運用平面向量構造解題的“二化”思想

廣東省廣州大學附屬中學(510050) 韓智明

平面向量作為代數(shù)和幾何的紐帶,素有“與幾何聯(lián)姻,與代數(shù)牽手,與解析幾何交匯”之美稱,正是由于其兼具“數(shù)”“形”的雙重身份,加之解法靈活多樣,變化多端,備受高考命題者的青睞.近年來,以平面向量作為載體出現(xiàn)的試題形式新穎,內(nèi)涵豐富,突顯數(shù)學能力,確實讓很多考生頭痛不已.在充分考查學生學科核心素養(yǎng)的今天,運用平面向量知識構造解題恰好具備了數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象等特點,從歷年高考真題和各地市模擬題中,我們也不難看到這方面知識頻頻考查的蹤影.筆者在整理近幾年高考真題和模擬題時發(fā)現(xiàn),考生要熟練掌握運用平面向量知識構造解題,必須理解學會以下兩種解題思想,即“二化”思想.坐標化思想:是指解決向量求值、最值或范圍問題時,把有關已知條件和所求結論,在直角坐標系中恰當?shù)乇硎境鰜?這樣就將向量運算完全代數(shù)化,可使很多幾何問題轉化為學生熟悉的有關有明確關系的數(shù)量運算,從而降低問題的難度,是處理向量求值、最值或范圍問題常用的方法,坐標化思想體現(xiàn)了化歸與轉化的思想,函數(shù)與方程的數(shù)學思想.圖形化思想:是指解決向量求值、最值或范圍問題時,把已知條件和所求結論在圖形中表示出來(往往結合其幾何意義),借助圖形思考、解決問題,圖形化思想體現(xiàn)了化歸和轉化、數(shù)形結合的數(shù)學思想.

下面就幾個例題與大家一同探討:

例1已知實數(shù)x,y滿足x2+(y?2)2=1,則的取值范圍是( )

分析本題初看很難入手,所求如果通過代入坐標幾乎不可能,用其它方法處理顯得計算量很大,只能通過轉化將其化為所學熟知的數(shù)學知識處理,不難想到平面向量相關知識來通過構造數(shù)學模型處理.

圖1

解析設,則

評注此題運用平面向量的坐標化思想把轉化為兩個向量的夾角的余弦問題,再利用圖形化思想來處理,顯得簡潔直觀.

例2(2011年高考全國卷理科第12題)設向量a,b,c滿足,則 |c|的最大值等于( )

分析本題題干簡潔,樸實無華,但真正做起來似乎又讓人無從下手,仔細品味條件a·b=?1,說明a,b的夾角為120°,而 〈a ? c,b ? c〉=60°,讓我們想到四點共圓,從而打開了解題思路,使問題解決,快速地得到解答.

解析如圖2,設,,則,,由,得,即 ∠AOB=120°.又因為,即∠ACB=60°,所以O,A,C,B 四點共圓.

圖2

當OC為圓的直徑且O、C在AB的異側時,|c|取得最大值,此時 ∠OAC= ∠OBC=90°,∠ACO= ∠BCO=30°,則,即|OC|=2|OA|=2,故選A.

評注本解法利用圖形化的思想方法,各種數(shù)量關系在圖形中非常明了,本題是數(shù)形結合思想在平面向量中的典型應用,從解題過程中我們領略了圖形化策略思想解決數(shù)學問題的獨特魅力.

例3已知平面向量a,b滿足|a|=|b|=2,存在單位向量e,使得(a?e)·(b?e)=0,則|a?b|的取值范圍是____.

分析1 利用已知條件求出向量a·b+1=(a+b)·e,兩邊取模,再由|(a+b)·e|≤|a+b|,再兩邊平方,求得a·b的范圍,再求|a?b|的平方范圍,即可得到所求范圍.

解析1因為(a?e)·(b?e)=0,所以a·b+1=(a+b)·e,兩邊取?？傻?|a·b+1|=|(a+b)·e|,而 |(a+b)·e|≤ |a+b|,即有|a·b+1|≤|a+b|,兩邊平方得:(a·b+1)2≤(a+b)2即為(a·b)2≤ a2+b2?1=4+4?1=7,即則|a?b|2=a2+b2?2a·b,即.故答案為:

分析2 通過平面向量的幾何意義,如圖在平面直角坐標系中分別設出a,b,a?e,b?e對應的向量,然后運用平面向量的圖形化思想轉化(a?e)·(b?e)=0的幾何意義即為要,即∠AMB=90°,即為以AB的直徑的圓和單位圓有交點即可.

