“問題導(dǎo)學(xué)”讓教學(xué)標準明確、有法可依

陳茵

[摘 要]教學(xué)是一門科學(xué)，又是一門藝術(shù)；科學(xué)講究規(guī)則，藝術(shù)講究創(chuàng)造.課堂教學(xué)既要做到“教學(xué)有法”，又要做到“教無定法”.在“問題導(dǎo)學(xué)”的背景下，在數(shù)學(xué)課堂的新課引入、概念形成、概念深化、應(yīng)用探索等環(huán)節(jié)中應(yīng)抓“關(guān)聯(lián)性”“合理性”“內(nèi)涵、外延”“模型化”，從而解決為什么要學(xué)的認知需求問題，讓學(xué)生知其然知其所以然，幫助學(xué)生多視角理解、認識概念，使學(xué)生領(lǐng)悟解決問題的思想方法.通過“問題導(dǎo)學(xué)”，使得數(shù)學(xué)課堂教學(xué)標準明確、有法可依.

[關(guān)鍵詞]問題導(dǎo)學(xué)；核心素養(yǎng)；標準；有法

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2018）02000303

我是一名2016年大學(xué)畢業(yè)剛?cè)肼毜那嗄杲處?初為人師，我既興奮又緊張，興奮是因為實現(xiàn)了從小就立下的理想——成為一名人民教師，而緊張則在于人們對于名校教師的期待，這讓無教學(xué)經(jīng)驗的我不禁有些擔憂.幸運的是，我參加了學(xué)校開展的《問題導(dǎo)學(xué)：發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的實踐研究》課題研究工作，有機會多次參與廣西教科院組織的“問題導(dǎo)學(xué)”新授課教學(xué)模式的研討活動，并擔任了其中一節(jié)現(xiàn)場展示課的主講教師.在這個過程中，我逐步學(xué)習和了解了“問題導(dǎo)學(xué)”的原理和方法，并對如何將其有效運用到教學(xué)實踐中有了自己的思考.下面以《拋物線的簡單幾何性質(zhì)》一課的教學(xué)為例，談?wù)勎业囊恍┱J識和體會.

一、“新課引入”要抓“關(guān)聯(lián)性”——解決為什么學(xué)的認知需求問題

【教學(xué)實錄1】師：今天，老師給大家介紹一個傳奇人物.他是一位哲學(xué)家，也是一位數(shù)學(xué)家，我們熟悉的坐標系就是他創(chuàng)立的，他被稱為“解析幾何之父”，他的名字叫笛卡爾.他的貢獻在于：借助坐標系，將點與數(shù)建立了聯(lián)系，將曲線與方程建立了聯(lián)系，從而實現(xiàn)了用代數(shù)方法研究幾何問題的設(shè)想.今天，我們借助笛卡爾的研究方法，看看怎樣用代數(shù)的方法來研究拋物線的簡單幾何性質(zhì).

【評點】新課引入是一節(jié)課的思維起點，萬事開頭難.本節(jié)課從數(shù)學(xué)史引入，既介紹了笛卡爾創(chuàng)立解析幾何的研究方法，又點明了主題：用坐標法來研究幾何性質(zhì)，開宗明義，一目了然.

二、“概念形成”要抓“合理性”——讓學(xué)生知其然知其所以然

【教學(xué)實錄2】實驗：選取p>0的值，作出拋物線y2=2px的圖像（如圖1），觀察圖像研究它的幾何性質(zhì).

問題1：拋物線的定義、標準方程的結(jié)構(gòu)與橢圓、雙曲線的類似，猜想拋物線的幾何性質(zhì)是否與橢圓、雙曲線的類似？你認為應(yīng)該研究拋物線的哪些幾何性質(zhì)？

【評點】知識不是孤立出現(xiàn)的，需要教師設(shè)置問題引導(dǎo)學(xué)生將新知識與舊知識建立聯(lián)系，形成新的認知結(jié)構(gòu).拋物線作為圓錐曲線的一種，其幾何性質(zhì)的研究內(nèi)容和研究方法應(yīng)該與橢圓、雙曲線的類似.

