巧用小圓解決棱錐外接球問題

廣東省佛山市順德區(qū)容山中學(xué)(528303) 李洪波

高中立體幾何中的外接球問題一般綜合了多個幾何要素,空間位置關(guān)系復(fù)雜,加上學(xué)生對曲面圖形的感受性差,是教學(xué)中的一個難點(diǎn)．本文通過對比平面圖形的外接圓與空間幾何體外接球的生成過程,解析外接問題的本質(zhì),把空間球的問題“降維”為平面圓的問題來解決,突破外接球問題的難點(diǎn)．

平面上,以三角形的外接圓為例,如圖1,在△ABC中,作出其任意兩邊的垂直平分線,其交點(diǎn)O即為△ABC外接圓的圓心,其中|OA|=|OB|=|OC|,它們均為⊙O的半徑．

在空間中,如圖2,選取球面上的任意兩個小圓(不平行),過其圓心作兩個圓面的垂線,這兩條垂線的交點(diǎn)即為球心,其中R2=d2+r2．

圖1

圖2

所以空間中外接球問題就轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)外接圓的問題,其中最重要的就是確定其圓心的位置,再過圓心作圓面的垂線,其交點(diǎn)即為外接球的球心．

我們以下面這個例子來解析一下具體的操作過程:

例1如圖3,在菱形ABCD中,將△ABD折起到△PBD的位置(如圖4),若二面角,求三棱錐P?BCD的外接球的體積．

圖3

圖4

解析將二面角P?BD?C放入球中(如圖5),圓O1,圓O2分別為兩個正三角形的外接圓．由于兩個三角形全等,所以它們的外接圓半徑相等．由球的性質(zhì)可知,OO1⊥平面PBD,OO2⊥平面BCD．

圖5

設(shè)E為BD中點(diǎn),由于△PBD,△CBD均為正三角形,所以 PE⊥BD,CE⊥BD,故 ∠PEC即為二面角P?BD?C所成平面角．由對稱性可知,∠OEO1=∠OEO2=60°．在正三角形 PBD中,．在 Rt△OO1E中,,所以．在,所以球的體積

下面是幾種常見的棱錐外接球問題:

題型1可以補(bǔ)成長方體、正方體

我們常見的平面圖形中,正方形,長方形,直角三角形等,它們的外心是很容易確定的,由這幾種圖形圍成的幾何體很容易補(bǔ)成長方體或正方體．這樣,棱錐的外接球就是長方體或正方體的外接球．由長方體和正方體的對稱性可知,它們的體對角線即為外接球的直徑,體對角線中點(diǎn)即為球心,這樣問題就簡單了．

例2已知在直角梯形ABCD中,∠ADC=∠DAB=90°,△ADC與△ABC均為等腰直角三角形,且AD=1,將直角梯形ABCD沿AC折疊成三棱錐D?ABC,當(dāng)三棱錐D?ABC的體積取得最大值時,求其外接球的表面積．

解析由題意作出直角梯形ABCD如圖6,當(dāng)平面ADC⊥與平面ABC時,三棱錐D?ABC的體積最大(如圖7)．此時可以將三棱錐補(bǔ)成長方體(如圖8),長方體的長、寬、高分別為,其體對角線即為外接球的直徑,所以,故其外接球的表面積S=4πR2=4π．

圖6

圖7

圖8

另外,常見的可以補(bǔ)成長方體或正方體的棱錐如下:

題型2正棱錐

正棱錐是立體幾何中常見的一種線面角關(guān)系的載體,它的外接球問題也是經(jīng)常出現(xiàn)．

例3一個所有棱長均為1的正四棱錐的頂點(diǎn)與底面的四個頂點(diǎn)均在某個球的球面上,求此球的體積．

解法1設(shè)正四棱錐的底面中心為O1,外接球的球心為O,如圖9所示,選擇兩個圖形:

圖9

(1)正方形ABCD.

