基于RISE反饋的串聯(lián)彈性驅(qū)動器最優(yōu)控制方法

孫雷 孫偉超 王萌 劉景泰

近年來,采用串聯(lián)彈性驅(qū)動器(Series elastic actuator,SEA)的柔性關(guān)節(jié)機器人由于具有良好的柔順性和安全交互能力而得到關(guān)注.SEA是一種將彈性組件串聯(lián)于電機和負(fù)載之間的柔性驅(qū)動器,彈性組件的引入,使得機器人的輸出呈現(xiàn)被動柔性,進而確保機器人與環(huán)境和人能夠進行安全的物理接觸.另外,彈性組件的形變量與輸出力矩呈對應(yīng)關(guān)系,通過對彈性組件的測量與控制可以使系統(tǒng)具有高精度的力/力矩輸出.基于以上優(yōu)點,串聯(lián)彈性驅(qū)動器可以被當(dāng)做理想力源應(yīng)用于機器人交互系統(tǒng)[1?5].

針對SEA的力/力矩控制問題,國內(nèi)外研究學(xué)者已經(jīng)提出了很多控制策略.首先,Pratt等在提出SEA概念的時候提出了一種前饋補償與PID反饋相結(jié)合的控制策略[6].隨后,Pratt等又提出了級聯(lián)PID控制方法[7],其中位置控制和力矩控制分別作為控制的內(nèi)外環(huán).之后,很多改進的級聯(lián)PID控制策略相繼被提出[8?10].由于結(jié)構(gòu)簡單,便于應(yīng)用,級聯(lián)PID控制方法目前被廣泛應(yīng)用于SEA的力/力矩控制[1,11].為了提升系統(tǒng)的魯棒性,Kong等[12?13]提出了基于線性擾動觀測器(Linear disturbance observer,LDOB)的控制方法;Yoo等[14]提出了基于內(nèi)部補償器(Robust internal-loop compensator,RIC)的控制方法,其原理類似于LDOB.除此之外,一系列先進控制策略,例如自適應(yīng)控制[15]、滑?？刂芠16]、H2最優(yōu)控制[17]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[18]等,也都被應(yīng)用于SEA的控制問題上,并取得了不錯的效果.

值得指出的是,包括上述列舉的方法在內(nèi),已有的絕大多數(shù)SEA力/力矩控制方法都是針對線性SEA模型,即SEA的輸出力矩與電機和負(fù)載端的相對轉(zhuǎn)角呈線性關(guān)系.然而,一些非線性SEA具有更高的能量密度和仿生特性,其力/力矩輸出與電機和負(fù)載的相對轉(zhuǎn)角呈現(xiàn)非線性關(guān)系,在一些文獻中,該類驅(qū)動器也被稱作Variable stiffness/impedance actuator(VSA/VIA)[19?21].顯然,非線性SEA 的力/力矩控制問題更具挑戰(zhàn)性,目前該方面的研究相對較少.文獻[22?25]應(yīng)用級聯(lián)PID控制方法來控制非線性SEA,對于復(fù)雜模型來說,PID控制是一種簡單有效的控制方法,但該方法缺少理論分析;文獻[24?25]提出一種模型線性化的方法,將表示SEA力矩輸出特性的非線性函數(shù)進行局部線性化,之后再利用線性系統(tǒng)理論分別設(shè)計LDOB和控制器使系統(tǒng)穩(wěn)定,但是該控制方法最大的不足在于只能確保系統(tǒng)在局部穩(wěn)定;文獻[26?27]分別針對投擲和敲擊任務(wù),提出了基于最優(yōu)控制理論的控制方法,該方法在分析過程中假定負(fù)載端的動力學(xué)模型已知,所以無法應(yīng)對在碰撞等交互應(yīng)用中負(fù)載端動力學(xué)模型劇烈變化的情況;文獻[28?29]提出了一種基于延時估計的控制方法,但該類方法只能保證控制誤差全局最終一致有界(Globally,uniformly,ultimately bounded,GUUB);文獻[30]提出了一種基于非線性擾動觀測器(Nonlinear disturbance observer,NDOB)的滑?？刂品椒?但該方法對SEA動力學(xué)建模中潛在的內(nèi)外擾動缺乏有效分析.

