海上升明月 水中浮“隱圓”—直線與圓問題中“隱圓”的挖掘

江蘇省錫山高級中學(214174) 陳敏

數(shù)學問題的解決就是由已知條件向未知結論的逐步轉化,其重點是溝通未知與已知之間的聯(lián)系,化未知為已知,化陌生為熟悉.事實上,所謂數(shù)學核心素養(yǎng)簡單地說,就是個體面對復雜的、不確定的新情境時,綜合運用已知的數(shù)學知識、觀念、方法解決問題所表現(xiàn)出來的關鍵能力與必備品質.數(shù)學核心素養(yǎng)是通過一次次解決數(shù)學問題逐步培養(yǎng)起來的.但是,問題的難點是如何在新情境下透過現(xiàn)象洞察數(shù)學問題的本質,化未知為已知,化陌生為熟悉,挖掘轉化條件,從而用已知的數(shù)學知識、觀念、方法加以解決.解析幾何中,直線與圓、圓與圓的位置關系都有明確的等價條件,比較容易解決,但是,在很多情況下這種問題中的圓不是直接告知,而是隱含在題設中,即“隱圓”,需要挖掘轉化條件,使之浮出水面.我們可以從圓的定義、圓的方程、圓的性質等方面考慮,挖掘轉化條件,使“隱圓”浮出水面.

一、利用圓的定義,使“隱圓”浮出水面

圓的定義平面上到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓

例1如圖1,圓O:x2+y2=1,圓 M:(x?a)2+(y?a+4)2=1,若圓M上存在點P,過點P作圓O的兩條切線,切點為A,B,使得∠APB=60°,則實數(shù)a的取值范圍是___.

圖1

解析由題知在Rt△PAO中,∠APO=30°,OA=1,所以,PO=2,即動點P到定點O的距離是定長2,根據(jù)圓的定義,動點P的軌跡是以點O(0,0)為圓心,半徑為2的圓,此時“隱圓”浮出水面,又點P在圓M:(x?a)2+(y?a+4)2=1上,進而轉化為圓與圓的位置關系:兩個圓有公共點,所以,解得.

點評這里利用圓的切線的性質及直角三角形中邊角關系得到PO=2,根據(jù)圓的定義知道動點P的軌跡是一個圓,使“隱圓”浮出水面,問題轉化為熟悉的圓與圓的位置關系問題.

二、利用圓的方程,使“隱圓”浮出水面

圓的標準方程在平面直角坐標系下,以(a,0)為圓心,半徑為r(r＞0)圓的標準方程是(x?a)2+(y?b)2=r2.

圖2

例2(2016年江蘇高考數(shù)學第18題改編)如圖2,在平面直角坐標系xOy中,已知以M 為圓心的圓M:x2+y2?12x?14y+60=0及其上一點A(2,4),設點T(t,0)滿足:存在圓M 上的兩點P和Q,使得,求實數(shù)t的取值范圍.

解析M:x2+y2?12x?14y+60=0的標準方程是M:(x?6)2+(y?7)2=25,設P(x1,y1),Q(x2,y2),因為,又Q(x2,y2)在M上,所以(x2?6)2+(y2?7)2=25,則有[x1?(t+4)]2+(y1?3)2=25,根據(jù)圓的標準方程,隱圓[x1?(t+4)]2+(y1?3)2=25就浮出水面,從而P(x1,y1)既在M:(x?6)2+(y?7)2=25上,又在圓[x?(t+4)]2+(y?3)2=25上,進而轉化為圓與圓的位置關系:兩個圓有公共點,所以,解得.

點評這里把條件坐標化,利用動點轉移的方法,結合圓的標準方程形式,使得“隱圓”浮出水面,化歸為熟悉的圓與圓的位置關系問題.

