計(jì)及附加質(zhì)量的熱鍍鋅線沉沒(méi)輥裝置液固耦合振動(dòng)瞬態(tài)響應(yīng)分析

王興東， 劉燦燦， 李友榮， 汪磊川

(1.武漢科技大學(xué) 機(jī)械自動(dòng)化學(xué)院，武漢 430081;2.武漢鋼鐵股份有限公司冷軋總廠，武漢 430081)

某冷軋帶鋼廠熱鍍鋅線沉沒(méi)輥裝置(包括：沉沒(méi)輥、支撐架、懸臂)在高溫、高密度的鋅液中常發(fā)生劇烈振動(dòng)，導(dǎo)致生產(chǎn)的帶鋼表面形成振痕而報(bào)廢。這種結(jié)構(gòu)與液體的耦合振動(dòng)問(wèn)題是工程實(shí)踐中亟待解決的。準(zhǔn)確掌握沉沒(méi)輥裝置在鋅液流場(chǎng)作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特點(diǎn)，是解決此類耦合振動(dòng)問(wèn)題的關(guān)鍵。

目前，對(duì)于沉沒(méi)輥裝置的振動(dòng)固有特性已有相關(guān)研究：李蛟龍[1]、黃毫軍等[2]基于濕模態(tài)的非完全液固耦合方法，建立鋅液和沉沒(méi)輥液固耦合有限元分析模型，計(jì)算得到沉沒(méi)輥在鋅液中的固有頻率和振型，但缺少帶鋼瞬態(tài)激勵(lì)下基于沉沒(méi)輥結(jié)構(gòu)特征的液固耦合動(dòng)力響應(yīng)研究。其它相關(guān)研究多集中于鋅鍋內(nèi)流場(chǎng)的分析[3-4]。

針對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的液固耦合求解，有限元法是應(yīng)用最廣的數(shù)值計(jì)算方法[5]。對(duì)有無(wú)分流葉片的兩種方案高溫熔鹽泵，張金鳳等[6]進(jìn)行了考慮泵內(nèi)部流場(chǎng)和結(jié)構(gòu)場(chǎng)的雙向流固耦合求解，并對(duì)比分析了兩種方案對(duì)泵非定常流動(dòng)及結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響?；诖巴獠坎ɡ瞬捎脛?shì)流理論，姜?jiǎng)俪琜7]建立了船舶運(yùn)動(dòng)與液艙內(nèi)液體晃蕩的耦合時(shí)域數(shù)值模型，并將數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。盡管有限元法能求解復(fù)雜結(jié)構(gòu)的耦合振動(dòng)問(wèn)題，但數(shù)值計(jì)算涉及到了流場(chǎng)表征、結(jié)構(gòu)與流場(chǎng)邊界匹配等一系列復(fù)雜的問(wèn)題，其液固整體模型建立及計(jì)算極其困難，而且為保證模型的正確性，相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)研究必不可少。

進(jìn)而，基于附加質(zhì)量理論體系，學(xué)者們將液固耦合問(wèn)題進(jìn)行了簡(jiǎn)化[8-9]，結(jié)合試驗(yàn)研究，完成了相應(yīng)體系的振動(dòng)研究。Rodriguez等[10]分別對(duì)水和空氣中的水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪進(jìn)行了模態(tài)試驗(yàn)研究，結(jié)果顯示其固有頻率的差異依賴于水的附加質(zhì)量效應(yīng)，而不是水的附加阻尼。針對(duì)橋梁深水高樁承臺(tái)-水的耦合動(dòng)力問(wèn)題，魏凱等[11]綜合附加質(zhì)量解析法及附加質(zhì)量簡(jiǎn)化有限元法的各自優(yōu)勢(shì)，提出了深水高樁承臺(tái)地震動(dòng)水效應(yīng)數(shù)值解析混合算法，并通過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了該算法的準(zhǔn)確性。利用附加質(zhì)量簡(jiǎn)化液固耦合問(wèn)題，在保證精度的同時(shí)提高了計(jì)算效率，具有更高的工程應(yīng)用性。

因此，本文首先建立了針對(duì)液固耦合的瞬態(tài)響應(yīng)數(shù)學(xué)模型；進(jìn)行了沉沒(méi)輥裝置的現(xiàn)場(chǎng)振動(dòng)試驗(yàn)研究；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，結(jié)合干濕模態(tài)分析得到的附加質(zhì)量和沉沒(méi)輥的結(jié)構(gòu)特征，建立了以帶鋼運(yùn)動(dòng)為激勵(lì)的瞬態(tài)響應(yīng)數(shù)值分析模型。通過(guò)仿真分析及與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，可知本文建立的模型表征真實(shí)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)基本特征。

