基于線性響應(yīng)面法的機床幾何誤差靈敏度識別*

肖龍帆，杜群貴，吳 磊，翟曉晨

(1.華南理工大學(xué) 機械與汽車工程學(xué)院，廣州 510640; 2. 重慶大學(xué) 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044)

0 引言

影響機床加工精度的各類誤差中，機床的幾何誤差占總誤差源約50%[1],因此機床幾何誤差的分析與控制對當前機床精度分配有重要的意義[2]。

目前機床幾何精度建模模型主要有三角關(guān)系與矢量模型，解析二次模型，變分模型，剛體運動學(xué)模型，齊次坐標變換模型以及多體系統(tǒng)模型[3];多體系統(tǒng)模型是目前相對最優(yōu)模型形式[4]。國內(nèi)有部分學(xué)者已經(jīng)對機床誤差參數(shù)靈敏度進行了分析。黃強[5], 金增楠[6]等人在假定機床各元素誤差與最終加工精度滿足一定的線性關(guān)系下，通過把各誤差元素參數(shù)代入原精度模型，以最后的誤差結(jié)果量化各誤差元素的靈敏度，并對其進行了歸一化；程強[7]，范晉偉[8]等人主要是利用矩陣微分法對精度模型各誤差元素求一階偏導(dǎo)，從而求其靈敏度。

當機床部件涉及較多的線性軸與旋轉(zhuǎn)軸時，其精度模型呈現(xiàn)高度的非線性且各幾何元素會產(chǎn)生耦合，幾何誤差元素間具備一定的相關(guān)性[9-10]。因此當機床涉及的幾何誤差元素較多，且?guī)缀卧亻g的耦合關(guān)系復(fù)雜時，宜采用數(shù)值模擬法對機床幾何精度參數(shù)的靈敏度進行估計。

本文對5軸數(shù)控臥式銑床進行幾何精度模型靈敏度分析。為了識別出對機床幾何精度模型影響較大的關(guān)鍵性幾何要素，首先基于多體理論與齊次變換原理建立了5軸數(shù)控臥式銑床幾何精度模型，之后在線性響應(yīng)面法的理論上，建立一種對機床幾何精度解析模型靈敏度識別的數(shù)值迭代算法，并通過MATLAB編程與計算識別出五軸數(shù)控臥式銑床各幾何誤差要素的精度靈敏度。通過對機床幾何誤差參數(shù)靈敏度的計算分析示例，從而為該機床的幾何精度控制提供理論依據(jù)與參考。

1 數(shù)控機床幾何精度模型建立

1.1 機床的幾何誤差

該5軸數(shù)控銑床配備FANUC數(shù)控系統(tǒng)，具備AICCⅡ高精度輪廓加工。其結(jié)構(gòu)模型圖如圖1所示，該5軸數(shù)控銑床共涉及X,Y,Z,W,C,A共6個運動軸，其中X,Y,Z為按照機床運動坐標方向的直線移動軸，W為滑枕導(dǎo)軌方向的直線移動軸，C為工作臺旋轉(zhuǎn)軸，A為滑枕擺動軸。

1.床身 2.X向滑臺 3.數(shù)控旋轉(zhuǎn)工作臺 4.底座 5.Z向移動立柱 6.Y向滑臺 7.數(shù)控擺動滑枕 8.W向主軸箱 9.主軸(包括刀具)

圖1五軸數(shù)控銑床模型圖

根據(jù)多體系統(tǒng)理論[7]，把機床各組成部件分為相應(yīng)的“體”，其中床身與底座由于固結(jié)在一起，故視為一個整體，并按機床床身(底座)→X向滑臺→數(shù)控旋轉(zhuǎn)工作臺分支，和機床床身(底座)→Z向移動立柱→Y向滑臺→數(shù)控擺動滑枕→W向主軸箱→主軸(包括刀具)分支分別對其編號，圖2為其對應(yīng)的拓撲傳遞結(jié)構(gòu)。理想狀態(tài)下，刀具點B與工件點A應(yīng)該重合，但由于傳動部件的誤差，刀具點B相對于工件點A將存在誤差矢量ΔE。

圖2 機床拓撲結(jié)構(gòu)傳動鏈示意圖

依據(jù)剛體6自由度誤差假設(shè)理論，剛體在運動過程中必然產(chǎn)生6項自由度的誤差(3項線位移誤差，3項角位移誤差)，對于該五軸數(shù)控銑床，7個運動體在空間中的將產(chǎn)生42項誤差，根據(jù)實際誤差模型分析需要，除了主軸的回轉(zhuǎn)角度誤差不做考慮之外，X,Y,Z三個直線移動軸兩兩間存在3項不垂直度誤差，因此，該五軸機床共涉及44項誤差參數(shù)，如表1所示,其中x,y,z,w,θc,θa,θs為各運動體的位置參數(shù)。

表1 5軸數(shù)控臥銑機床幾何誤差參數(shù)表

1.2 5軸數(shù)控臥銑機床的幾何精度模型

如圖3所示，為機床的機構(gòu)運動簡圖，圖中Si(i=1,…,11)表示與機床結(jié)構(gòu)相關(guān)常量,Oj(j=1,…,7)表示機床運動體的剛體坐標系，編號與圖2中的多體編號一致。

圖3 機床機構(gòu)運動簡圖

由圖3可得機床無誤差下的各運動體的理想位置變換矩陣為：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中，Ti-j為運動體坐標系i相對運動體坐標系j的理想位置坐標變換。

在實際機床部件運動中，機床受44項誤差幾何元素的影響，并且隨著位置參數(shù)x,y,z,w,θc,θa,θs變化而變化[11]，相應(yīng)的誤差特征矩陣為：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中，ΔEi-j為幾何誤差作用下運動體坐標系i相對運動體坐標系j的坐標變換。