例3(2013年江蘇高考數(shù)學第17題改編)如圖3,在平面直角坐標系xOy中,點A(0,3),直線l:y=2x?4.設圓C的半徑為1,圓心在l上.若圓C上存在點M,使MA=2MO,求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

綜上所述，市政工程綠色施工技術需要施工人員樹立綠色環(huán)保意識，在施工過程中注意環(huán)境保護，節(jié)約水資源，避免對周圍環(huán)境與居民生活造成影響。綠色施工需要合理設計市政工程施工組織、保證施工材料綠色環(huán)保、保證市政工程施工環(huán)境，控制污染。

圖3

解析由題意可設圓心C(a,2a?4),圓C的方程為(x?a)2+[y?(2a?4)]2=1,設M(x,y),由MA=2MO,得,即 x2+(y+1)2=4,根據(jù)圓的標準方程,它表示以(0,?1)為圓心,2為半徑的圓,這樣隱圓x2+(y+1)2=4就浮出水面,又點M 在圓C上,進而轉化為圓與圓的位置關系:兩個圓有公共點,所以,解得

點評事實上,在平面上給定相異兩點A、B,設P點在同一平面上且滿足,當λ＞0且λ/=1時,P點的軌跡是個圓,這個圓我們稱作阿波羅尼斯圓.設M、N分別為線段AB按定比λ分割的內(nèi)分點和外分點,則MN為阿波羅尼斯圓的直徑,且.這里 MA=2MO可化為,動點M到兩定點A,O的距離之比為一個不等于1的常數(shù),所以動點M的軌跡是一個圓.

例4若等差數(shù)列{an}滿足,則S=a2015+a2016+a2017+ ···+a4029的最大值是___.

解析設等差數(shù)列{an}的公差是d,則,再設m=a1,n=a1+2014d,則m2+n2=,所以

點評通過換元m=a1,n=a1+2014d后,條件轉化為,由此聯(lián)想到圓的標準方程,所求的目標用新元表示后再次換元,發(fā)現(xiàn)是直線與圓的關系問題,從而使問題迎刃而解.

三、利用圓的性質,使“隱圓”浮出水面

圓的性質直徑所對的圓周角是直角

例5已知實數(shù)a,b,c成等差數(shù)列,點 P(?1,0)在動直線ax+by+c=0上的投影為M,若N(3,3),求線段MN的最大值.

圖4

點評解決這道題,首先要發(fā)現(xiàn)直線ax+by+c=0過定點Q(1,?2),其次,由于PM⊥MQ,得出點M 對定線段PQ所張的角為90°,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角,發(fā)現(xiàn)點M的軌跡是以線段PQ為直徑的圓,從而問題轉化為熟悉的圓的有關問題.

讀者不妨試著從圓的定義、圓的方程、圓的性質等方面考慮,挖掘轉化條件,使“隱圓”浮出水面,解決以下問題:

1、如圖5,在平面直角坐標系中,已知點B(0,1),A(1,0),點P為線段AB上任意一點,若過點P的直線與以點C(2,2)為圓心,r為半徑的圓交于M,N兩點且PM=MN,求半徑r的最小值.

圖5

解析設P(1,1?t),t∈[0,1],M(x,y),則N(2x?t,2y?(1?t)),代入(x?2)2+(y?2)2= r2,得(2x?t?2)2+(2y+t?3)2=r2,即

一是代數(shù)法,

二是幾何法,

2、如圖6,在平面直角坐標系中,圓C1:(x?1)2+y2=2,圓C2:(x?m)2+(y+m)2=m2(m ＞0),若圓C2上存在一點P,過點P向圓C1作切線PA,PB,切點為A,B,使得S△PAB=1,求實數(shù)m的取值范圍.

圖6

解析設∠APC1=θ,則所以·,所以,,則.由圓的定義知,P點在以點C1(1,0)為圓心,半徑為的“隱圓”上,又點P 在“明圓”C2上,所以這兩個圓有公共點,則,解得.

當然,在利用S△PAB=1時,也可以這樣,設AB與PC1交于G,PA2=PG·PC1,而,所以

事實上,在求得PC1=2后,也可以不用這里所謂的“隱圓”與“明圓”的方法.因為點P在圓C2上,所以PC1的最小值是的最大值是,所以,解得.