1 基于附加質(zhì)量的瞬態(tài)響應(yīng)分析模型

在采用附加質(zhì)量法解耦時(shí)，液體對(duì)結(jié)構(gòu)的作用歸結(jié)為修正后的結(jié)構(gòu)瞬態(tài)動(dòng)力平衡方程中的附加質(zhì)量矩陣[12]?；诟郊淤|(zhì)量的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)平衡方程

(1)

式中:[M]為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣;[Ma]為附加質(zhì)量矩陣;[C]為阻尼矩陣;[K]為剛度矩陣;{F(t)}為力矢量;{x}為位移矢量。

對(duì)于液體附加質(zhì)量，采用基于能量理論的瑞利法來(lái)描述，根據(jù)保守系統(tǒng)的機(jī)械能守恒原理，系統(tǒng)的最大動(dòng)能和最大勢(shì)能應(yīng)相等，推導(dǎo)第i階固有頻率的平方表達(dá)式[13]

(2)

式中：K(i)為第i階廣義剛度；M(i)為第i階廣義質(zhì)量；ω(i)為第i階固有頻率；φ(i)表示第i階主振型。

假設(shè)液體具有不可壓縮性，對(duì)于小變形的振動(dòng)系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)無(wú)論是在空氣還是液體中，系統(tǒng)的最大勢(shì)能就是結(jié)構(gòu)的最大勢(shì)能；結(jié)構(gòu)在液體中振動(dòng)時(shí)，動(dòng)能在結(jié)構(gòu)與液體之間相互傳遞，忽略阻尼對(duì)系統(tǒng)能量的耗散，認(rèn)為系統(tǒng)的最大動(dòng)能不變[14]，亦即系統(tǒng)的各階廣義質(zhì)量不變?；谏鲜黾僭O(shè)，認(rèn)為系統(tǒng)的廣義質(zhì)量由結(jié)構(gòu)的廣義質(zhì)量和廣義附加質(zhì)量組成

M(i)=Ms(i)+Mf(i)

(3)

式中：Ms(i)為結(jié)構(gòu)的廣義質(zhì)量；Mf(i)為廣義附加質(zhì)量。

結(jié)構(gòu)處于空氣中時(shí)，其廣義質(zhì)量為Msd(i)，廣義附加質(zhì)量Mf(i)=0；結(jié)構(gòu)處于液體中時(shí)，其廣義質(zhì)量為Msw(i)。根據(jù)式(2)，結(jié)構(gòu)在空氣和液體中各階頻率的平方可表示為

(4)

(5)

式中：ωd(i)為結(jié)構(gòu)處于空氣中時(shí)的固有頻率；ωw(i)為結(jié)構(gòu)處于液體中時(shí)的固有頻率。聯(lián)立式(4)和式(5)得

(6)

系統(tǒng)廣義質(zhì)量可用系統(tǒng)質(zhì)量和振型來(lái)描述

(x,y,z)dV

(7)

式中:M為系統(tǒng)質(zhì)量；φi(x,y,z)為第i階振型函數(shù)；V為結(jié)構(gòu)體積。

結(jié)構(gòu)處于空氣中時(shí)，其第i階振型函數(shù)為φd(i)(x,y,z)；結(jié)構(gòu)處于液體中時(shí)，其第i階振型函數(shù)為φw(i)(x,y,z)，廣義附加質(zhì)量的振型函數(shù)與結(jié)構(gòu)一致，第i階附加質(zhì)量為Ma(i)，則：

(8)

式(8)代入式(6)得：

(9)

對(duì)整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行干濕模態(tài)分析，確定各階固有頻率和振型，由式(9)得到各階附加質(zhì)量Ma(i)，最終可由式(1)求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。

本文針對(duì)工程設(shè)計(jì)中比較關(guān)心的結(jié)構(gòu)一階固有頻率進(jìn)行討論[15]，由式(9)可得

(10)

