用平面的視角化解立體幾何中的問(wèn)題

天津市耀華中學(xué)(300040) 明廷軍

立體幾何是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容,由于立體圖形往往要求以二維的形式呈現(xiàn)出三維的效果,這使得學(xué)生很難把握幾何體中點(diǎn)、線、面之間的真實(shí)關(guān)系,所以立體幾何成了學(xué)生高中學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)內(nèi)容.其實(shí)很多立體幾何知識(shí)只是平面幾何知識(shí)的延續(xù)與拓展,因此如何在二維平面的基礎(chǔ)上進(jìn)行觀察、想象與分析,進(jìn)而去化解三維空間中的問(wèn)題,在我們的立體幾何學(xué)習(xí)中顯得尤為重要,本文嘗試著從實(shí)例剖析的角度去引導(dǎo)學(xué)生對(duì)幾何問(wèn)題進(jìn)行“降維”,培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力與邏輯推理能力.

一、在復(fù)雜結(jié)構(gòu)中認(rèn)識(shí)圖形

立體圖形中的結(jié)構(gòu)往往比較復(fù)雜,對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的理解程度直接影響著我們的解題能力,所以認(rèn)識(shí)圖形、弄清結(jié)構(gòu)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

例1長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中,AB=BC=1,,設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線BD1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P,則P與C1兩點(diǎn)之間的距離為( )

解因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中,,所以,因?yàn)樵O(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線BD1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P,所以在△AD1B 中,,所以即 ∠PD1C1=30°,因?yàn)樵?△PD1C1中,D1C1=1,,所以根據(jù)余弦定理得出:,故選A.

圖1

圖2

二、在復(fù)雜結(jié)構(gòu)中變換圖形

在立體圖形中,有些元素并不在同一個(gè)平面上,這給我們認(rèn)識(shí)圖形帶來(lái)了很大困難,如果將其中一些平面進(jìn)行翻折,讓相關(guān)元素呈現(xiàn)在同一個(gè)平面中,這將方便我們認(rèn)識(shí)圖形,大大提升我們解決問(wèn)題的能力.

例2如圖3所示,在單位正方體ABCD?A1B1C1D1的面對(duì)角線A1B上存在一點(diǎn)P使得AP+D1P取得最小值,則此最小值為( )

圖3

圖4

解如圖4 所示, 把對(duì)角面旋轉(zhuǎn)至使其與在同一平面上, 連接則為所求的最小值.故選D.

例3已知各棱長(zhǎng)均為1的四面體ABCD中,E是AD的中點(diǎn),P∈直線C E,則BP+DP的最小值為( )

解由于各棱長(zhǎng)均為1的四面體是正四面體,把平面BEC及平面CED以CE為折線展平,三角形CED是正三角形的一半,,BC=1,故在平面DEBC中,連接BD,與EC相交于P點(diǎn),則DP+BP為最短距離,在三角形BEC中,根據(jù)余弦定理,

所以

圖5

圖6

例4過(guò)長(zhǎng)方體A1B1C1D1?ABCD的對(duì)角線AC1的截面是平行四邊形AMC1N,其中M ∈A1B1,N∈DC,AB=3,BC=1,C1C=2,當(dāng)平行四邊形AMC1N的周長(zhǎng)最小時(shí),異面直線MC1與AB所成的角為( ).

圖7

解如圖要使平行四邊形AMC1N的周長(zhǎng)最小,需將平面A1B1BA與平面A1B1C1D1展開(kāi),讓AMC1在一條直線上即可,其展開(kāi)圖如圖7.在正方形ABC1D1中,可得B1M=1,即B1M=1時(shí)平行四邊形AMC1N的周長(zhǎng)最小,因?yàn)锳B//A1B1,所以∠C1MB1就是異面直線MC1與AB所成的角.在Rt△C1B1M 中,B1M=C1B1=1,所以∠C1MB1=45°,所以異面直線MC1與AB所成的角為45°.故答案為 45°.

三、在復(fù)雜圖形中綜合運(yùn)用圖形

圖8

在變換圖形的過(guò)程中,有些元素是不變的,如果能從中發(fā)現(xiàn)圖形的這些特點(diǎn),合理運(yùn)用圖形,將復(fù)雜陌生的問(wèn)題化作簡(jiǎn)單熟悉的問(wèn)題,那么我們的能力一定會(huì)在圖形的不斷變換中得到培養(yǎng),我們的思路也將得到開(kāi)闊.

例5在Rt△ABC中,已知D是斜邊AB上任意一點(diǎn)(如圖8①),沿直線CD將△ABC折成直二面角B?CD?A(如圖8②).若折疊后A,B兩點(diǎn)間的距離為d,則下列說(shuō)法正確的是( )

A. 當(dāng)CD為Rt△ABC的中線時(shí),d取得最小值

B. 當(dāng)CD為Rt△ABC的角平分線時(shí),d取得最小值

C. 當(dāng)CD為Rt△ABC的高線時(shí),d取得最小值

D. 當(dāng)CD為Rt△ABC的邊上移動(dòng)時(shí),d為定值

解如圖,

圖9

圖10

在立體幾何的學(xué)習(xí)過(guò)程中,一定要努力研究圖形的結(jié)構(gòu),把空間中兩個(gè)或兩個(gè)以上的平面聯(lián)系起來(lái),轉(zhuǎn)化成一個(gè)新的平面,搭出新圖形的框架,進(jìn)而擴(kuò)展學(xué)生的探究思維,提高學(xué)生的判斷力,養(yǎng)成學(xué)生的空間想象能力,為后續(xù)的幾何學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

我們也可以看到,正是因?yàn)橛辛藥缀螆D形的變換,才有了幾何的魅力,在立體幾何的學(xué)習(xí)過(guò)程中,如果能正確地認(rèn)識(shí)圖形,不斷地變換圖形,我們一定可以將我們的學(xué)習(xí)提升到一個(gè)新的高度.