無縫二維基準轉換模型研究

羅 琳，文 展，羅 楓

(1.四川工商學院，成都 611745；2.四川路橋，四川 廣安 610041；3.中鐵二院工程集團，成都 610031）

在使用GPS、在空間大地測量和工程應用中經常涉及到不同坐標系坐標成果之間的轉換。但是工程測量中，目前仍為2+1維，因而平面二維坐標轉換是經常需要用到的。

1 最小二乘法

通常二維基準轉換模型在求解坐標轉換參數(shù)時，往往只考慮了公共點在一套坐標中的誤差，而忽略了其在另一套坐標系中的坐標誤差，得到線性基準轉換模型之后，實際情況下，觀測誤差服從正態(tài)分布，采用最小二乘方法，求解出轉換參數(shù)的最優(yōu)估值。近年來，有許多學者在傳統(tǒng)基準轉換的基礎上研究了同時考慮公共點在兩套坐標系中的坐標誤差的基準變換模型，并研究了整體最小二乘解法[1,4,7,8]。

本文分析了基于整體最小二乘原理的轉換模型[1]。模擬實際情況下，公共點只知道其在一套坐標系中的權陣，假定在一套坐標系中公共點的權陣不為單位陣而在另一套坐標系中的權陣假定為單位陣，再基于整體最小二乘原理進行坐標轉換。同時，根據(jù)李博峰提出的無縫三維基準轉換模型[2]的數(shù)和旋轉參數(shù)，為第i點的二維坐標，下標Ⅰ和Ⅱ表示兩套坐標系。上式也可以改寫為：

由于兩套坐標都是測量平差到的，它們不可避免地受到觀測誤差的影響，因而對兩套坐標引入誤差向量：

聯(lián)合各公共點求解轉換參數(shù)，則有：

求解轉換參數(shù)的本質是擬合求解出兩套坐標系公共點之間的確定性函數(shù)關系，其最終目的是計算出非公共點的第Ⅱ套坐標，假設轉換時有m個非公共點，則它們的第二套坐標可以表示為：

假設相同坐標系的坐標誤差相關而不同，坐標系的坐標誤差獨立，在坐標誤差服從零均值正態(tài)分布的條件下，上式各項誤差的隨機模型表示為：

其中，vec（·）為矩陣向量化子。

2 擬合推估法

擬合推估模型[4]的標準形式為：

式（9）中，y是n×1維觀測向量，ey是觀測向量對應的誤差向量；β是k×1階的參數(shù)向量，C是列滿秩設計矩陣，y0表示n0×1未知隨機信號向量，ey0是它的誤差向量，C0是設計矩陣。值得注意的是，通常我們要求n＞k，但并不需要n0＞k。上述的模型包含“平差”和“預報”兩個過程，平差指用觀測向量y來估計參數(shù)β；而預報則是根據(jù)信號y0和β參數(shù)的函數(shù)關系以及其與觀測向量y的隨機關系來對y0作出合理的推估。

基于最小二乘原理：

3 基準轉換模型的聯(lián)合求解

二維基準轉換聯(lián)合模型是一種非線性模型，本文在高斯-牛頓法的基礎上將其轉化為線性模型[5]，然后采用擬合推估法求解。

3.1 基于高斯-牛頓法的線性模型

采用高斯-牛頓法將非線性模型轉換為線性模型，然后迭代求解。假設第j次迭代后的估值表示為ξ（j），那么參數(shù)ξ就可以表示為：

其中δξ（j）為第j+1次迭代的參數(shù)的修正數(shù)，將式（13）帶入坐標轉換模型可得：

方程（15）中如果只對δξ進行迭代，則會造成因省略二次項EA，δξ以上的小項造成的迭代發(fā)散或收斂錯誤，所以應該同時對EA，δξ一起迭代。設EA的第j次迭代值為EA(j)。

