重離子碰撞中，如果重核的質(zhì)心系碰撞能量大于100 GeV，那么核子經(jīng)過多重散射后將停留在碰撞中心區(qū)域并熱化，而攜帶有重子化學(xué)勢的少量剩余核子物質(zhì)會脫離碰撞中心，中心區(qū)域?qū)纬芍鶢畹臒岵糠肿恿黧w。這些集體流決定著相對論重離子碰撞產(chǎn)生的末態(tài)粒子分布，例如橫向流效應(yīng)既會導(dǎo)致強(qiáng)子氣體產(chǎn)生的光子橫動(dòng)量產(chǎn)率增強(qiáng)，又會使熱雙輕子低不變質(zhì)量譜壓低［1-2］。目前，橫向流和橢圓流效應(yīng)已由相對論重離子對撞機(jī)和大型強(qiáng)子對撞機(jī)實(shí)驗(yàn)證實(shí)。文獻(xiàn)［3］和［4］給出了相對論理想流體的演化方程。而實(shí)際的夸克-膠子等離子體具有一定的黏滯性，理論計(jì)算發(fā)現(xiàn)流體的黏滯性會導(dǎo)致光子和雙輕子的大橫動(dòng)量譜線部分增強(qiáng)［5-6］。我們將在理想流體的基礎(chǔ)上考慮實(shí)際相對論流體的黏滯性，得到相對論黏滯流體動(dòng)力學(xué)演化方程及其非相對論近似。

1 理論模型

相對論黏滯流體的能量-動(dòng)量張量為［3］

這里， uμ是流速， ε 是 能量密度，p是壓強(qiáng)， gμν是度規(guī)，ξ 和 η 分別是流體的體黏滯系數(shù)和剪切黏滯系數(shù)。（t是時(shí)間， z 是縱向坐標(biāo))是滿足洛侖茲協(xié)變性和柱狀對稱性的流體速度定義，它還具有u2=1的性質(zhì)。 γr=(1 - vr2)-1/2是橫向洛侖茲因子，vr是橫向速度， τ2= t2-z2是固有時(shí)。

黏滯修正項(xiàng)中的偏微分定義為▽μ=?μ-uμu·??μ=(?/? t, ? /? r, ?/? z, ?/ ( r ?φ))。 注意到這兩個(gè)偏微分都具有速度梯度的一致性 ▽ ·u=?· u ，從相對論黏滯流體的能量-動(dòng)量守恒出發(fā)，即可得到流體的演化方程。能量-動(dòng)量守恒方程可以寫為=0和μv=0兩種形式。 文獻(xiàn)［3］、［4］和［7］從兩種方案出發(fā)都得到了相對論流體的演化方程，但都沒有考慮黏滯效應(yīng)。我們將式(1)代入守恒方程得到

相對論重離子碰撞的初始能量主要集中在縱向，文獻(xiàn)［8］中的計(jì)算表明，相對論重離子碰撞后，流體內(nèi)的熱組份能量仍然有可能主要集中在縱向，橫向能量相對要小得多（vr＜＜vz）。橫向流在非相對論近似下可以得到結(jié)果≈1，式（4）包含 u lnγ的項(xiàng)在非相對論近似下可以忽略，于是非相對論橫向流流體的演化方程寫為

如果不考慮橫向流效應(yīng)（vr=0）和流體的黏滯特性，那么式（4）就可以簡化為標(biāo)準(zhǔn)的Bjorken流體動(dòng)力學(xué)方程

Bjorken流體動(dòng)力學(xué)模型能較好地描述低能量重核碰撞產(chǎn)生的夸克-膠子等離子體流體動(dòng)力學(xué)特性，但隨著碰撞能量的增加，橫向流效應(yīng)將會突顯出來，Bjorken模型不再適用。

