基于Monte-Carlo模擬的可轉(zhuǎn)債定價模型

朱妮潔

（南京理工大學理學院，南京210094）

引言

可轉(zhuǎn)換債券是由公司發(fā)行，在一定時期內(nèi)可按事先約定的條件轉(zhuǎn)換成一定數(shù)量該公司發(fā)行的普通股股票的一種特殊公司債券。除了具有普通債券所具有的債券要素和自身的特定要素外，可轉(zhuǎn)債還由一系列附屬條款構(gòu)成，是一種兼具期權(quán)性和債務性的中長期混合金融衍生產(chǎn)品。發(fā)行人通過組合不同的條款來適應自身的融資需求，也為投資者提供了具有差別化的產(chǎn)品。因此，對于這種靈活性的金融工具如何合理定價是目前研究的重點。

我國的可轉(zhuǎn)債市場發(fā)展較為緩慢，雖然1992年發(fā)行了第一只“寶安轉(zhuǎn)債”，但由于相關(guān)法律的缺失以及條款設(shè)計問題，造成首次嘗試并不成功。此后經(jīng)過多年的停滯，可轉(zhuǎn)債市場在1997年才走上規(guī)范化發(fā)展的道路。

對于可轉(zhuǎn)債定價的研究，最初只是利用現(xiàn)金流貼現(xiàn)法進行粗略估計，直到1977年，Ingersoll將公司價值作為基礎(chǔ)資產(chǎn)通過考察其動態(tài)過程來確定可轉(zhuǎn)債的合理價格水平，才出現(xiàn)了第一個真正合理的基于公司價值的單因子無套利定價模型。不久，該模型被擴展為基于公司價值和利率的雙因素定價模型。雖然基于公司價值的模型在理論上非常具有吸引力，能夠很好地結(jié)合信用風險結(jié)構(gòu)化模型，但是由于并非所有公司資產(chǎn)都是可交易的，公司價值及其波動率等參數(shù)難以估計，因此實用性較差。Brennan和Schwartz（1986）將股價作為基礎(chǔ)資產(chǎn)，開創(chuàng)性地提出了基于股價的單因子模型，很快也被擴展為基于股價和利率的雙因子模型。由于股價可以直接獲取，因此基于股價的研究更具有實用性，發(fā)展也較為迅速。目前將股價應用于可轉(zhuǎn)債定價研究的方法主要分為兩類：解析方法和數(shù)值方法，其中最為著名的解析方法就是Black-Scholes公式法，而數(shù)值方法則更為多樣化，常用的有樹方法、有限差分法以及Monte Carlo模擬法。我們知道，普通的蒙特卡洛模擬的方法能夠有效考慮可轉(zhuǎn)債條款中暗含的路徑依賴特征，但無法處理美式期權(quán)的定價。隨著Longstaff和Schwartz（2001）提出最小二乘蒙特卡洛模擬法，利用一組以狀態(tài)變量為自變量的基函數(shù)來估計每個時點期權(quán)的存續(xù)價值，有效解決了美式期權(quán)的定價問題，而具有美式期權(quán)特性的可轉(zhuǎn)債，提前轉(zhuǎn)股的性質(zhì)也同樣適用于這種方法。本文在此基礎(chǔ)上全面考慮可轉(zhuǎn)債的各個條款及波動率和利率對可轉(zhuǎn)債定價效果的影響，最終選用GARCH（1，1）模型估計波動率，并在實證中對3只可轉(zhuǎn)債進行上市首日進行定價檢驗。

一、LSM可轉(zhuǎn)債定價模型

（一）可轉(zhuǎn)債最優(yōu)行權(quán)策略分析

如今，我國市場上發(fā)行的可轉(zhuǎn)債一般都附有大多相類似的回售、贖回以及轉(zhuǎn)股價修正條款，這種條款的一致性有助于我們給出一個統(tǒng)一的定價模型，并檢驗其預測效果。有了基于LSM法美式期權(quán)定價的基礎(chǔ)，可以將可轉(zhuǎn)債的定價看作是美式期權(quán)加上其特有的回售、贖回以及轉(zhuǎn)股價修正條款。

根據(jù)鄭振龍、林海（2004）的研究，我們知道發(fā)行人的決策目的是為了使得投資者以盡可能高的轉(zhuǎn)股價盡早實現(xiàn)轉(zhuǎn)股，除非發(fā)生了觸發(fā)回售權(quán)，面臨回售壓力的情況，否則發(fā)行人是不會主動調(diào)整轉(zhuǎn)股價的，并且其調(diào)整轉(zhuǎn)股價的幅度通常以不滿足回售條款最低為限。而贖回條款則是發(fā)行人逼迫投資者實現(xiàn)轉(zhuǎn)股設(shè)立的，在公司決定執(zhí)行全部贖回時，發(fā)行人會發(fā)出贖回公告，提示投資者即將行使贖回權(quán)，通常會給定投資者一段時間，在這段時間內(nèi)，投資者仍然有行使轉(zhuǎn)股的權(quán)利直到贖回登記日，在贖回登記日次一交易日起所有在登記在冊的可轉(zhuǎn)債將全部被凍結(jié)。當這種情形發(fā)生時，如果投資者不進行轉(zhuǎn)股，就只能獲得條款中事先規(guī)定的贖回價，一般是票面價值上浮6%～8%加上本期應計利息，此時理性投資者必定會選擇轉(zhuǎn)股以獲得遠高于贖回價的收益。