將參數(shù)求解的矩陣方程式轉換為擬合推估的標準形式為：

其中，I2n和I2m分別代表2n維和2m維的單位陣指的是kronecker積算子，上述的推導利用了矩陣積向量轉換關系式∶

ξ（j）是方程線性化后ξ第j次的迭代值由協(xié)方差傳播定律導出方程的隨機模型為：

由公式（16）、（17）和（18）可以推導出：

由于上式中前兩個公式用于參數(shù)估計，后兩個公式用于計算非公共點的第Ⅱ套坐標，并且因為“預報”和“估計”是相對獨立的過程，因此在實際計算中只需按照前兩公式迭代計算轉換參數(shù)的最優(yōu)值，迭代終止后，按（17）、（18）計算最終的坐標推估值。

3.2 系數(shù)誤差協(xié)方差陣的計算

上述模型的求解需要已知系數(shù)陣誤差的協(xié)方差陣QAA和QBA，即：

根據(jù)誤差傳播定律得：

4 傳統(tǒng)基準轉換模型

傳統(tǒng)基準轉換模型只考慮了公共點的第二套坐標誤差且忽略了非公共點坐標誤差，其標準形式為：

5 基于整體最小二乘原理的坐標轉換模型

魯鐵定在其博士學位論文[6]中詳細推導了基于整體最小二乘原理的坐標轉換方法帶權整體最小二乘即考慮公共點的兩套坐標權陣基于的條件進行參數(shù)的求解，其中v1和v2分別表示公共點在兩套坐標系中的坐標誤差。不帶權整體最小二乘即不考慮公共點的任何一套坐標系權陣進行在的條件下迭代求解轉換參數(shù)。筆者認為，在實際工程應用的轉換參數(shù)求解中，至少觀測值對應的權陣是可以得到的，所以在參數(shù)求解時應該考慮其權陣，而不是忽略公共點在任何一套坐標系中的權陣而采用不帶權整體最小二乘。當認為公共點在第Ⅱ套坐標系中的權陣即觀測值的權陣不為單位陣，公共點第Ⅰ套坐標系中的權陣假定為單位陣時，參數(shù)求解基于的條件。參數(shù)的求解方法為（略去公式推導過程）：

其中

當認為公共點在第Ⅱ套坐標系中的權陣即觀測值的權陣不為單位陣，并且公共點在第一套坐標系中的權陣也不為單位陣時，即可利用最小二乘配置的方法迭代求解轉換參數(shù)，這也就是無縫二維基準轉換中的迭代計算轉換參數(shù)的過程，只不過省去了后面對非公共點構成的系數(shù)陣的改正。

6 算例與分析

算例說明：因工程實例中的數(shù)據(jù)，均有誤差，無法準確驗證模型精度，只能通過與已有軟件轉換成果對比驗證模型是否正確，本文主要研究無縫二維轉換模型的精度，故使用模擬數(shù)據(jù)，得到真值后，人為加上正態(tài)誤差模擬工程實際情況，然后轉換得到成果與真值對比，比較三種模型的精度。

6.1 模擬數(shù)據(jù)

本次模擬數(shù)據(jù)共用了8個坐標：p1、p2、p3、p4、p5、p6、p7、p8。其中p1、p2作為基本點，只用來計算公共點和轉換點的平差值及其對應的協(xié)因數(shù)陣，p3、p4、p5作為公共點，p6、p7、p8作為轉換點。

①首先人為定義坐標系A中p1～p8各個點的合理坐標，然后用轉換參將其轉換到B坐標系當中，得到p1～p8點的坐標真值。

②在坐標系A中，計算出p1～p2外的任意兩點距離真值共27條（p1,p2兩點的坐標在計算中一直使用真值，因此其距離不參與平差），分別計算p1和p2到其余點的坐標方位角共12個，由此共得到39個觀測值。

③給距離真值加上均值為0，中誤差為σ1的隨機數(shù)，給方位角真值加上均值為0，中誤差為ε1的隨機數(shù)。因而觀測值的協(xié)因數(shù)陣為：

④根據(jù)參數(shù)平差計算過程計算p3～p8的坐標平差值，根據(jù)誤差傳播定律計算其對應的協(xié)因數(shù)陣QXX。

⑤同理，在B坐標系中，計算p1～p5各個點的距離真值共9條，分別計算p1，p2到其它3個點的方位角共6個，得到15個觀測值。給距離真值加上均值為0，中誤差為σ2的隨機數(shù)，給方位角真值加上均值為0，中誤差為ε2的隨機數(shù)。因而觀測值的協(xié)因數(shù)陣為：