2 數(shù)值結(jié)果及討論

在數(shù)值計(jì)算中，我們考慮了大型強(qiáng)子對撞機(jī)可實(shí)現(xiàn)鉛-鉛每核子質(zhì)心系能量2.76 TeV，對心碰撞率為0%～20%產(chǎn)生的夸克-膠子等離子體的溫度演化。因?yàn)榭淇?膠子等離子體黏度相對較小，理論計(jì)算的黏度熵比約為0.08，比氦流體的黏度熵比（0.7）都要小得多，而黏滯項(xiàng)只是一個(gè)較小的修正，故夸克-膠子等離子體可以視為近似理想流體。這與相對論重離子對撞機(jī)得到的黏度實(shí)驗(yàn)結(jié)果是相符的［9］。

已知夸克-膠子等離子體的能量密度和壓強(qiáng)正比于系統(tǒng)溫度的4次方，為了進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，我們定義流體動(dòng)力學(xué)溫度演化的邊界條件為對大型強(qiáng)子對撞機(jī)，鉛-鉛每核子質(zhì)心系能量為2.76 TeV，對心碰撞率為0%～20%，初始溫度取為T0=762 MeV，初始固有時(shí)取為

從四川省申報(bào)全國特色小鎮(zhèn)的類型分析，主要為自然風(fēng)光、農(nóng)業(yè)、古鎮(zhèn)三大特色，基本以文旅小鎮(zhèn)為主，整體處于向融合、跨界、共享的新時(shí)期轉(zhuǎn)變。四川省將利用特有的文化、歷史資源，將文旅小鎮(zhèn)營造為生產(chǎn)、生活、生態(tài)的“三生融合”，產(chǎn)業(yè)、文化、旅游“三位一體”，一二三產(chǎn)業(yè)聯(lián)動(dòng)的“三產(chǎn)聯(lián)動(dòng)”于一身的小鎮(zhèn)［6］。

圖1給出了相對論黏滯夸克-膠子等離子體溫度的分布。圖1中的虛線表示不包含橫向流的Bjorken膨脹結(jié)果，而實(shí)線則表示考慮了橫向流的柱狀膨脹結(jié)果。圖1表明：系統(tǒng)溫度對徑向坐標(biāo)幾乎沒有依賴，即系統(tǒng)溫度滿足縱軸對稱性；在夸克-膠子等離子體的橫截面上溫度均勻分布且各向同性。但是系統(tǒng)溫度對固有時(shí)的函數(shù)依賴關(guān)系卻非常明顯，由圖1可以看到，隨著固有時(shí)的增加系統(tǒng)溫度迅速降低。這是因?yàn)橄鄬φ撝仉x子碰撞產(chǎn)生的熱媒介會隨著系統(tǒng)的膨脹而逐漸冷卻。

圖2給出了Bjorken模型與本文模型的比較結(jié)果。由圖2可知，針對兩種模型，夸克-膠子等離子體的系統(tǒng)溫度隨固有時(shí)變化的趨勢是有區(qū)別的。固有時(shí)從2 fm/c時(shí)，兩種模型的差距就開始明顯。圖2表明Bjorken流體的相變時(shí)間是16 fm/c，而包含橫向膨脹的流體相變時(shí)間只是9 fm/c，說明橫向流效應(yīng)能加快夸克-膠子等離子體的膨脹和冷卻速度，從而減小夸克-膠子等離子體的壽命。

圖1 夸克-膠子等離子體的溫度T隨固有時(shí)τ和徑向半徑r的分布。

圖2 夸克-膠子等離子體的T-τ關(guān)系。

3 結(jié)論

利用相對論流體動(dòng)力學(xué)，得到了大型強(qiáng)子對撞機(jī)鉛-鉛每核子2.76 TeV能標(biāo)下的夸克-膠子等離子體演化方程，給出了橫向流非相對論近似公式和Bjorken公式。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，夸克-膠子等離子體的溫度演化對徑向半徑的依賴很弱，橫向流效應(yīng)使體系的相變時(shí)間提前了約7 fm/c。

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