一題多解

衛(wèi)根柱

高二年級(jí)數(shù)學(xué)必修5前兩章學(xué)習(xí)完之后，學(xué)校舉行了一次階段統(tǒng)考。其中數(shù)學(xué)試卷有一道選擇題是這

樣的：

在△ABC中，若AB=2，AC2+BC2=8，則△ABC面積的最大值為（ ）

A. B.1 C. D.

筆者看到本題，解題思路如下：

記△ABC中，A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，則c=2，a2+b2=8。

因?yàn)?=a2+b2≥2ab，所以ab≤4（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)），

又因?yàn)閏osC= = ≥ ，所以0

這原本是一道難度不大的選擇題，考查了余弦定理、均值不等式等知識(shí)，但學(xué)生還未學(xué)習(xí)第三章基本不等式。筆者的第一反應(yīng)是該題會(huì)不會(huì)超出命題范圍了，不過出乎意料的是本題的正確率還挺高。于是在講評(píng)試卷的時(shí)候，我特地讓學(xué)生談?wù)剬?duì)本題的分析與思考。沒想到，學(xué)生腦洞大開，各抒己見，歸納一下至少有以下幾種解法：

方法一（特殊值法）：因?yàn)閏=2，a2+b2=8所以可取a=b=c=5，此時(shí)△ABC的面積為 ，而選項(xiàng)中的最大值就是 ，故選D。

方法二（解析法）：以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（-1，0），

B（1，0），設(shè)C（x，y），所以AC2+BC2=（x+1）2+y2+（x-1）2+y2=8，整理得：x2+y2=3（y≠0）。于是C點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心， 為半徑的圓（除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)）.顯然，當(dāng)C點(diǎn)在y軸上，△ABC的面積最大，為 ×2× = 。

方法三（配方法）：因?yàn)閏osC= = ，

所以S2= a2b2sin2C= a2b2（1-cos2C）= a2b2-1.

因?yàn)閍2b2= = =16- ，

所以S2= a2b2-1=3- ，因此，當(dāng)a=b時(shí)，S2max=3，故Smax= .

方法四（三角換元法）：同方法三，得S2= a2b2-1，

因?yàn)閍2+b2=8，故可設(shè)a=2 cosθ，b=2 sinθ，θ∈（0， ），

于是S2= ×8cos2θ×8sin2θ-1=4sin22θ-1，

因此，當(dāng)θ= 時(shí)，S2max=3，故Smax= .

一道好題之所以能引起大家的共鳴，不是因?yàn)槠洫?dú)特的解題技巧，而是其中所蘊(yùn)含著的數(shù)學(xué)思想.本題素材普通，但學(xué)生的求解過程卻是精彩紛呈，妙趣橫生。筆者認(rèn)為，在教學(xué)中，積極、適宜地進(jìn)行一題多解的訓(xùn)練，有利于充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，提高學(xué)生綜合運(yùn)用已學(xué)知識(shí)解答數(shù)學(xué)問題的技能和技巧；有利于鍛煉學(xué)生思維的靈活性，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)與智慧的增長(zhǎng)；有利于開拓學(xué)生的思路，引導(dǎo)學(xué)生靈活地掌握知識(shí)間的聯(lián)系，培養(yǎng)和發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性。

編輯 韓 曉