在“數(shù)學變式”教學中演繹精彩

袁一丹

摘 要：依據(jù)數(shù)學“變式”的特點，從合理設置出發(fā)，增強“變式教學”的趣味性、突出“變式教學”的主體性、挖掘“變式教學”的正遷移、體現(xiàn)“變式教學”的綜合性四個方面闡述了課堂教學中具體操作變式教學的方法，以題帶面嘗試在“數(shù)學變式教學”中拓展思維和深入探究兩條路徑，以達成優(yōu)化學生數(shù)學思維的目的。

關鍵詞：數(shù)學變式；教學嘗試；思維突破

在數(shù)學教學中進行變式教學能讓學生從“題?！敝薪夥懦鰜?，使之從被動思維轉化為積極主動的思維。在使用變式教學時要緊扣數(shù)學問題的關鍵特征，從學生的現(xiàn)有實際接受能力出發(fā)，根據(jù)平時數(shù)學教學的需要，以提升學生能力為目的進行變式。本文從數(shù)學變式教學的價值出發(fā)，談談如何從合理設置增強“變式教學”的趣味性、主體性、正遷移及綜合性出發(fā)，以題帶面嘗試在變式教學中的具體操作。

一、“數(shù)學變式”教學的價值

“數(shù)學變式”教學是促進學生科學地掌握數(shù)學概念的一種數(shù)學教學方式。本文認定的“數(shù)學變式”教學是：在數(shù)學課程教學過程中，可以在數(shù)學問題原有的狀態(tài)下改變它的呈現(xiàn)形式，如將條件或結論適當變化等，使數(shù)學問題的內(nèi)容和形式在表面上發(fā)生了變化，但解決此數(shù)學問題所用的知識與方法不變的教學方式。所謂的“數(shù)學變式”就是保持數(shù)學問題的原有性質(zhì)，不斷地改變它的展示狀態(tài)。即教師通過不斷改變數(shù)學問題原有性質(zhì)的非本質(zhì)特征，如在原有的狀態(tài)下改變數(shù)學問題的條件或結論，從表面的形式上改變數(shù)學問題的內(nèi)容和形式，但仍然保存了原來數(shù)學問題的本質(zhì)屬性。

“數(shù)學變式”教學能提高學生對問題進行遷移和創(chuàng)新的能力，是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的重要方法。在教學中具體來說如對典型的數(shù)學問題進行有針對性的、不同角度、多種層次的演變，比如改變數(shù)學命題的條件和結論，變換數(shù)字、呈現(xiàn)形式，或組合狀態(tài)等。變式的過程就是思維遷移和深化的過程。通過變式數(shù)學問題情境的創(chuàng)設，可以使學生多角度、多層次地去審視與思考數(shù)學問題，這會讓學生形成不受限于固定的思維模式，對于培養(yǎng)學生思維的廣闊性與創(chuàng)造性是富有成效的。

二、“數(shù)學變式”教學的嘗試

中學生的數(shù)學思維是靈活和多方向的，數(shù)學教師應該提供給學生的教育是：充分調(diào)動起學生的學習興趣和學習積極性，全方位地拓展學生的思維空間，最大限度地開發(fā)學生數(shù)學學習的潛能。而實現(xiàn)這一目標的有效途徑之一就是“數(shù)學變式”教學的靈活應用。通過改變數(shù)學問題情境的創(chuàng)設，讓學生對滿足同類但不同條件的情況做出準確的分析與判斷；或者通過學生解題后的反思提煉出同一類問題的解決操作過程與方法；通過改變結論（擴展使用范圍）等方式培養(yǎng)學生合情推理、深入探索的思維能力，有效地突破原有的思維定勢，從而使學生的數(shù)學思維更具有靈活性和創(chuàng)造性。

具體操作時可從以下兩個層面展開，一是充分利用“變式”自身的特點和屬性，多角度地從以下“四性”開展：合理設置，增強 “變式”趣味性；師生互動，突出“變式”主體性；深入挖掘，實現(xiàn)“變式”正遷移；以題帶面，體現(xiàn)“變式”綜合性。二是從提升學生數(shù)學思維的品質(zhì)出發(fā)，讓學生在“變式”中進行探究和拓展，促進學生具有較高的數(shù)學思維品質(zhì)和優(yōu)秀的數(shù)學解題與數(shù)學問題的遷移能力。