另外,X軸與Y軸的不垂直度誤差εvxy,Z軸與Y軸的不垂直度誤差εvzy以及X軸與Z軸的不垂直度誤差εvxz,其相應(yīng)的誤差特征矩陣為：

(15)

(16)

(17)

式中，ΔEvij為i軸相對j軸的不垂直度誤差齊次特征變換矩陣。

由式(1)、式(2)、式(8)、式(9)可得工件點A最終的偏差位置為：

EA=T1-0ΔE1-0T2-1ΔE2-1wA

(18)

式中，wA——工件加工點在工件坐標系的坐標矢量。

由式(3)～式 (7)，式(10)～式 (16) 可得刀具點B最終的偏差位置為：

EB=ΔEvxzΔEvxyΔEvzyT3-0ΔE3-0T4-3ΔE4-3T5-4

ΔE5-4T6-5ΔE6-5T7-6ΔE7-6wB

(19)

式中，wB——刀具加工點在刀具坐標系的坐標矢量。

因此最終的加工偏差可表示為：

(20)

2 機床幾何精度模型靈敏度識別

由式(20)，可得機床幾何精度模型可表示為：

ΔE=G(U,wA,wB,D,S)

(21)

式中,U——n個機床部件幾何誤差組成的誤差矢量。

U=(Δe1,Δe2,…,Δen)T

Δei——機床部件的幾何誤差，i=1,2,…n；D——機床各運動體的位置矢量。

S——機床結(jié)構(gòu)常量。

當選定機床某一空間位置時，wA,wB,D,S為固定值，此時ΔE為關(guān)于U的多元連續(xù)可微函數(shù)，由文獻[7]可知，當U中各幾何誤差變化較小時，可以忽略對ΔE泰勒展開項中高次項的影響，從而用一次項線性函數(shù)代替ΔE，本文在此基礎(chǔ)上，利用線性響應(yīng)面法對ΔE進行一次線性擬合，從而避免了對原函數(shù)求偏導(dǎo)的步驟，最終實現(xiàn)對精度解析模型的靈敏度識別。其計算流程如圖4所示。

圖4 靈敏度識別計算流程圖

其求解步驟如下：

(1)選取一組工作位置矢量D

(2)設(shè)定ΔEm(m=x,y,z)線性響應(yīng)面模型為:

(22)

(23)

式中，f(k)——插值系數(shù);f(k+1)=(f(k))0.5,f(1)取1/6～1/2;Tei——各個幾何誤差元素的公差。

通過n+1個樣本點，可以通過式(20)求得第k次迭代下各樣本點處的樣本值。

(24)

(25)

(6)計算如下精度判別式

(26)

(27)

式中，h取1/3～1/2。

3 分析示例

考慮到篇幅的限制，僅列出部分零部件運動體的幾何誤差項與公差項，如表2所示。

表2 各項檢測項目及公差

在機床工作空間中選定一組工作位置矢量(1607.7,240,69,96.5,0,0)，利用MATLAB編程計算，求得機床三個方向下各幾何誤差元素的影響系數(shù)如表3所示。

表3 各誤差元素對Δx, Δy, Δz的影響系數(shù)

由表3可知，角度誤差的靈敏度較大，各軸的垂直度靈敏度均占一定的比重，因此在該五軸機床幾何精度裝配調(diào)整中，應(yīng)優(yōu)先保證各運動軸間的相對角度偏差，即平行度誤差與垂直度誤差。

不同切削工況下加工敏感的方向不同，就銑削平面而言，Δz為加工敏感方向，對表3中Δz一列進行整理，得出機床各運動部件在Δz方向的貢獻率，其中不垂直度誤差εvxz，εvzy均是通過立柱導(dǎo)軌滑塊的配磨墊片來調(diào)整，故將其作為立柱部件的一部分，而其它誤差是機床各個運動部件位移與角度誤差的總和，其占比僅3.46%，故不作為考慮重點，最終的結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知，立柱部件在Δz方向的貢獻率達到了66%，其余部件所占比重都比較小，因此在銑削平面時要控制好立柱的幾何精度，同時就立柱本身而言，由表3中Δz一列可知，立柱Z向運動軸與X向滑臺運動軸的不垂直度誤差影響系數(shù)達到了33.18%，其次為立柱Z向運動時相對X-Y面的平行度(εzx,εzy)，其影響系數(shù)為18.34%，最后為立柱Z向運動軸與Y向滑臺運動軸的不垂直度誤差，其影響系數(shù)為13.94%。

圖5 五軸銑床Z向各部件影響因子

由于在機床實際裝配調(diào)整中，線性軸的不垂直度誤差都是一并調(diào)整，因此重點控制立柱Z向運動軸與X,Y向運動軸的垂直度精度有利于提高Δz向的加工精度。

4 結(jié)論

(1)利用多體理論與齊次坐標變換的方法，建立五軸數(shù)控臥銑機床的幾何精度模型。

(2)在原幾何精度模型的基礎(chǔ)上，利用插值抽樣技術(shù)提取樣本點，從而建立機床幾何精度線性響應(yīng)面模型，通過迭代算法設(shè)計，從而識別出機床的關(guān)鍵幾何誤差元素。

(3)計算示例表明，在該五軸數(shù)控臥銑機床的幾何精度靈敏度分析中，應(yīng)優(yōu)先保證各運動軸間的平行度誤差與垂直度誤差達到精度要求，同時對于銑削平面而言，控制立柱Z向運動軸與X,Y向運動軸的垂直度精度(εvxz,εvzy)，有利于提高銑削平面時的加工精度。

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(編輯李秀敏)