綜上分析，當股價過低而觸發(fā)回售條款時，為避免投資者行使回售權(quán)發(fā)行公司必定會選擇調(diào)整轉(zhuǎn)股價，所以回售理論上將不會發(fā)生。此外，假設(shè)投資者都是理性的，在觸發(fā)贖回條款時也都會選擇有更高收益的轉(zhuǎn)股，因此贖回權(quán)也是不會發(fā)生的。

（二）可轉(zhuǎn)債的存續(xù)價值

在排除回售權(quán)和贖回權(quán)之后，發(fā)行公司和投資者的最優(yōu)執(zhí)行策略取決于存續(xù)價值，而基于LSM的可轉(zhuǎn)債定價關(guān)鍵在于找到這個存續(xù)價值，這也是這個模擬算法的核心內(nèi)容。存續(xù)價值的意義為現(xiàn)在時刻不執(zhí)行任何選擇權(quán)，繼續(xù)保持債券的狀態(tài)所能獲得的回報。在任意時刻tk，根據(jù)無套利定價理論，可轉(zhuǎn)債的存續(xù)價值F（ω；tk）可以在風險中性測度下用未來現(xiàn)金流貼現(xiàn)得到：

這里r（ω，t）是t時刻狀態(tài)ω下的瞬時無風險利率，CFf（ω，tj；tk，T）表是在tk時刻之后執(zhí)行選擇權(quán)，所能獲得的全部現(xiàn)金流。在給定一系列模擬的可轉(zhuǎn)債價值路徑后，我們可以直接求得其貼現(xiàn)現(xiàn)金流，關(guān)鍵任務是要得到在可獲信息集基礎(chǔ)上的條件期望價值。為此，這里主要依據(jù)Longstaff和Schwartz（2001）的最小二乘回歸技術(shù)，通過逆推估計每條路徑在各時點的條件期望存續(xù)價值，并與行權(quán)價值相比較，從而確定每條路徑最優(yōu)執(zhí)行策略。

假設(shè)tk時刻可轉(zhuǎn)債的存續(xù)價值可以被表示為將tk時刻可獲信息與貼現(xiàn)的未來現(xiàn)金流相關(guān)的狀態(tài)變量的一組基函數(shù)的線性組合。

其中，X表示tk時刻路徑ω的狀態(tài)變量，αi是常數(shù)系數(shù)，fi（X）是基函數(shù)。為了簡化計算過程，效果最好且最常用的基函數(shù)為：

這里，Yt為t時刻相應的貼現(xiàn)現(xiàn)金流，St為t時刻標的股票價格。

（三）參數(shù)選取

1.股價波動率?；A(chǔ)股價波動率σt即為基礎(chǔ)股價的變動的標準差，它反映的是股價未來變動的不確定性。高的股價波動率表示股價出現(xiàn)高價的機會越多，可轉(zhuǎn)債中內(nèi)嵌期權(quán)價值也將越大，可轉(zhuǎn)債的價值就越高。

一般對于金融衍生品定價，股價波動率的估計方式主要有歷史波動率和隱含波動率兩種形式，考慮到我國金融市場尚不完善，所以無法使用隱含波動率法來估值。歷史波動率則是由實際的歷史數(shù)據(jù)計算得到的過去一段時間內(nèi)的股價波動率，如此使用的常數(shù)波動率并不能很好地符合實際，由于我國可轉(zhuǎn)債期限大多在3—6年，期限較長，且考慮到金融資產(chǎn)的收益率多數(shù)表現(xiàn)出波動聚類現(xiàn)象，所以本文選用GARCH（1，1）模型估計股價波動率。此外，GARCH模型的離散時間過程也能夠很好地結(jié)合蒙特卡洛模擬。股價波動率的形式如下：

2.無風險利率。前人的研究表明，利率隨機化對可轉(zhuǎn)債定價效果影響并不明顯，幾乎可以忽略不計。因此，本文在對無風險利率進行估計時，并不再考慮利率的隨機化，直接選用可轉(zhuǎn)債上市前一日同期國債到期收益率作為無風險利率。

（四）LSM算法實現(xiàn)過程

設(shè)可轉(zhuǎn)債期限為T，當前時刻為0，將期限以天為單位分為n段，具體實現(xiàn)步驟如下：

步驟1，利用GARCH（1，1）模型估計出股價波動率的隨機過程。

步驟2，假設(shè)標的股票價格S遵循帶有幾何布朗運動干擾項的隨機微分方程：

從確定的S0出發(fā)，使用蒙特卡洛法，對股市的未來走向進行模擬。

步驟3，在模擬的N路徑中首先找出滿足回售條件的，分析認為發(fā)行公司不會允許回售情況發(fā)生，所以若有路徑出現(xiàn)觸發(fā)回售情形，發(fā)行人會立即調(diào)整轉(zhuǎn)股價格，使得回售不發(fā)生。