（一）多角度體現(xiàn)“數(shù)學變式”教學的特點

1.合理設置，增強“數(shù)學變式”教學的趣味性

在數(shù)學學習過程中，學生主動學習數(shù)學的源動力是興趣。有興趣的同學會積極主動地參與到課堂教學與互動中來，這有利于優(yōu)化學生的數(shù)學思維，提高數(shù)學學習的效率。然而這種興趣不是與生俱來的，要通過教師在課堂教學中采用積極有效的教學手段逐步培養(yǎng)出來。合理利用“數(shù)學變式”教學是激發(fā)學生學習數(shù)學興趣的有效手段。

【案例1】7個人排隊，求以下各種情況的不同排法：

（1）按任意的順序排成一排；（2）排成兩排，前排3人，后排4人。

以上兩題的實質(zhì)都是7個不同元素的全排列問題，是沒有任何條件限制的。

變式1：（1）甲排在隊伍的正中間；（2）甲在正中間，甲與乙相鄰；（3）甲、乙在隊伍的兩端。

變式意圖：變式1屬于某些元素位置有特殊要求的類型，這樣就由上題的全排列變化到特殊元素優(yōu)先考慮的類型。這樣的過渡比較自然，有利于學生自主探索和學習。

變式2：（1）甲與乙相鄰；（2）甲、乙、丙三人相鄰；（3）甲、乙、丙三人相鄰且甲在中間。

變式意圖：變式2在變式1的基礎上條件變化為兩個特殊元素以及三個特殊元素的相鄰問題，這樣可以啟發(fā)和引導學生得出用捆綁法解決這類問題。

變式3：（1）甲與乙不相鄰；（2）甲、乙、丙三人均不相鄰。

變式意圖：變式3在變式2的基礎上將條件變化為指定元素不相鄰的問題，這樣促使學生積極思考，并能夠主動找出和上面題目的區(qū)別，從而得到插空法的基本類型。

通過以上題目的變式教學能使學生對排列問題中的幾種常規(guī)題型有一個總體的把握，能夠對題目對癥下藥。只有在課堂上充分調(diào)動起學生的數(shù)學學習興趣，才能達到良好的數(shù)學教學效果。

2.師生互動，突出“數(shù)學變式”教學的主體性

數(shù)學老師的教學氛圍要大氣是指教師要關注數(shù)學知識的本質(zhì)，凸顯主干知識，在概念和原理的發(fā)現(xiàn)和生成處著力，加強基本技能的訓練。教學氛圍的靈動是指教師的教學實際不拘于教學設計，根據(jù)教學氛圍因時、因勢而動，順勢而為。所以教師要在課堂上充分利用好各種教學資源，展示自己的數(shù)學教學魅力，尊重與激勵學生，有意識地為學生的數(shù)學學習搭建平臺，更多地為學生進一步探究數(shù)學創(chuàng)設各種機會，更多地為學生體驗數(shù)學提供時空，真正創(chuàng)造出能讓學生認識數(shù)學本質(zhì)、發(fā)展數(shù)學思維、提升數(shù)學智慧的民主、大氣、靈動的教學氛圍。

在授課過程中，教師要充分關注師生互動，在互動中注意正確引導，要鼓勵學生在課堂上提出自己的觀點，對于學生獨特、奇異的提問與回答，要將適度激勵與客觀引導相結合，讓學生體會到自己的主體性。對學生自己解決有困難的題目，可以進行師生、生生的共同分析探究來解決。

【案例2】已知雙曲線x2-■=1，求被點（3，2）平分的弦PQ所在的直線方程。

本題通過點差法或利用韋達定理很容易解決。但是在解決了這個問題的基礎上我們可以做如下變式：雙曲線方程不變，是否存在被點（1，1）平分的弦？同樣的題目只是變化了一個點的坐標，利用如上的方法，我們會發(fā)現(xiàn)，這樣的弦不存在，這樣就會激發(fā)學生的求知欲和探索欲，為什么對于有的點存在被這個點平分的弦而有的點不存在呢？進而根據(jù)這兩個點與雙曲線的位置關系可以聯(lián)想到以下結論是否正確：