本文建立的瞬態(tài)響應(yīng)數(shù)學(xué)模型是用附加質(zhì)量來(lái)代替結(jié)構(gòu)表面復(fù)雜的液體作用，但附加質(zhì)量求解困難，目前多依賴實(shí)驗(yàn)研究[9-11]。沉沒(méi)輥結(jié)構(gòu)復(fù)雜，且浸沒(méi)在高溫、高密度的鋅液中連續(xù)旋轉(zhuǎn)，無(wú)法從理論上準(zhǔn)確描述其頻率和振型，因此須結(jié)合現(xiàn)場(chǎng)沉沒(méi)輥裝置振動(dòng)在線測(cè)量的結(jié)果，全面分析系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)特征。

2 在線振動(dòng)實(shí)驗(yàn)研究

沉沒(méi)輥浸沒(méi)在460 ℃鋅液運(yùn)動(dòng)中，振動(dòng)傳感器無(wú)法直接對(duì)其進(jìn)行實(shí)時(shí)測(cè)量。因此，選擇的振動(dòng)測(cè)點(diǎn)既能反映沉沒(méi)輥裝置的振動(dòng)特性，又要避免高溫的影響，測(cè)點(diǎn)位置的分布,如圖1所示。

圖1 沉沒(méi)輥裝置的模型及測(cè)點(diǎn)位置圖

現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)中，在支撐架測(cè)點(diǎn)安裝一個(gè)三軸加速度傳感器。帶鋼規(guī)格為0.6 mm×600 mm，沉沒(méi)輥包角為154°。現(xiàn)場(chǎng)工藝監(jiān)測(cè)系統(tǒng)顯示：帶鋼張力范圍為(42±2.1) kN，波動(dòng)頻率約為0.5 Hz，帶鋼速度范圍為(1.6±0.08) m/s，波動(dòng)頻率約為0.6 Hz。提取測(cè)點(diǎn)的振動(dòng)加速度信號(hào)，并做頻域分析，得到頻譜圖,如圖2所示。

圖2 實(shí)驗(yàn)測(cè)點(diǎn)加速度頻譜圖

從圖2可知，測(cè)點(diǎn)X(水平方向)、Y(鉛垂方向)、Z(沉沒(méi)輥軸線方向)三個(gè)振動(dòng)方向測(cè)點(diǎn)加速度頻譜圖趨勢(shì)一致，均在45.05 Hz和90.77 Hz處明顯出現(xiàn)了波峰，且存在二倍頻關(guān)系，兩個(gè)波峰的兩側(cè)均出現(xiàn)了能量各不相同且較為明顯的邊頻帶。

波峰f1處振動(dòng)幅值最大，波峰f2處幅值相對(duì)較小，說(shuō)明沉沒(méi)輥裝置的振動(dòng)頻率主要以45.05 Hz為主。三個(gè)方向?qū)Ρ确治隹芍瑢?duì)于峰值f1在Y方向的振動(dòng)幅值最大，對(duì)于波峰f2在X方向的振動(dòng)幅值最大。

3 瞬態(tài)響應(yīng)數(shù)值計(jì)算及試驗(yàn)驗(yàn)證

針對(duì)在帶鋼運(yùn)動(dòng)的激勵(lì)下，沉沒(méi)輥和鋅液相互作用，結(jié)合試驗(yàn)結(jié)果計(jì)算沉沒(méi)輥的液體附加質(zhì)量，修正質(zhì)量矩陣，求解帶鋼動(dòng)態(tài)激勵(lì)下系統(tǒng)的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)模型。為驗(yàn)證本文提出的基于附加質(zhì)量耦合振動(dòng)瞬態(tài)分析方法的有效性，還需將模型的仿真結(jié)果和試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比。

3.1 沉沒(méi)輥液體附加質(zhì)量計(jì)算

如圖1所示，部分懸臂及整體沉沒(méi)輥浸沒(méi)于鋅液中，且沉沒(méi)輥是運(yùn)動(dòng)的，懸臂相對(duì)靜止，因此忽略鋅液對(duì)懸臂的影響，只考慮鋅液對(duì)沉沒(méi)輥的作用，即只需求解沉沒(méi)輥的液體附加質(zhì)量。

根據(jù)式(9)，為計(jì)算沉沒(méi)輥的各階液體附加質(zhì)量，需對(duì)沉沒(méi)輥進(jìn)行干、濕模態(tài)分析。算例中沉沒(méi)輥的質(zhì)量Mr為2 145 kg，密度為7 850 kg/m3，彈性模量為200 GPa，泊松比為0.3，外徑D為800 mm，內(nèi)徑d為720 mm。根據(jù)文獻(xiàn)【2】，帶鋼對(duì)沉沒(méi)輥裝置的固有特性影響很小，故忽略帶鋼作用，利用有限元法分別計(jì)算沉沒(méi)輥在空氣中的固有頻率ωd(i)和在鋅液中的固有頻率ωw(i)，其中濕模態(tài)計(jì)算運(yùn)用APDL語(yǔ)言命令流和WORKBENCH平臺(tái)耦合的方法[16]。

