談如何有效借助線段圖建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

邵國強(qiáng)

【摘要】人教版五年級(jí)上冊(cè)《數(shù)學(xué)廣角—植樹問題》，在教學(xué)建議中明確指出：教師要指導(dǎo)學(xué)生通過線段圖建立植樹問題的數(shù)學(xué)模型。教學(xué)時(shí)，要用線段圖的方法幫助學(xué)生思考，發(fā)展學(xué)生的模型思想。然而植樹是直觀的，用線段圖的方法是抽象的，建構(gòu)植樹問題數(shù)學(xué)模型，對(duì)于小學(xué)生的思維來說，可謂是“抽象之中的抽象”。因此，如何運(yùn)用線段圖，從具體——抽象——具體，深入淺出的教學(xué)，顯得尤為重要。以本節(jié)課的三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，談?wù)勅绾斡行Ы柚€段圖，直觀形象地建構(gòu)植樹問題的數(shù)學(xué)模型的。

【關(guān)鍵詞】線段圖 數(shù)學(xué)模型 植樹問題

一、生成線段圖——生活問題數(shù)學(xué)化

線段圖是形象思維過渡到抽象思維的媒介，它可以溝通數(shù)學(xué)信息與信息之間的聯(lián)系。因而，《植樹問題》的教學(xué)，必須從學(xué)生熟悉的模擬生活植樹入手，讓學(xué)生親眼目睹生活中的植樹和數(shù)學(xué)“植樹”圖形成過程，架起了植樹問題的生活原型抽象成線段圖的橋梁，將二者異曲同工之妙處展現(xiàn)在學(xué)生眼前。

在教學(xué)中，我在創(chuàng)設(shè)情境時(shí)引出研究問題，把例1的全長100m改為1000m并出示例題“同學(xué)們?cè)谌L1000m的小路一邊植樹，每隔5 m栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？”引導(dǎo)學(xué)生審題、猜測(cè)后，應(yīng)用課件引發(fā)學(xué)生再現(xiàn)生活中植樹的場景。

師：我們先模擬生活植樹：1000m長的小路一邊“兩端要栽”，我們從最左端開始栽上一棵，然后隔5 m栽一棵樹，隔5 m栽一棵樹，照這樣一棵一棵地栽下去……（動(dòng)態(tài)形成圖1）師：還可以這樣植樹：把每一棵棵樹都看作一個(gè)個(gè)點(diǎn)，從最左端開始畫，1棵，每隔5m畫一個(gè)點(diǎn)，2棵、3棵……（動(dòng)態(tài)形成圖2），這樣就形成了數(shù)學(xué)上的“植樹”圖。

這個(gè)環(huán)節(jié)，從直觀的生活中的樹，逐步抽象成數(shù)學(xué)上的點(diǎn)，鮮活地再現(xiàn)了有趣的植樹的整個(gè)過程，從而自然地生成線段圖。植樹中“小路一邊”“栽樹的棵樹”和線段圖上的“一條線段”“分割點(diǎn)數(shù)”一一對(duì)應(yīng)起來，讓生活問題得以數(shù)學(xué)化。學(xué)生對(duì)線段圖的表示過程，在具體的植樹過程不知不覺的形成，同時(shí)也為后續(xù)教學(xué)中的化繁為簡研究做了孕伏。

二、借助線段圖——復(fù)雜問題簡單化

實(shí)踐證明，線段圖具有直觀性、形象性、實(shí)用性。教學(xué)中，有效地借助線段圖，可以使復(fù)雜問題簡單化，體驗(yàn)從特殊到一般，經(jīng)歷分析、思考、解決問題的全過程。在《植樹問題》教學(xué)時(shí)，為了讓學(xué)生感悟化繁為簡的數(shù)學(xué)思想，我做了嘗試，課堂教學(xué)回放如下：

師：就這樣一直畫下去嗎？你有什么想法？

生1：要畫很久，很麻煩。

生2：如果一直畫下去，也可以找到答案，但很麻煩。

生3：因?yàn)?000m里面有200個(gè)5m，要畫好多點(diǎn)，得想其他的辦法。

師：也就是說路長1000m在這道題中數(shù)據(jù)太大，畫圖時(shí)比較麻煩。像這樣比較復(fù)雜的問題，怎么辦呢？

生：用簡單的路長來研究，找方法。

生：用簡單的路長通過畫圖，看看有沒有什么規(guī)律。

師：我們可以先從簡單的路長入手，選取20m來研究。用一條線段表示20m，從最左邊開始種1棵，每隔5m栽一棵（教師板書線段圖過程）。

師：同學(xué)們，從圖中你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：20m平均分成了4份，有4個(gè)間隔，可以栽5棵樹。