（1）點在雙曲線的兩側就一定存在被這個點平分的弦；

（2）點在雙曲線的中間不一定存在被這個點平分的弦；

（3）點在雙曲線上不存在被這個點平分的弦。

此時把問題推廣到了一個一般情況，激發(fā)學生的探索欲望。從而由一個具體的題目得到了一個很有用的一般性結論，在潛移默化中使學生形成了對題目進行挖掘和總結的思維習慣。

3.深入挖掘，實現(xiàn)“數(shù)學變式”教學的正遷移

遷移可理解為學生頭腦中已有的知識結構對新知識學習的影響，先學的知識與后學的知識如果存在共同的因素，總有遷移的現(xiàn)象發(fā)生，所含的影響如果是積極的則稱為正遷移，否則稱為負遷移。數(shù)學教學的目標就是有效地實現(xiàn)正遷移。也就是通過某些途徑或方法將新知識或新問題納入到學生已有的認知結構中，使知識在新的問題情境中產(chǎn)生正遷移。正向知識變遷是逆向化歸的基礎。在推導某些重要的結論時可以通過對熟悉題目的變式得出結論。

【案例3】在數(shù)列{an}中a1=1，an+1=an+1（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項公式。

這是等差數(shù)列的遞推關系式，學生很容易求解。通過此題可以復習等差數(shù)列通項公式的推導方法，進而對題目進行變式。

變式1：將題中的遞推關系改為an+1=an+n，根據(jù)等差數(shù)列通項公式的推導方法“累加法”操作就可以。

變式2：把原題中遞推關系改為，an+1=an+2n-1學生按照上面的解法同樣可以得出答案。這時適時啟發(fā)學生：對于什么形式的遞推關系可以利用“累加法”求解？

到此可以得出如下結論：形如an+1=an+f（n）的遞推關系可以利用累加的思想方法，化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和問題解決。

對于上題可以繼續(xù)變式為系數(shù)不相等的情況：

變式3：把原題中遞推關系變化為an+1=2an+1，又可以得到待定系數(shù)法求一般形式為an+1=can+d（c≠0，c≠1，d≠0）的數(shù)列的通項公式。

這樣的教學設計有利于學生從整體上把握和區(qū)分，由特殊數(shù)列的通項公式的推導方法得出一個類型的問題的解決通法，也有利于培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力。通過這種“數(shù)學變式”教學使新舊知識有機地融合起來，可以促進學生對新知識的接受。

4.以題帶面，體現(xiàn)“數(shù)學變式”教學的綜合性

教師上課時要讓學生領悟和思考解題過程中用到的知識點有無縱橫聯(lián)系，如有是如何聯(lián)系的，使數(shù)學知識逐步系統(tǒng)化、網(wǎng)絡化、結構化。對那些有較大靈活性的典型問題要深入地實施“借題發(fā)揮”，達到以題帶面的效果。精心設計有層次、有坡度、要求明確、題型多變的問題，使學生跳出“題?！保圆蛔儜f變?！皵?shù)學變式”教學力求變中求“活”、變中求“新”、變中求“異”、變中求“廣”。

【案例4】已知，f（x）=3x2-9x+6，f（x）≥m恒成立，求m最大值。（達成率較好）

隨后反饋題：已知不等式■<0對于一切x都成立，求m的取值范圍。（部分同學不能分離出分子恒大于0的干擾信息，達成率降低）

由于這題做了效果不怎么好，所以在經(jīng)過全班講評后我在隨后的反饋題中設置了這么一個練習：已知函數(shù)f（x）=■對于一切x∈R，均有f（x）<0成立，求m的取值范圍。（達成率近半）

此外，我在一段時間的提高題中，設置了如下一些知識點的綜合題：

（1）已知集合A={x|x2-5x+4≤0}，B={x|x2-2ax+a+2≤0}，若B？哿A，求實數(shù)a取值范圍。（此題與集合結合，很多同學會遺漏掉“空集是任何集合的子集”的知識點）