計(jì)算得到干模態(tài)第1階固有頻率ωd(1)=62.83 Hz，濕模態(tài)的第1階固有頻率ωw(1)=47.48 Hz，ωw(1)接近試驗(yàn)得到的主振頻率45.05 Hz，干濕模態(tài)分析中發(fā)現(xiàn)第1階振型均為彎曲變型，且兩者變型幅值相近，根據(jù)文獻(xiàn)【9，11】中結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性僅針對(duì)第1階頻率及振型展開研究的思路，兩者第1階振型相近，根據(jù)式(10)推導(dǎo)得Ma(1)=1 611.2 kg。

3.2 廣義附加質(zhì)量分布及瞬態(tài)邊界條件設(shè)定

沉沒(méi)輥單元節(jié)點(diǎn)在液體中位置呈周期變化，因此本文采用平均分布的方式[17]，即假設(shè)施加附加質(zhì)量的單元有相同的質(zhì)量密度，將附加質(zhì)量總量根據(jù)單元節(jié)點(diǎn)數(shù)平均分配到節(jié)點(diǎn)的相應(yīng)自由度上。

選取帶鋼、懸臂、支撐架、穩(wěn)定輥和矯正輥的材料屬性及沉沒(méi)輥包角與實(shí)驗(yàn)條件一致，帶速設(shè)為1.6 m/s，邊界條件及求解設(shè)置如下：

(1)支撐架兩端面施加固定約束，穩(wěn)定輥、矯正輥釋放Rz方向的旋轉(zhuǎn)自由度。釋放帶鋼沿速度方向的平移自由度，在帶鋼端面施加沿速度方向上的載荷F(t)=42+2.1×sin(πt) kN。

(2)軸瓦與軸套之間，沉沒(méi)輥、穩(wěn)定輥和矯正輥的輥面與帶鋼表面之間定義為摩擦接觸。

(3)支撐架和懸臂的網(wǎng)格采用Solid186六面體單元，帶鋼的網(wǎng)格采用殼單元Shell181；求解時(shí)間為2.4 s，取積分步長(zhǎng)為0.002 s，每步最大迭代次數(shù)為40，采用直接迭代計(jì)算法。

3.3 模型振動(dòng)特性對(duì)比試驗(yàn)驗(yàn)證及仿真結(jié)果分析

根據(jù)建立的瞬態(tài)響應(yīng)數(shù)值模型進(jìn)行了仿真計(jì)算，獲得了沉沒(méi)輥裝置的瞬態(tài)響應(yīng)。沉沒(méi)輥模型從靜止加速，0.4～2.4 s轉(zhuǎn)速達(dá)到相對(duì)穩(wěn)定。為驗(yàn)證本文提出的瞬態(tài)響應(yīng)分析方法的準(zhǔn)確性，針對(duì)現(xiàn)場(chǎng)振動(dòng)測(cè)點(diǎn)，從模型計(jì)算結(jié)果中取相同位置的動(dòng)態(tài)響應(yīng)加速度值(0.4～2.4 s段)，進(jìn)行頻域轉(zhuǎn)換，得到頻譜圖,如圖3所示。

圖3 對(duì)應(yīng)測(cè)點(diǎn)的模型加速度頻譜圖

從圖3可知,模型X,Y,Z方向的波峰f1的頻率均為45.90 Hz，且Y方向振動(dòng)幅值最大，與圖2中試驗(yàn)數(shù)據(jù)的規(guī)律一致。圖3中波峰f1處的振動(dòng)幅值大于波峰f2處的幅值，說(shuō)明模型的主振頻率為45.90 Hz。數(shù)值模型為理想的線性振動(dòng)系統(tǒng)，兩波峰頻率無(wú)二倍頻關(guān)系，與試驗(yàn)復(fù)雜的非線性振動(dòng)系統(tǒng)不一致，因此僅對(duì)比兩者波峰f1，如表1所示。

