會而不對 對而不全

史修鳳

[摘 要]三角函數(shù)是高中數(shù)學的重要組成部分.三角函數(shù)求值是最基本的題型.探究解決三角函數(shù)求值問題出錯的原因以及應對策略有實際意義.

[關鍵詞]三角函數(shù)；求值；探究

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2018）02003402

三角函數(shù)是高中函數(shù)知識的重要組成部分，是高考中的熱點內容.然而，總有一些學生在解決三角函數(shù)問題時因小失大，犯一些低級的錯誤，拿不到滿分，會而不對，對而不全.究竟是什么原因造成了這種情況？引發(fā)了筆者的深刻思考.下面僅從概念理解和解題方法選擇兩個角度對學生在三角函數(shù)求值過程中的計算錯誤進行分析.

一、概念、定義理解不透徹

概念、定義是解題之本.只有準確理解概念，掌握概念的內涵和外延，才能快速、準確地解題.三角函數(shù)中三角函數(shù)定義是三角運算的基礎，是各種公式推導的基礎.準確理解三角函數(shù)定義中各字母的含義才是王道.有的學生對數(shù)學概念的理解停留在表層，甚至只記一個形式，不求甚解，造成計算錯誤，讓人萬分可惜.如何讓學生認識到理解概念的重要性，從本質上理解概念，運用好概念呢？筆者認為，首先要讓他們產生認知沖突，形成求知欲望，讓他們想知道錯因，想知道如何改正；其次，在他們憤悱之時，適時點撥，通過其他學生的理解和講解促使他們重新認識概念，在重新認識的過程中領悟概念的本質.

[教學片段一]

【例1】 （蘇教版必修4第15頁練習第2題）已知角α的終邊經過點P（-x，-6），且cosα=-513，求x的值.

筆者投影學生的兩種錯誤解法，讓學生先思考再討論、交流.

生1：兩種解答都是錯誤的.雖然解法二比解法一多考慮了α的象限，舍去了一組解，但是兩種解法的求解根源出錯.他們審題不清，漏看了P點橫坐標中x的符號“負號”，造成錯解.兩種解法都是機械套用公式，對三角函數(shù)的定義不理解或理解不到位.教材中規(guī)定：角α的余弦函數(shù)的定義式是比值cosα=xr

，其中x是角α終邊上任意一點（非原點）的橫坐標r，是該點與坐標原點的距離.此題橫坐標明明是-x，故cosα=-xr，而不是cosα=xr.造成這種錯解的原因是：只記一個形式，生搬硬套，不知變通；不認真看題中條件，漏掉“負號”而出錯.

師：找到了錯因，我們得到了什么

經驗

或教訓？

生2：教訓有兩個：①認真審題，不能看漏條件，特別是符號；②要理解概念定義中各字母的含義.只有掌握了定義中各字母的含義，才能正確運用，才能保證計算的正確性.

師：我們該怎樣修改上述兩種求解過程？

生3：解法一既要補充求x的范圍，又要更改cosα的定義式；解法二只要修改cosα的定義式，做好后續(xù)計算即可.

點評：算理是計算的道理，是計算的依據(jù).算理不清，解題瞎朦.本題的算理有二：①點P的坐標和cosα的符號；②cosα的定義式.前者確定x的范圍，后者確定x的值.算理清楚，解題過程清楚，書寫規(guī)范，看著就舒服.

正解一是由r的符號確定x的范圍（符號）；正解二是由cosα的符號確定x的范圍（符號），形異質同.正解一是由r的公式構建方程求出x的值；正解二是由cosα的定義式構建方程求出x的值.這里就有一個計算的順序問題.先算誰再算誰，有時會造成計算量的增加，甚至算不出來.因此，每次計算，都要先做了計算預案，大致想一下算的順序，做到心中有數(shù).

通過學生的相互討論、交流（特別是交流），讓學生理解三角函數(shù)定義的本質，進而促使他們學會正確運用三角函數(shù)定義式.既要讓學生明白錯誤的原因，又要讓他們知曉如何避免出錯，更要讓他們學會正確計算.

二、方法、公式選擇不當

學習數(shù)學離不開解題.而解題就必然要研究解題方法和解題策略.好的方法、策略往往能起到事半功倍的效果.如何才能在解題過程中選擇高效、簡便的方法呢？筆者認為，這離不開對數(shù)學知識的深入理解與熟練掌握，離不開對數(shù)學知識的靈活運用，更離不開解題后的反思與總結.

[教學片段二]

【例2】 已知α∈0，π2，β∈π2，π且sin（α+β）=5665，cosβ=-513，求sinα.

筆者投影了學生的三種解法，讓學生思考、交流.

師：比較上面的三種解法，說說你們的看法和想法.

生1：解法一容易想到，先求得sinβ的值，然后將sin（α+β）

展開，代入sinβ、cosβ的值，再利用平方關系sin2α+cos2α=1

，構建方程組.

但是運算太繁雜，計算量巨大，耗費了大量時間和精力，也沒有算出結果，一般情況下我們不想采用這種方法.

生2：解法二方法選擇還是合理的，注意到已知角與待求角之間的關系.但是由于運用

sin（α+β）=5665

，求cos（α+β）時，數(shù)據(jù)太大，缺乏必要的運算技巧，采用硬算的方式，費時費力，且不敢做下去，比較可惜.

生3：解法三是將解法二進行下去，在求cos（α+β）時，巧妙地運用平方差公式，大大降低了計算的難度.

生4：最關鍵的是解題后的反思，學習完之后，要及時總結.求解三角計算問題，先觀察已知角與待求角之間的關系.這是解決此類問題的常用方法.當然，選擇了解法，只要有耐心和毅力，還是能算出來的.

點評：解題是數(shù)學學習中最重要的一部分.上面的幾種解法，很好地體現(xiàn)了解題時計算途徑的選擇有可能影響解題的正常進行.當題目有多種計算途徑時，要注意合理選取算法，以確保計算的順利進行.

三角函數(shù)中存在的問題遠不止這些，本文僅從三角求值這個角度，對常見的“會而不對，對而不全”的情況進行剖析，拋磚引玉，希望有更多的教師進行課堂教學實踐，以做更進一步的研究.

（責任編輯 黃桂堅）