（2）已知f（x）=■的定義域為[1，2]，求a+b的值。（考查韋達定理和不等式解集的關系）

（3）若函數(shù)y=2a與y=ax-1（a>0且a≠1）的圖象有兩個公共點，求實數(shù)a的取值范圍。（要求學生用函數(shù)圖象解決參數(shù)范圍問題，當時測試反饋正確率一半）

通過此題，學生往往會有這樣的感悟：原來我們還可以這樣利用圖象來解決函數(shù)中參數(shù)問題及零點問題。這樣的訓練擴充了學生原有的知識體系，促使學生對圖象的理解又更深了一步。

（4）已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，當時a+b≠0，總有■>0，判斷函數(shù)f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性。（這題非常規(guī)的單調(diào)性證明，要求學生有較高的奇函數(shù)和單調(diào)性知識綜合使用能力）

對于這樣的操練能讓學生體會到數(shù)學學習的樂趣，很多同學在課后會有這樣的感嘆：要學會自主選擇，選擇向目標靠近的途徑，使我的每一步有目的地進行操作，有利于提高自己的思維深度。

（二）多方面突破“數(shù)學變式”教學的思維

1.在“數(shù)學變式”中拓展思維

數(shù)學教學就其本質(zhì)而言是數(shù)學思維的教學，學生解決數(shù)學問題的過程是學生進行數(shù)學思維的過程，是學生將本問題與原有認知及各種問題解決策略結合起來進行探索、分析、探究的過程，是學生“用自己的大腦親自獲得知識的再發(fā)現(xiàn)過程”。數(shù)學課堂教學要堅持將優(yōu)化學生的數(shù)學思維作為首要任務，在數(shù)學教學中恰當?shù)厥褂谩皵?shù)學變式”，讓學生從不同角度對不同問題進行探究，能起到促進學生對所學的數(shù)學問題做到觸類旁通、舉一反三，從而更好地優(yōu)化學生的數(shù)學思維，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神，提高學生的綜合素養(yǎng)的作用。

【案例5】對于一切x∈R，若不等式x2-2ax+2-a≥0恒成立，求a的取值范圍。

本題利用一元二次函數(shù)與一元二次不等式的關系很容易解決，只需滿足Δ≤0即可求出a的取值范圍。

變式1：對于一切x∈R，若不等式ax2-2ax+2-a≥0恒成立，求a的取值范圍。

變式意圖：此時可以讓學生思考片刻后回答，如果回答得不全面可以再請其他同學補充，這樣讓學生積極主動思考、對比兩題的異同點，從而得到正確的解答方法。

變式2：對于一切x≥-1，若不等式x2-2ax+2-a≥0恒成立，求a的取值范圍。

變式意圖：這是不等式在某一區(qū)間上恒成立的問題，在上一題目的基礎上提升難度，有多種解決方法。如果利用上面的思考方法既要考慮對判別式的分類討論，又要考慮相應的一元二次方程根的分布問題。這個背景變化了的題目可以啟發(fā)學生轉換思考角度，探索新的方法，即利用變量分離的方法來解決。

變式3：對于一切x∈R，若不等式sin2α-2asinα+2-a≥0恒成立，求a的取值范圍。

變式意圖：變式3與三角函數(shù)相結合使難度進一步加大，與上題既有聯(lián)系又有區(qū)別，學生在解決上一題目的基礎上對于此題的解答有一定的認識，在學生思維的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)考查問題。此時可以激發(fā)起學生征服這個題目的欲望。此時也可適時地啟發(fā)學生將變式與其他基本函數(shù)相結合，學生掌握了這種思維方法，對于同一類型的題目都會迎刃而解。

變式4：對于一切a≥-1，若不等式x2-2ax+2-a≥0恒成立，求x的取值范圍。

變式意圖：此題在不等式不變的情況下給出字母a的取值范圍，求相應的x的取值范圍。又要變化思考問題的角度，相似的題目不同的解決方法和思維方法，可以調(diào)動學生的參與意識和創(chuàng)新意識。