表1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)與仿真結(jié)果對(duì)比

根據(jù)表1數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)與模型的三個(gè)方向主振頻率誤差均為1.886%，幅值誤差則在27.43%～45.07%范圍內(nèi)。

從表1的誤差數(shù)據(jù)和圖2、圖3對(duì)比可知，波峰f1處頻率和幅值均存在差異，其主要原因：液固耦合系統(tǒng)是由多階廣義附加質(zhì)量共同構(gòu)成的振動(dòng)系統(tǒng)；沉沒(méi)輥處于高溫、高密度的鋅液中，其運(yùn)行環(huán)境復(fù)雜。本文模型只考慮了帶鋼張力的激勵(lì)，導(dǎo)致波峰f1處的幅值有顯著差異，但主振頻率與激勵(lì)力的大小無(wú)關(guān)，其誤差僅為1.886%，從主振頻率角度，數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)趨勢(shì)基本吻合，說(shuō)明模型是有效的。

現(xiàn)場(chǎng)檢修更換的沉沒(méi)輥兩側(cè)軸瓦存在顯著磨損，且兩側(cè)磨損不一致，因此有必要關(guān)注軸瓦和軸頸的疲勞接觸應(yīng)力，但其處于鋅液中難以直接測(cè)量。由本文模型計(jì)算得到1～1.2 s時(shí)軸頸和軸瓦接觸面的最大等效應(yīng)力,如圖4所示。

圖4 軸瓦接觸面的最大等效應(yīng)力波動(dòng)圖

Fig.4 The maximum equivalent stress fluctuation of bearing contact surfaces

從圖4可知,兩端軸瓦與軸頸接觸面的最大等效應(yīng)力波動(dòng)規(guī)律一致，均為較明顯的交變應(yīng)力，操作側(cè)的最大應(yīng)力為22.79 MPa，平均應(yīng)力為20.28 MPa，頻率約為45.90 Hz；傳動(dòng)側(cè)的最大應(yīng)力為22.77 MPa，平均應(yīng)力為20.23 MPa，頻率約為45.90 Hz，兩側(cè)應(yīng)力存在一定差異。根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)軸瓦的使用周期計(jì)算應(yīng)力的循環(huán)次數(shù)>107，軸瓦材料的屈服強(qiáng)度σ0.2為175 MPa，結(jié)合高溫合金鋼的相關(guān)研究，疲勞極限在400 ℃時(shí)下降20%[18]，在腐蝕介質(zhì)中下降53%[19]，且零件的疲勞極限小于材料試件，參考本文模型所處復(fù)雜環(huán)境，則兩側(cè)軸瓦易引起不對(duì)稱摩損，加劇碰摩振動(dòng)，形成疲勞磨損。同時(shí)，軸瓦還存在流體磨粒磨損和流體侵蝕磨損，與疲勞磨損共同形成復(fù)合的磨損形式，增大磨損量。仿真結(jié)果為沉沒(méi)輥滑動(dòng)摩擦副疲勞壽命分析及材料選擇提供了支持，但對(duì)于復(fù)雜環(huán)境下軸瓦的疲勞特性還需展開深入研究。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)沉沒(méi)輥裝置-鋅液的液固耦合系統(tǒng)，基于附加質(zhì)量的理論方法，建立了考慮流場(chǎng)作用的瞬態(tài)響應(yīng)數(shù)學(xué)模型；進(jìn)行了在線振動(dòng)試驗(yàn)研究，結(jié)合沉沒(méi)輥的干濕模態(tài)分析結(jié)果，確定了附加質(zhì)量；建立了瞬態(tài)響應(yīng)數(shù)值分析的模型，仿真結(jié)果的三個(gè)方向的主振頻率與實(shí)測(cè)值的誤差僅為1.886%，說(shuō)明了模型接近實(shí)際系統(tǒng)的響應(yīng)，具有一定的有效性；基于該模型，得到了軸瓦與軸頸接觸面等關(guān)鍵區(qū)域的瞬態(tài)響應(yīng)。

本文基于附加質(zhì)量方法簡(jiǎn)化了液固耦合作用，避免了流場(chǎng)分析時(shí)引入的各種理想誤差累積，具有更高的計(jì)算效率，能較好的適用于液體中復(fù)雜結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)響應(yīng)分析。但鍍鋅線現(xiàn)場(chǎng)存在復(fù)雜的環(huán)境激勵(lì)，同時(shí)還涉及鋅液的附加剛度和阻尼，需繼續(xù)開展深入研究。

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