步驟4，在這些調(diào)整了轉(zhuǎn)股價的M條路徑中，找出觸發(fā)贖回條款的路徑n1條。分析認為觸發(fā)贖回權(quán)時，理性投資者會選擇轉(zhuǎn)股，計算此時轉(zhuǎn)股價值，再將其貼現(xiàn)到0時刻，取平均記為q1。

步驟5，尋找剩余未做轉(zhuǎn)股價調(diào)整的路徑中觸發(fā)贖回的路徑n2條，同步驟4，計算轉(zhuǎn)股價值，再將其貼現(xiàn)到0時刻，取平均記為q2。

步驟6，在排除了條款的影響之后，剩下的路徑就可以按照LSM美式期權(quán)定價的方法，尋找最優(yōu)停時確定可轉(zhuǎn)債價值。首先計算到期日可轉(zhuǎn)債價值，當轉(zhuǎn)股價值大于持有價值（T時刻為贖回價）就轉(zhuǎn)股，因此到期日可轉(zhuǎn)債價格可以表示為

其中，X表示轉(zhuǎn)股價，P表示到期贖回價。同理，找出T－1時刻的轉(zhuǎn)股價值大于持有價值的L條路徑，并記它們的股價為Z，再將路徑對應C（T）的貼現(xiàn)到T－1時刻，記為Y。此時，利用最小二乘回歸，選取依賴變量Z、Z2回歸Y，回歸方程如下：

然后將Z代回上式，便求出T－1時刻的期望收益，即為我們估計的持有價值。將其與此時的轉(zhuǎn)股價值相比較，決定是否轉(zhuǎn)股或繼續(xù)持有。若某條路徑選擇繼續(xù)持有則它的轉(zhuǎn)股價值設(shè)為0。重復這個步驟直到期初時刻，最后將非零的轉(zhuǎn)股價格貼現(xiàn)到1時刻，取平均值為q3。

步驟7，求q1、q2和q3的負權(quán)均值，即為可轉(zhuǎn)債的理論價值，數(shù)學表達式為

三、實證研究

（一）樣本選取

截至2017年6月底，我國共有21只上市可轉(zhuǎn)債，綜合考慮發(fā)行時間長短及流動性等因素，選取了基本能代表我國可轉(zhuǎn)債市場的3只可轉(zhuǎn)債進行定價實證研究，其主要條款（如表1所示）。

（二）可轉(zhuǎn)債定價分析

利用本文建立的基于最小二乘蒙特卡洛模擬的可轉(zhuǎn)債定價方法，使用matlab編程實現(xiàn)模型計算過程，估計出所選取的3只可轉(zhuǎn)債上市首日價格（見表2）。

表2 樣本可轉(zhuǎn)債的上市首日定價

用誤差率來分析模型的定價精度，根據(jù)上表，求得這些可轉(zhuǎn)債定價的誤差率在10%以內(nèi)，平均誤差率為4.67%，按照95%的定價精度來考慮，本文的定價方法達到了95.33%，超過95%的水平，可以認為本文模型的定價結(jié)論是可信的。此外發(fā)現(xiàn)，定價的3只可轉(zhuǎn)債價值都存在被市場低估的現(xiàn)象，探討其原因，總結(jié)為三點：第一，可轉(zhuǎn)債本身作為新型金融產(chǎn)品，在我國發(fā)展時間較短，投資者對其認知不足，使得其內(nèi)在價值未被充分挖掘；第二，低迷的整體市場環(huán)境導致市場不看好發(fā)行公司股價的未來走勢，低估了內(nèi)嵌轉(zhuǎn)換期權(quán)的價值；第三，使用不同的股價樣本區(qū)間和不同的估計方法會得到不同的參數(shù)，從而造成定價誤差，對計算結(jié)果產(chǎn)生影響。

結(jié)語

實證結(jié)果表明，本文的定價模型能夠達到較高精度，具有一定的實踐指導意義。通過定價模型對市場數(shù)據(jù)的檢驗發(fā)現(xiàn)，我國可轉(zhuǎn)債存在價格被低估的現(xiàn)象。對于模型價格與市場價格存在的差距，原因可能是我們只在理論層面上分析了可轉(zhuǎn)債的定價，主要是以標的股票的走向為重要指標，而沒有從公司經(jīng)營的層面上去分析可轉(zhuǎn)債的價格變化。此外，對于交易費用、股票分紅、信用風險、股權(quán)稀釋等其他影響可轉(zhuǎn)債價格的因素并沒有考慮在本文中。因此，綜合考慮各種因素以提高定價精度，是本文后續(xù)研究的方向。

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