由正方形性質(zhì)可知,O1為底面正方形ABCD外接圓的圓心,由于SO1⊥平面ABCD,故球心O必在SO1所在的直線上.

(2)△SBD.

本例中選擇的兩個圖形可以是棱錐的任何側(cè)面或底面,但在實(shí)際解題過程中,我們一般選擇一些特殊的的圖形,如正方形,長方形,正三角形,等腰三角形,直角三角形等,它們的外心是比較容易確定的．

當(dāng)然,即使是等腰三角形,想要確定其外心有時也是不容易的,所以解法1可以改進(jìn)如下:

解法2同解法1,先確定球心O必在SO1所在的直線上,如圖10,在Rt△SO1D 中,在 Rt△OO1D 中,由勾股定理,,即可解出．

圖10

由于本例中的△ABD恰好是直角三角形,其外接圓的圓心為斜邊中點(diǎn)O1,而對一般三角形,解法一不是很方便;解法二的適用范圍更廣,對側(cè)面三角形形狀要求不高,更具有一般性．

題型3一般類型

例4球O的球面上有四點(diǎn)S,A,B,C,其中O,A,B,C四點(diǎn)共面,△ABC是邊長為2的正三角形,面SAB⊥面ABC,求棱錐S?ABC的體積的最大值．

解析如圖11,由于O,A,B,C四點(diǎn)共面,所以A,B,C在以O(shè)為圓心的大圓圓周上．又面SAB⊥面ABC,所以點(diǎn)S在以O(shè)1為圓心,且與⊙O垂直的小圓圓周上,則點(diǎn)S到⊙O所在的平面的最大距離為⊙O1的半徑 1,所以．

圖11

本題中S點(diǎn)的位置是變化的,它可以在⊙O1的圓周上的任何一個位置(除A,B兩點(diǎn)以外)．如果僅有棱錐S?ABC的圖像,則很難看出S點(diǎn)在哪里,畫出兩個小圓襯托一下,位置就一目了然了．

例5高為的四棱錐S?ABCD的底面是邊長為1的正方形,點(diǎn)S,B,C,D均在半徑為1的同一球面上,求底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離．

圖12

解析如圖12,設(shè)底面ABCD所在小圓的圓心為O1,則OO1⊥面ABCD．由于棱錐的高為故頂點(diǎn)S在平行于底面ABCD,且與其距離為的⊙O所在平2面上,又因?yàn)轫旤c(diǎn)S也在球面上,故頂點(diǎn)S在⊙O2的圓弧上,且．在Rt△OO1C中,,所以.在 Rt△OO2S中,,所以．在 Rt△O1O2S 中,所以底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離為1．

圖13

例4與例5的難點(diǎn)都是確定頂點(diǎn)S的位置,一個應(yīng)用面面垂直,得到兩個互相垂直的小圓面,一個應(yīng)用距離得到兩個互相平行的小圓面,有了小圓的參照,位置關(guān)系變清晰了．

例6已知三棱錐S?ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,△ABC是邊長為1的正三角形,SC為球O的直徑,且SC=2,求此棱錐的體積．

解析如圖13,OO1⊥平面ABC,SD⊥平面ABC,所以,所以棱錐的高h(yuǎn)=SD=2OO1.

本題的關(guān)鍵是確定棱錐的高SD,一開始很多同學(xué)想把這個“高”作出來,如果只有一個棱錐的圖像,則D點(diǎn)位置的確定很困難,加入了小圓以后,我們發(fā)現(xiàn)D點(diǎn)在哪里已經(jīng)不重要,重要的是SD與OO1的位置關(guān)系．

解決球的外接問題,多數(shù)時候我們是把幾何體從球中拿出來研究,球的作用只是提供幾個數(shù)據(jù)或位置關(guān)系,本文的幾個例子反其道而行之,把幾何體放回去,有了球與小圓襯托,幾何體有了根基和背景,再結(jié)合求的各種幾何性質(zhì),這樣各種幾何要素之間的相對位置關(guān)系就會變得容易理解很多．