圖3

解析2如圖3,設點A和點B是圓x2+y2=4上任意兩點,且向量a,b對應的向量分別是,則.點M 是單位圓上任意一點,則向量對應的向量為單位向量e,則向量a?e或b?e對應的向量是或,要使得 (a ? e)·(b ? e)=0,只要,即∠AMB=90°,即為以AB的直徑的圓和單位圓有交點即可.設|AB|=2R,則在△OAN中,由勾股定理可得:|OA|2=|ON|2+|AN|2,即 22=R2+(R+1)2,即2R2+2R?3=0解得,當∠AOB 增大時,|AB|的長度也變大,直到在另一面與單位圓相切,此時

評注解析1注重代數(shù)運算,但|(a+b)·e|≤|a+b|的思路建立要求較高;解析2對學生理解平面向量的幾何意義要求很高,此解法能力立意高,對學生運用平面向量的圖形化思想處理數(shù)學問題得到很好的訓練,突顯思路清晰直觀.

例4已知向量α,β,γ且滿足|α|=1,|α?β|=|β|,(α? γ)·(β?γ)=0,若對每一確定的β,|γ|的最大值和最小值分別是m,n,則對任意β,m?n的最小值為___.

分析此題變量較多,學生對主、次變量的選擇有困難,在理解題意方面要求較高,更多地想到運用坐標化思想處理問題;然而通過對|α|=1,|α?β|=|β|,(α?γ)·(β?γ)=0幾何意義的理解,運用圖形化思想轉化處理會使題意更加體現(xiàn)數(shù)學魅力.

解析1把α放入平面直角坐標系,使α起點與坐標原點重合,方向與x軸正方向一致,則α=(1,0),設β=(x1,y1),因為 |α ? β|=|β|,所以,所以.設γ=(x,y),則α?γ=(1?x,?y),.因為 (α?γ)·(β ?γ)=0,所以,化簡得,,即

最小值

解析2因為|α|=1,所以令,則A必在單位圓上,又因為向量 β 滿足 |α ? β|=|β|,令,則點B必在線段OA的中垂線上,.又 因 為(α?γ)·(β?γ)=0,故 C點在以線段 AB為直徑的圓M 上,任取一點C,記.故m?n就是圓M的直徑|AB|,顯然,當點B在線段OA的中點時,(m?n)取最小值.即,故答案為

評注解析1注重坐標化思想,解法具有一般的通性,但是過程顯得繁冗,計算量較大,注重“數(shù)”的運算;解析2運用圖形化思想將題意進行化歸,解法新穎別致,深刻展示平面向量的幾何意義,解法技巧靈活,要求較高,注重“形”的轉化.

例5(2015年高考浙江卷理科第15題)已知向量e1,e2是空間單位向量,,若空間向量b滿足,且對于任意x,y∈R,|b?(xe1+ye2)|≥|b?(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),則x0=____,y0=____,|b|=____.

分析本題對向量的考查要求較高,是一道體現(xiàn)向量知識的綜合好題,可以利用兩邊平方,求出|b?(xe1+ye2)|取到最小值時x0、y0的值及|b|;可以運用坐標化思想來處理,但是和例3相似要求考生對題中主、次元進行選擇然后配方;也可以運用圖形化思想結合向量的幾何意義進行轉化.

解析1對于任意x,y∈R,|b?(xe1+ye2)|≥|b?(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R)說明當x=x0,y=y0時,|b?(xe1+ye2)|取得最小值1.

（四）母豬產(chǎn)前保健 在母豬妊娠85 d至分娩前5～7 d，用中藥飼喂母豬，預防母豬產(chǎn)前疾病帶入產(chǎn)仔過程中。主要針對藍耳病、圓環(huán)病毒、偽狂犬、霉形體感染等經(jīng)母仔傳播或并發(fā)的病原提前預防，降低發(fā)病率，并且在妊娠后期做好抗應激工作，以防流產(chǎn)。在分娩前40 d做好有關疫苗的免疫工作。在母豬產(chǎn)前2周注射大腸桿菌疫苗，產(chǎn)前1周再注射一次，以起到減少初生仔豬黃白痢發(fā)生的作用。

要使|b|2+x2+y2+xy?4x?5y取得最小值,需要把x2+y2+xy?4x?5y看成關于x的二次函數(shù),即f(x)=x2+(y?4)x+y2?5y,其圖象是開口向上的拋物線,對稱軸方程為,所以當時,f(x)取得最小值,代入化簡得,顯然當y=2時,f(x)min=?7,此時.此時

解析2因為,所以.不妨設,b=(m,n,t).由題意知

由題意知,當x=x0=1,y=y0=2時,取到最小值.此時t2=1,故|b|=

解析3假設b,e1,e2共起點O,則b?(xe1+ye2)的終點一定與b的終點相同(不妨設為B),而它起點則為向量xe1+ye2的終點(不妨設為O),由平面向量定理可知xe1+ye2的終點為e1,e2所確定的平面(不妨設為α)內(nèi)的任意一點.又因為|b?(xe1+ye2)|≥|b?(x0e1+y0e2)|=1,顯然當 BO⊥α 時滿足條件.因為 b·e1=2,,結合三垂線定理(線面垂直)可知xe+ye在e,121e2上的投影同為2和.因為,所以,,即有x0=1,y0=2,此時由勾股定理得