考慮到上述問題,本文提出一種基于RISE(Robust integral of the sign of the error)反饋的最優(yōu)控制方法,保證在存在模型參數(shù)不確定和有界擾動的情況下,SEA的輸出力矩在交互過程中能夠快速達(dá)到期望值.具體來說,首先對SEA的模型進行分析和變換;然后假設(shè)模型參數(shù)和擾動均已知,并在此基礎(chǔ)上基于HJB最優(yōu)控制理論設(shè)計最優(yōu)控制律;之后基于RISE反饋重新設(shè)計控制器抵消模型參數(shù)不確定性和有界擾動,基于Lyapunov理論分析控制器的收斂性和信號的有界性;最后與級聯(lián)PID的控制性能進行實驗對比.

本文的其他部分組織如下:第1節(jié)通過對SEA的動力學(xué)模型進行分析和變換,對其控制問題進行詳盡描述;第2節(jié)假設(shè)系統(tǒng)模型完全已知,并在此基礎(chǔ)上設(shè)計最優(yōu)控制律;第3節(jié)基于RISE反饋來修正控制輸入,使得模型的不確定項能被抵消掉;第4節(jié)穩(wěn)定性和信號有界性分析;第5節(jié)給出與級聯(lián)PID的實驗對比結(jié)果,驗證算法的有效性;第6節(jié)是對本文主要工作的總結(jié)和展望.

1 問題描述

本文的研究對象為旋轉(zhuǎn)型非線性SEA,即SEA的輸出力矩與轉(zhuǎn)角差之間呈非線性關(guān)系.模型如下:

其中,θM和θL分別表示電機端和負(fù)載端的轉(zhuǎn)角,?表示電機端和負(fù)載端的轉(zhuǎn)角差,JM和JL分別表示電機端和負(fù)載端的轉(zhuǎn)動慣量,cM和cL分別表示電機端和負(fù)載端的科氏力等因素,τSEA表示SEA的輸出力矩,與?呈非線性關(guān)系,q1(t)和q2(t)分別表示電機端和負(fù)載端的未建模項、參數(shù)攝動項和擾動項,有界且其各階導(dǎo)數(shù)也有界,τ表示控制輸入,如圖1所示.

圖1 SEA示意圖Fig.1 Structure of SEA

控制任務(wù)為:存在模型參數(shù)不確定和有界擾動時,設(shè)計合適的控制器,使得τSEA→τSEA,d.為此,做如下合理假設(shè):

假設(shè)1.τSEA與?之間為一一對應(yīng)的映射關(guān)系,對應(yīng)關(guān)系f有界,且f的導(dǎo)數(shù)也有界;

假設(shè)2.期望力矩及其1,2,3,4階導(dǎo)數(shù)均有界.

由于輸出力矩與轉(zhuǎn)角差一一對應(yīng),因此有?d=f?1(τSEA,d),進而有

基于以上分析,可將力矩控制和跟蹤問題轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)角差的控制和跟蹤問題.因此相應(yīng)地將模型變化為如下形式:

在實際交互場景中,負(fù)載端模型中的JL和cL等參數(shù)會發(fā)生不確定性變化,上述變換后的模型不包括負(fù)載端信息,可以從理論上消除負(fù)載端模型的不確定性對于系統(tǒng)的影響.不論負(fù)載端如何變化,控制任務(wù)始終是?→?d(τSEA→ τSEA,d).上述模型中的集總擾動項d(t)包括負(fù)載的速度和加速度、模型誤差等信息,彈性元件的引入使系統(tǒng)呈現(xiàn)出低阻抗和能量緩沖特性,這使得在實際物理交互過程中,擾動項的變化并非瞬間完成,尤其是在人機交互過程中,交互產(chǎn)生的擾動的頻率及幅值都相對較小,因此對于擾動項有以下說明:

假設(shè)3.集總擾動項d(t)及其1階和2階變化率均有界.

綜上,控制問題描述為:針對系統(tǒng)(3),設(shè)計合適的控制律,使得系統(tǒng)能在克服擾動項d(t)的同時實現(xiàn)?→?d.