2.在“數(shù)學變式”中深入探究

數(shù)學教材中的例題和習題的結論，反映了相關數(shù)學理論的本質(zhì)屬性，蘊含著豐富的數(shù)學思維方法和思想精髓，教師應充分利用好書本素材，在課堂上適當?shù)貙υ曨}進行如弱化條件或拓展結論等深層次的探究，挖掘出更為深刻的結論。讓教師對教材的“再創(chuàng)造”貫穿于數(shù)學課堂的全過程，使數(shù)學課堂因一連串的變式促進各種不同思維的碰撞與產(chǎn)生，不同方法的融會貫通。一個問題的解決，能讓學生發(fā)現(xiàn)許多有意義的問題并得出許多有意義的答案，對進一步探索數(shù)學問題的奧秘是很有啟發(fā)的。紛繁的背后其實是簡單的原理。

【案例6】人教A版《數(shù)學》必修1第45頁復習參考題B組第5題，證明：

（1）若f（x）=ax+b，則f（■）=■；

（2）若f（x）=x2+ax+b，則f（■）≤■。

教學過程中，對本習題結論證明之后，筆者給學生設計了如下問題：

請適當改變（2）中的條件，探求相應的結論，你能否將該命題進行適當推廣？

課堂上放手讓學生自己變更條件，探求其相應的結論或將命題推廣，安排小組學習的形式進行討論（給予足夠的時間），然后請小組代表展示探究結果。

組A代表1：

若f（x）=2x2+ax+b，則f（■）≤■ （1）

若f（x）=-x2+ax+b，則f（■）≥■ （2）

組B代表2：

若f（x）=x2+ax+b，則f（■）≤■ （3）

組C代表3：

若f（x）=logax，則f（■）≥■ （4）

組D代表4：

若f（x）=ax，a>1，則f（■）≤■ （5）

若f（x）=ax，0

組E代表5：

若f（x）=ax2+bx+c，a>0，則f（■）≤■ （7）

若f（x）=ax2+bx+c，a<0，則f（■）≥■ （8）

組F代表6：

若f（x）=x2+ax+b，則f（■）≤■

（9）

教師：很好！組A代表改變二次項系數(shù)；組B同學將結論由n=2推廣到n=3；組C同學變換函數(shù)，將二次函數(shù)變?yōu)閷?shù)函數(shù)；組D同學將二次函數(shù)變?yōu)橹笖?shù)函數(shù)；組E同學將二次函數(shù)一般化；組F同學將結論進行推廣……下面請判斷這些結論是否正確。

通過討論，學生對自己探索所得的結論進行推證，去偽存真，達成共識：其中⑴⑵⑶⑺⑻⑼是正確的，⑷⑸⑹是錯誤的。

上述以教材中的一道習題作為學生設計問題并提供探索依據(jù)，啟發(fā)學生變換題目的條件，經(jīng)過歸納、假設等再發(fā)現(xiàn)的數(shù)學思維活動，探索相應的結論，培養(yǎng)了學生的探究精神，促進創(chuàng)新能力的提升。

“數(shù)學變式”教學使學生在錯綜復雜的變化中感悟數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程，從而形成完整的認知過程，充分體驗了分析問題、解決問題的思維過程，從而提高學生探究、探索數(shù)學問題的綜合能力?！皵?shù)學變式”教學把枯燥的知識層層解剖，撥開迷霧，看清“廬山真面目”，使學生能舉一反三，融會貫通，從而減輕了題海戰(zhàn)術所帶來的疲憊；使學生體驗“柳暗花明又一村”的豁然開朗，經(jīng)歷從百思不得其解到得來全不費工夫的酣暢淋漓；使學生領略數(shù)學學科的趣味性，感受數(shù)學課堂的獨特魅力，使數(shù)學課充滿生機，煥發(fā)活力，大放異彩。

參考文獻：

[1]陳曦.數(shù)學復習課：在“問題變式”中演繹精彩[J].中學數(shù)學教學參考，2014（10）.

[2]張傳鵬.關注數(shù)學思維，演繹精彩課堂[J].中小學數(shù)學（高中版），2013.

[3]吳莉霞，劉斌.變式教學要把握三個“度”[J].數(shù)學通報，2006（4）.

[4]喻平.走進高中新課改[M].南京：南京師范大學出版社，2005.

？誗編輯 高 瓊