評注解析1是純代數(shù)法,解析2運用坐標法思想處理,兩種解法開始過程不同,但后面的步驟和思路一樣,都要分主、次元看作某一變量的二次函數(shù)進行配方求出最值,但這樣的處理要求考生有一定的技巧且有較大的計算能力;解析3是運用圖形化思想處理,結合向量的幾何意義分別把和|b?(xe1+ye2)|≥|b?(x0e1+y0e2)|=1用圖形的形式進行建模轉化,解法充分展示向量的圖形化特征,技巧性強,精彩靈活.

例6(2013年高考數(shù)學浙江卷理科第15題)設e1,e2為單位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,y∈R,若e1,e2的夾角為的最大值等于____.

解析1因為e1,e2為單位向量,非零向量,因為e1,e2,b=xe1+ye2,x,y∈R,e1,e2的夾角為,得

解析2把xe1看成一個固定向量,由一維定理或平行四邊形法則可知b=xe1+λe2(λ=y)(在共起點O之后b的終點一定在過xe1終點A且平行于ye2的直線AB上),那么比值顯然在b與直線AB垂直時達到最大,即

解析3因為x,y∈R,且y與解題無關,所以b=xe1+ye2可以改寫成b=xe1?λe2.那么由三角形法則可知b的終點在A點處,則其起點就一定在直線OC上,那么顯然當CA⊥OC時的比值達到最大,.

評注解析1通過代數(shù)法將所求二元問題轉化為一元問題的二次函數(shù)求其最值,計算要求較高.解析2和解析3都是先通過技巧處理然后從不同角度通過圖形化思想進行轉化,由平面向量的幾何意義得出轉化后的結果,轉化巧妙,構思新穎別致,活用了平面向量的“形”的特征.

例7(2016年高考四川卷理科數(shù)學第10題)在平面內(nèi),定點A,B,C,D 滿足|,,動點P,M 滿足,則的最大值是( )

分析根據(jù),可知點A,B,C在以D 為圓心,為半徑的圓上.由,易得 ∠ADC= ∠ADB= ∠BDC=120°,.因為動點P,M 滿足,所以點P在以點A為圓心,1為半徑的圓上,M是PC的中點,綜合題干信息然后根據(jù)題意進行合理轉化.距離的平方的,所以

圖4

故選B.

圖5

解析2如圖5,連接DM,DP, 則 有,

解析3如圖6,順次連接A,B,C三點,構成△ABC.根據(jù)可知,△ABC為等邊三角形,點D為等邊△ABC的中心且BD=2.設AC中點為N,連接AP,則NM為 △APC的中位線,即 NM=.因此PC的中點M在以點N為圓心,(為半徑的圓上運動.顯然取得最大值.故選B.

圖6

解析1如圖4,以D為原點,直線DA為x軸建立直角坐標系,則設P(x,y),由已知,得(x?2)2+y2=1.又,所 以,即.因此

它表示圓(x?2)2+y2=1上的點(x,y)與點

評注解法1利用坐標化思想,轉化為兩點距離求得最值;解法2利用向量的線性合成,轉化為數(shù)量積求得最值;解法3利用圖形化思想,求得點M軌跡,再通過挖掘問題的幾何特征,求得最值,解答步驟更簡捷.

向量是溝通代數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容的橋梁之一,運用坐標化和圖形化的“二化”思想處理和構造解決平面向量問題是體現(xiàn)數(shù)學學科核心素養(yǎng)的典型案例.而平面向量作為一種工具,它的特點在數(shù)學的許多方面都有體現(xiàn),利用平面向量解決一些數(shù)學問題,將大大簡化解題的步驟,使學生多掌握一種行之有效的數(shù)學工具.平面向量聯(lián)系代數(shù)與幾何,它可以使圖形量化,使圖形間關系代數(shù)化,使我們從復雜的圖形分析中解脫出來,只需要研究這些圖形間存在的向量關系,就可以得出精確的最終結論.平面向量知識很容易被處于高中文化水平之上的學生理解和接受,而且其所具有的良好的“數(shù)形結合”特點使它與中學數(shù)學知識能夠融匯貫通,相輔相承.一旦學生掌握了平面向量相關知識,其學科核心素養(yǎng)也會得到良好的培養(yǎng).很多數(shù)學問題在平面向量這一工具的參與下擺脫了純幾何推理,轉換成簡單的向量代數(shù)推理.