2 最優(yōu)控制律設(shè)計

前面的分析已將力矩跟蹤轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)角差跟蹤,因此定義跟蹤誤差e1及輔助變量e2為

其中,α1為待計算的正常數(shù).

其中,α2為正常數(shù).

將控制誤差變換為狀態(tài)空間表達(dá)式.由式(3)～(5)可得

其中,

暫時假設(shè)動態(tài)模型(3)中各項均已知,設(shè)計控制律如下:

則有

結(jié)合式(5)和式(10)有

在此基礎(chǔ)上,引入二次型控制指標(biāo)

其中,Q>0,R>0.控制問題轉(zhuǎn)化為設(shè)計u使得J(u)最小,記最優(yōu)控制律為u?(t).上述指標(biāo)不包含重力及擾動項,因為在實際中很難獲得這些項.

上述最優(yōu)控制問題有解,即u?(t)存在的充要條件是存在V=V(z,t)滿足HJB方程[31]

其中,

而

可以證明

滿足上述HJB方程,其中,K為待計算的參數(shù).證明如下:

由于u無約束,因此取最小值時,有

將式(11),(14)和(15)代入上式,得

解得

對哈密頓函數(shù)求二次偏導(dǎo),可知

即哈密頓函數(shù)關(guān)于u的一階偏導(dǎo)單調(diào)遞增,進而可知u?是其最小值點.另外值得注意的是,被控對象為多關(guān)節(jié)SEA,仍然有此結(jié)論,推導(dǎo)過程類似.

從上述推導(dǎo)過程可以看出,V(z,t)的存在性依賴于式(13)有解,即矩陣P需存在,下面證明P應(yīng)滿足的條件和其存在性.

由式(13)可得

聯(lián)立L(z,u)的表達(dá)式和式(11),(15),(21),可得

由上式知,若矩陣P為代數(shù)里卡蒂方程的解,則其滿足式(23).將A,B,P,Q的表達(dá)式代入上式,得

上述矩陣方程意味著,矩陣Q半正定的前提下,應(yīng)有

顯然存在這樣的參數(shù).因此,當(dāng)式(25)得到滿足時,式(19)所示的控制律能使式(12)中的J(u)最小.

3 基于RISE反饋的控制輸入修正

上一節(jié)中的控制律(19)能使式(12)達(dá)到最小,但是式(9)中,τ的表達(dá)式中d是未知的,因此控制律(9)無法直接應(yīng)用.因此做如下修正:

由式(6)和式(7),可得

設(shè)計控制輸入

代入式(26),得

其中,

對式(28)求導(dǎo),得

其中,

其中,

控制輸入修正部分為

其中,sgn(·)表示符號函數(shù),β滿足

ks為正常數(shù)控制增益.將上式代入式(29),可得閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)方程為

4 穩(wěn)定性分析

可以證明,式(19),(27)和(31)構(gòu)成的控制輸入可以使

同時,控制輸入有界.證明如下:

首先引入輔助變量L(t)為

則有

定義

定義向量

選取Lyapunov候選函數(shù)為

則有

對Lyapunov候選函數(shù)求導(dǎo),可得

其中,λ3=min{2α1?1,α2?1,1+R?1}.

為保證λ3為正數(shù),要求

為保證U(Φ)半正定,即常數(shù)c>0,則應(yīng)有kyk.為此,定義區(qū)域

于是,當(dāng)Φ∈D時,VL(Φ,t)∈L∞,進而推得e1(t)∈L∞,e2(t)∈L∞,r(t)∈L∞.由式(5)和式(6)可知1(t)∈L∞,2(t)∈L∞;由式(4),(5)和(6)可知?∈L∞,,∈L∞;由式(3)可知τ∈L∞;由式(19)可知u∈L∞,進而∈L∞且η∈L∞;由式(31)可得∈L∞;由式(9)可知h∈L∞;由式(8)可計算得∈L∞;由式(33)可知.所以U(Φ)在D上一致連續(xù).

定義區(qū)域

由類不變定理可知

則?y(0)∈S,有

則由e2(t)和r(t)的定義式可知

由式(19)可知

進而由式(26)可知

可以調(diào)整ks的值,使得y(0)∈S.