師：是的，20m長的一條路，間隔長是5m，平均分成了4份，有4個(gè)這樣的間隔，可以栽5棵樹（板書：20÷5=4，要栽5棵）。

師：猜猜看，間隔數(shù)和棵數(shù)可能有什么關(guān)系？

生：棵數(shù)比間隔數(shù)多1。

為了更好地讓學(xué)生感悟全長和間隔數(shù)及棵數(shù)的關(guān)系，接著安排學(xué)生自主選擇10m、15m、25m、30m的路長進(jìn)行研究，并填表思考。

從而發(fā)現(xiàn)：全長÷間隔長=間隔數(shù)（平均分的份數(shù)）；棵數(shù)=間隔數(shù)+1。

在此基礎(chǔ)上提出：現(xiàn)在你知道例1的猜測(cè)中哪一種是正確的？你是怎么想的？讓學(xué)生在交流中充分感悟到了“難事做于易”的化繁為簡和對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，并借助如下線段圖讓學(xué)生理解為什么要“+1”的道理。

這個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)，借用線段圖引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了解決植樹問題的整個(gè)過程。從遇到問題——提出猜測(cè)——例子驗(yàn)證——發(fā)現(xiàn)規(guī)律——解決問題，教師的教和學(xué)生的學(xué)始終運(yùn)用線段圖，在畫線段圖、觀察線段圖、想象線段圖、運(yùn)用線段圖中，逐步建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

三、巧用線段圖——抽象問題模型化

線段圖還可以把抽象問題具體化，讓抽象的植樹問題數(shù)學(xué)模型通過線段圖變得具體形象。在《植樹問題》教學(xué)中，我既引導(dǎo)學(xué)生把抽象的植樹問題具體形象地呈現(xiàn)出來，同時(shí)通過線段圖引發(fā)學(xué)生再現(xiàn)生活中的“植樹”原型，豐富了植樹問題的表象，培養(yǎng)學(xué)生想象思維能力和抽象概括能力，讓植樹問題模型根植于線段圖中，印在學(xué)生腦海里。教學(xué)環(huán)節(jié)再現(xiàn)如下：

師：同學(xué)們，我們?cè)倩氐絼偛叛芯康?0m栽樹的線段圖（圖3）。這個(gè)線段圖上的每隔5米的點(diǎn)都表示栽1棵樹（圖4），生活中，有沒有類似的植樹問題呢？

生：路燈、燈籠都是類似的植樹問題。

生：還有教室窗戶的安全防護(hù)欄、擺放的課桌、走廊的欄桿……

師：同學(xué)們說的真好！如果這個(gè)點(diǎn)是一盞路燈（課件演示），就是生活中的路燈（圖5），你能用這個(gè)線段圖編一道有關(guān)的植樹問題？

生：一段路20m，每5m安裝一盞路燈（兩端都裝），可以安裝多少盞？

師：誰還可以學(xué)著編的？

師：線段圖上的每個(gè)點(diǎn)想象成燈籠（課件演示），就是生活中的燈籠（圖6）

師：路燈、燈籠，這是不容易看見卻能“想象”的樹。

師：還有看不見卻能“聽得見”的樹，請(qǐng)聽（課件鐘聲錄音），植樹的棵樹是什么？間隔是什么？我們利用線段圖再聽一遍（圖7），誰能編一道有關(guān)的植樹的問題？

生：鐘聲共響20秒，每5秒響一下，一共響了多少下？

師：生活中還有不容易看見卻能“想象”的樹的植樹問題，請(qǐng)看（課件演示圖片）擺放花盆、同學(xué)做操的隊(duì)形、一棵棵種下的菜、人行道的斑馬線，等等。

師：橫著畫的線段圖，引發(fā)我們這么多的思考，如果將這條線段豎起來（圖8），你又會(huì)想到什么類似的植樹問題呢？

以上教學(xué)，巧妙地運(yùn)用抽象的線段圖，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際，引發(fā)想象，在編題、交流中，把看視單一的植樹問題，形象、具體、生動(dòng)地讓學(xué)生再現(xiàn)出來，讓抽象的植樹問題模型生動(dòng)、形象、鮮活，發(fā)展了學(xué)生的模型思想。