⑥根據(jù)參數(shù)平差計算過程計算B坐標系中公共點p3～p5的坐標平差值，根據(jù)誤差傳播定律計算其對應的協(xié)因數(shù)陣QLL。

6.2 計算與分析

方案一：基于高斯-牛頓法的基準轉換聯(lián)合模型，迭代計算，對應圖1～3。

方案二：基于整體最小二乘原理的坐標轉換，迭代計算，對應圖4～6。

將上述過程產生的公共點與非公共點坐標平差值以及它們所對應的協(xié)因數(shù)陣帶入數(shù)平差計算，求出轉換點在第Ⅱ套坐標系中的坐標之后與其真值求坐標的均方根σ。

將500次數(shù)據(jù)模擬結果繪制成函數(shù)圖像，將無縫二維基準坐標轉換與傳統(tǒng)坐標轉換，基于整體最小二乘原理的坐標轉換與傳統(tǒng)坐標轉換精度結果繪制在一起，比較其轉換精度。

圖1～3顯示：無縫二維基準轉換模型相比傳統(tǒng)坐標轉換方式，能夠得到更好的坐標轉換精度，在合理的定權的時，無縫二維基準轉換可以通過迭代求解進而極大地提高求解的轉換參數(shù)精度，并對非公共點坐標構成的系數(shù)陣進行修正，獲得滿意的轉換結果。圖4～6表明：基于整體最小二乘的坐標轉換雖然較傳統(tǒng)的坐標轉換方式有一些改進，但其效果并不明顯。出現(xiàn)這種情況的原因是第Ⅰ套坐標系中的坐標權陣是單位陣，這是根據(jù)經驗定權或沒有明確得知第Ⅰ套坐標系中各個坐標的精度水平而假定各個坐標精度水平一致得出的結論。因此，在轉換參數(shù)求解時得到轉換點所在坐標系內坐標的協(xié)方差陣的準確值對于轉換參數(shù)的準確求解是十分重要的，這也是在無縫二維基準坐標轉換時得到滿意成果的前提。當對第Ⅰ套坐標系內定權不合理時，利用無縫二維基準轉換求解參數(shù)的精度水平將受到很大的影響。

圖1 無縫二維基準坐標轉換與傳統(tǒng)坐標轉換的精度比較σ1＝0.1 cm，ε1=0.1″.σ2＝0.3 cm，ε1=0.2″

圖2 無縫二維基準坐標轉換與傳統(tǒng)坐標轉換的精度比較σ1＝0.5 cm，ε1=0.5″.σ2＝1 cm，ε1=0.8″

圖3 無縫二維基準坐標轉換與傳統(tǒng)坐標轉換的精度比較σ1＝1 cm，ε1=2″，σ2＝2 cm，ε1=2″

圖4 無縫二維基準坐標轉換與傳統(tǒng)坐標轉換的精度比較σ1＝0.1 cm，ε1=0.1″.σ2＝0.3 cm，ε1=0.2″

7 結論

為在工程應用中得到更高精度的坐標轉換成果，本文在無縫三維基準轉換模型的基礎上研究了無縫二維基準轉換模型，通過數(shù)據(jù)模擬計算，檢驗了其和傳統(tǒng)坐標轉換模型以及與基于整體最小二乘原理的坐標轉換模型的精度差異。得出如下結論：

圖5 無縫二維基準坐標轉換與傳統(tǒng)坐標轉換的精度比較σ1＝0.5 cm，ε1=0.5″.σ2＝1 cm，ε1=0.8″

圖6 無縫二維基準坐標轉換與傳統(tǒng)坐標轉換的精度比較σ1＝1 cm，ε1=2″.σ2＝2 cm，ε1=2″

(1)為了顧及公共點在兩套坐標系內的誤差以及非公共點的坐標誤差，本文基于無縫二維基準轉換模型，將轉換參數(shù)的求解與非公共點的轉換聯(lián)合處理，理論上是嚴密的二維坐標轉換模型。

(2)與傳統(tǒng)的二維坐標轉換模型以及整體最小二乘基準轉換模型的結果進行比較，實驗表明無縫二維基準轉換模型能取得更高的精度。

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