綜上所述,即使存在模型參數(shù)不確定和未知有界擾動,由式(19),(27)和(31)構(gòu)成的控制輸入,當(dāng)其參數(shù)滿足式(25),(32)和(40)的約束時,能夠?qū)崿F(xiàn)最優(yōu)控制且跟蹤誤差以及跟蹤誤差的1階和2階導(dǎo)數(shù)都漸近收斂至0.

5 實驗驗證

本文整合了最優(yōu)控制原理與RISE控制策略,其中RISE方法具有辨識系統(tǒng)未知模型并且消除系統(tǒng)擾動的作用,在上面分析中使用李雅普諾夫方法證明了RISE反饋能夠漸近辨識系統(tǒng)未知項和擾動項,從理論上證明了系統(tǒng)控制律最終精確收斂到最優(yōu)控制律.下面用一組仿真實驗來驗證系統(tǒng)存在擾動時控制策略的最優(yōu)性.在SEA系統(tǒng)中加入擾動d(t)=0.1+0.5sin(2πt)之后進行階躍信號響應(yīng)測試,圖2是階躍信號跟隨情況,圖3是RISE反饋項與實際的h(t)+d(t)的對比結(jié)果.仿真結(jié)果中RISE反饋項能夠有效修正h(t)+d(t),誤差收斂于零.驗證了最終控制律會收斂于最優(yōu)控制律,系統(tǒng)在考慮了不確定干擾之后仍具有最優(yōu)性.

圖2 階躍信號仿真結(jié)果Fig.2 Simulink result of step signal

為了進一步驗證本文方法的有效性,本節(jié)在自主搭建的單關(guān)節(jié)SEA平臺上進行實驗驗證.

如圖4所示,本文的SEA系統(tǒng)由Maxon直流伺服電機驅(qū)動(減速比N=100:1),電機端安裝增量式編碼器(4000PPR),負(fù)載端安裝有絕對值編碼器(4096PPR).彈性裝置安裝在電機與負(fù)載之間,彈性主要有三個壓簧提供.當(dāng)電機與負(fù)載發(fā)生相對轉(zhuǎn)動時,滾輪會沿著圓弧軌道運動,壓縮三個彈簧,彈簧的壓縮會對負(fù)載產(chǎn)生力矩,詳見圖5.

根據(jù)圖5,該SEA系統(tǒng)的輸出力矩和相對轉(zhuǎn)角的關(guān)系如下:

圖3 RISE反饋項與實際未知項對比結(jié)果Fig.3 Comparison result of RISE feedback term with disturbance term

圖4 SEA實驗平臺Fig.4 SEA testbed

圖5 SEA彈性結(jié)構(gòu)Fig.5 Elastic structure of SEA

由此可得SEA輸出力矩與轉(zhuǎn)角差的關(guān)系為

式中,θ表示滾輪在圓弧軌道滾動的角度;R,r分別表示圓弧軌道和滾輪的半徑;?y表示彈簧的壓縮量;F表示三個彈簧壓縮產(chǎn)生的合力.該模型的正確性已經(jīng)在文獻[32]中得到實驗驗證,為SEA力矩控制打下了基礎(chǔ).

為了體現(xiàn)本文方法的有效性,在實驗時與文獻[20]中的級聯(lián)PID控制方法進行了比較(級聯(lián)PID控制方法作為一種簡單有效的輸出反饋控制策略,被廣泛用于SEA的力矩控制中).本文應(yīng)用的SEA相關(guān)機械參數(shù)如表1所示,實驗采用NI CompactRIO控制器,控制周期1ms,經(jīng)過調(diào)節(jié),本文設(shè)計的控制器參數(shù)為α1=30,α2=5,β=20,ks=5;級聯(lián)PID力矩控制參數(shù)為kop=10,koi=3,kod=0.5,速度環(huán)控制參數(shù)為kip=3,kii=1,kid=0.

