“正確答案”的背后

李文強(qiáng)

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué);“正確答案”;教學(xué)

一、案例背景

數(shù)學(xué)這門學(xué)科由于具有很強(qiáng)的客觀性，答案一般都是固定的，因此不少學(xué)生往往只關(guān)注答案的對(duì)錯(cuò)，而不去探索和鉆研答案的由來，時(shí)常是“知其然，而不知其所以然”。“正確答案”常常具有較強(qiáng)的隱蔽性和迷惑性，學(xué)生正確的答案有可能是直接向別人問來的，別人直接告訴他答案，其實(shí)自己根本不知道這個(gè)答案是怎么思考得到的。也有可能答案是正確的，但思路和方法是完全錯(cuò)誤的，屬于“歪打正著”。顯然，這不利于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握與學(xué)習(xí)能力的提高，同時(shí)也養(yǎng)成了不好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

二、案例描述

在我教五年級(jí)“因數(shù)和倍數(shù)”這一單元時(shí)，一節(jié)數(shù)學(xué)課上遇到這樣一道填空題：一張長(zhǎng)方形紙長(zhǎng)18厘米，寬12厘米，將它剪成大小相同的正方形，要求正方形盡可能大，而且沒有剩余，那么可以剪幾個(gè)？

我讓孩子們仔細(xì)思考，不一會(huì)兒，小手紛紛舉了起來?！袄蠋?，答案是6。”看著孩子們激動(dòng)而又自信的神情，我想考驗(yàn)一下他們，于是故意賣起了關(guān)子：“真的是6嗎，有沒有不同答案？”“沒有……”孩子們幾乎異口同聲地回答?！斑@么確定呀，認(rèn)為答案是6的請(qǐng)舉手！”看著全班孩子們幾乎不約而同地舉起了手，毫不猶豫地堅(jiān)持“6”這個(gè)正確答案，看到他們更加自信的表情，我暗暗欣喜：看來孩子們掌握得還真都不錯(cuò)呢。

正當(dāng)我認(rèn)為孩子們都已經(jīng)掌握了該題，不需要再講，準(zhǔn)備切換到下一個(gè)環(huán)節(jié)時(shí)，底下不知誰說了句：“這題太簡(jiǎn)單了，不就是求18和12的最大公因數(shù)嘛?！币皇て鹎永?，下面反對(duì)之聲四起：“不對(duì)，不只是求18和12的最大公因數(shù)”“根本不需要求18和12的最大公因數(shù)，而是應(yīng)該先求18和12的最小公倍數(shù)”。

我靈機(jī)一動(dòng)：“這正是一個(gè)讓孩子們共同研討發(fā)現(xiàn)結(jié)論的契機(jī)。”于是我說：“同學(xué)們，大家把自己的思考方法和解題過程寫在練習(xí)本上，等會(huì)兒我們一起來交流分享，看看什么樣的方法才是正確的?！痹捯粑绰?，孩子們就躍躍欲試，紛紛打開練習(xí)本動(dòng)起筆來……

我在孩子們中間巡視著，看到果然有多種不同的解題過程。我還看到有一個(gè)剛剛也說答案是6的孩子此時(shí)卻不知道應(yīng)該怎么寫過程，他不好意思地告訴我他是聽其他同學(xué)說的。我讓他自己先嘗試思考，然后和組內(nèi)的孩子交流。通過全班分組交流，我發(fā)現(xiàn)主要有這3種不同的做法：

第一，18和12的最大公因數(shù)是6。答：可以剪6個(gè)。

第二，18和12的最大公因數(shù)是6，因此正方形的邊長(zhǎng)是6厘米。每行可以剪18÷6=3（個(gè)），每列可以剪12÷6=2（個(gè)），3×2=6（個(gè)），答：可以剪6個(gè)。

第三，18和12的最小公倍數(shù)是36，因此正方形的邊長(zhǎng)是36厘米。每行可以剪36÷18=2（個(gè)），每列可以剪36÷12=3（個(gè)），2×3=6（個(gè)），答：可以剪6個(gè)。

做法不同，但最后答案居然都是6 1我把這三種不同的方法展示在了投影上。讓這3種不同做法的孩子分別說說自己是怎么想的。第一種做法的孩子最先遇到了窘境，他們解釋不清楚18和12的最大公因數(shù)為什么就是正方形的個(gè)數(shù)，第二種做法和第三種做法的孩子也爭(zhēng)執(zhí)不下，都堅(jiān)持自己的做法是正確的。

這時(shí)一位孩子說道：“我覺得可以通過畫圖來解釋自己的算式。”

不少緊皺眉頭的孩子通過畫圖變得豁然開朗。我將孩子們畫的圖呈現(xiàn)在了展臺(tái)上。第一種做法和第二種做法的孩子畫的是圖1，而第三種做法的孩子畫的則是圖2。

通過畫圖，第一種做法的孩子意識(shí)到了自己求的18和12的最大公因數(shù)其實(shí)是正方形的邊長(zhǎng)，而不是正方形的個(gè)數(shù)。

第三種做法的孩子畫完圖立刻發(fā)現(xiàn)了自己“剪出”的正方形竟然比原來的長(zhǎng)方形還要大，從而很容易就明白了自己的錯(cuò)誤原因。

但我并不想放過這樣的生成性資源，問道：“大家仔細(xì)想一想，題目怎么修改就應(yīng)該用這第一種做法或第三種做法呢？”

經(jīng)過熱烈的討論，一位孩子答道：“如果問題改成：正方形的邊長(zhǎng)是多少厘米？這時(shí)用第一種做法就對(duì)了。如果把題意中的剪成正方形改為拼成正方形，問最少需要多少個(gè)這樣的長(zhǎng)方形，那么用第三種做法就對(duì)了?！逼渌⒆訋颓椴蛔越毓钠鹫苼?。

三、案例反思

（一）課堂上充分挖掘和利用學(xué)生已經(jīng)想到的有效資源

當(dāng)學(xué)生提出一些“意外”的問題或是想法時(shí)，即使想法錯(cuò)誤，也是一種有效資源。在這則案例中，有的學(xué)生認(rèn)為問題就是在求最大公因數(shù)，有的認(rèn)為問題就是在求最小公倍數(shù)，雖然這些想法并不正確，但如果教師完全不顧這些反應(yīng)，或是急于否定，無疑會(huì)挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。因此我并沒有直接指出錯(cuò)誤，而是讓學(xué)生根據(jù)自己的思路，把自己所認(rèn)為的過程寫出來，然后共同探討是否得當(dāng)。一位學(xué)生提出“畫圖”的建議，也是本節(jié)課一個(gè)寶貴的生成性資源，順著這位學(xué)生的思路，無須教師多說，就得到了圓滿的解決。這給學(xué)生留下了適度的空間，體現(xiàn)出他們學(xué)習(xí)的生長(zhǎng)點(diǎn)。