表1 SEA機械參數(shù)Table 1 Mechanical parameter of SEA

實驗1.環(huán)境交互模擬

在本組試驗中,模擬串聯(lián)彈性驅(qū)動器負(fù)載端與環(huán)境交互的情形,與傳統(tǒng)的級聯(lián)PID控制策略進行了實驗對比.具體操作如下:負(fù)載在初始時刻被擋板擋住,之后輸入階躍信號,待負(fù)載穩(wěn)定后撤去擋板,負(fù)載在SEA驅(qū)動下短暫運動一段時間后與另一擋板發(fā)生碰撞.通過分析可以發(fā)現(xiàn),在擋板沒被撤掉之前的過程可以看作系統(tǒng)對階躍信號的調(diào)節(jié)控制,系統(tǒng)集總擾動項d(t)未知,可用來驗證存在模型不確定情況下的系統(tǒng)的響應(yīng)能力.在之后的釋放和碰撞過程中,負(fù)載端動力學(xué)模型中的JL,cL等參數(shù)會發(fā)生兩次突變,系統(tǒng)模型發(fā)生不確定性變化,可用來描述SEA與環(huán)境發(fā)生物理交互時的情形.

在t=0s時輸入幅值為0.2rad的階躍信號,從實驗結(jié)果圖6可以看出,在階躍響應(yīng)階段,本文提出的控制策略調(diào)節(jié)時間為0.2s,超調(diào)量約為4%,級聯(lián)PID控制策略調(diào)節(jié)時間約為0.4s,超調(diào)量約為20%,本文控制方法較級聯(lián)PID控制策略收斂速度更快,且超調(diào)較小.在釋放與碰撞階段,面對相同擾動時,本文方法輸出波動較小,能夠更快地恢復(fù)到期望值;而級聯(lián)PID控制策略控制器性能明顯下降,SEA輸出力矩波動明顯且需要較長的時間才能恢復(fù)到期望值.本組實驗充分說明了本文方法能夠更好地應(yīng)對存在模型不確定性與環(huán)境交互時負(fù)載端模型劇烈變化的情況,擁有更強的魯棒性,更適用于交互式機器人系統(tǒng).

圖6 環(huán)境交互實驗結(jié)果Fig.6 Experiment result of robotenvironment-interaction

實驗2.人機交互模擬

在人機交互情景中,零阻抗控制常用來評價控制器的性能指標(biāo),在本組試驗中采用零阻抗控制來模擬人機交互.在實驗過程中,驅(qū)動器輸出力矩設(shè)定為零,人手持負(fù)載做無規(guī)則往復(fù)運動,控制策略的性能表現(xiàn)為電機對負(fù)載的跟隨效果.

從實驗結(jié)果可以看出,負(fù)載跟隨人做無規(guī)則往復(fù)運動時,電機能夠有效地跟隨負(fù)載,跟隨誤差約為0.01rad,轉(zhuǎn)角差?被控制在很小的范圍內(nèi),對應(yīng)SEA輸出力矩很小,并且輸入較為平滑合理,表現(xiàn)出控制系統(tǒng)對于誤差和輸入的優(yōu)化.圖7和圖8是負(fù)載與人交互時的運動情況與電機的跟隨效果.實驗結(jié)果表明,本文提出的控制方法具有良好的順應(yīng)性與低阻抗特性,在實際SEA交互系統(tǒng)中具有良好的應(yīng)用價值.

6 結(jié)論

針對SEA的力矩控制問題,本文提出一種基于RISE反饋的最優(yōu)控制策略.首先假設(shè)系統(tǒng)模型參數(shù)和擾動均已知,在此基礎(chǔ)上基于最優(yōu)控制理論設(shè)計最優(yōu)控制律,之后基于RISE反饋對控制律進行修正,文中對跟蹤誤差的收斂性及信號的有界性進行了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析.通過仿真實驗驗證了RISE反饋項能夠漸近辨識模型未知參數(shù)和有界擾動,系統(tǒng)控制律最終收斂到最優(yōu)控制律,算法在存在未知擾動情況下仍具有最優(yōu)性.最后通過環(huán)境交互實驗與人機交互實驗,驗證了算法在實際平臺上的有效性.在接下來的工作中,我們將對多關(guān)節(jié)SEA機器人的力矩控制問題及其應(yīng)用展開研究.

圖7 電機與負(fù)載運動情況Fig.7 Motion result of motor and load

圖8 人機交互實驗結(jié)果Fig.8 Experiment result of human-robot-interaction