問題2：觀察圖像，拋物線伸展的范圍是有限還是無限的？拋物線方程y2=2px中的變量x、y的取值范圍是有限還是無限的？

【評點】通過問題設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷研究曲線幾何性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程：觀察圖像，從“形”入手分析；研究方程，從“數(shù)”入手分析.這樣，既培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直觀能力，也培養(yǎng)了學(xué)生的代數(shù)運算能力.

問題3：拋物線方程y2=2px中變量x的取值范圍是什么？你能判斷拋物線的開口方向嗎？

【評點】由代數(shù)式x中的取值范圍得到拋物線的開口方向，讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)由“數(shù)”到“形”的過程，體會數(shù)形結(jié)合思想.

問題4：觀察圖像，拋物線是否是軸對稱圖形？是否是中心對稱圖形？任取拋物線上一點（x，y），其關(guān)于x軸的對稱點（x，-y）是否在拋物線上？說明了什么？

【評點】讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，拋物線是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形.將方程中的y換成-y，方程不變，說明拋物線上任意一點（x，y），其關(guān)于x軸的對稱點（x，-y）在拋物線上，曲線關(guān)于x軸對稱.

問題5：請你嘗試采用這樣的研究方法，說明拋物線是非中心對稱圖形.

【評點】問題4讓學(xué)生學(xué)習用代數(shù)方法去研究曲線的對稱性，而問題5則讓學(xué)生運用這種方法去嘗試解決新問題，很好地鞏固了學(xué)生對研究方法的掌握.

在給出拋物線的頂點和離心率概念后，我設(shè)置以下例題.

【例1】 一條拋物線關(guān)于x軸對稱，頂點為原點，并且經(jīng)過點（1，2），求拋物線方程.

【評點】設(shè)計此例的目的有二，一是強化拋物線幾何性質(zhì)的學(xué)習；二是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“過焦點且垂直于對稱軸的直線，與拋物線相交的兩點，其橫縱坐標之比為1∶2”，并為解決例2做準備.

問題6：拋物線y2=2px上有幾個點橫、縱坐標之比是1∶2？它們在什么位置？

【評點】問題6連接了例1的已知點，從代數(shù)角度分析已知點橫、縱坐標的關(guān)系，從幾何角度分析已知點位于焦點的正上方，從而找到拋物線焦點的方法.問題設(shè)置著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，將難度分解到若干個小問題中，小問題間又有相應(yīng)的邏輯聯(lián)系，解決了小問題，難題也就迎刃而解了.

由此可見，問題的設(shè)置不僅要有關(guān)聯(lián)性，還需要有梯度.接下來的例2難度不低，要解決它，就必須鋪設(shè)一些“階梯”.

【例2】 已知拋物線和它的對稱軸.試用幾何作圖法作出拋物線的焦點和準線.

【評點】再次深化拋物線的幾何性質(zhì)，借助坐標系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解，最后再翻譯成幾何語言，讓學(xué)生體驗由“形”到“數(shù)”及由“數(shù)”到“形”的過程.

教學(xué)中，教師要讓學(xué)生了解作圖依據(jù)：以拋物線頂點為坐標原點，頂點到焦點的方向為x軸的正方向建立直角坐標系，設(shè)拋物線方程為y2=2px，焦點坐標為（

p2，0），準線方程為x=-p2.過焦點作平行于y軸的直線與拋物線相交，得到兩個交點P1（p2，y1），

P2=（p2，-y1）

，其中y1>0.由y21=2p·p2得y1=p.因此，P1（p2，y1）在直線y=2x上，是直線y=2x與拋物線的交點；還要讓學(xué)生明確作圖步驟（如圖2）：

（1）拋物線的對稱軸與拋物線相交，得到頂點O.

（2）在對稱軸上任取一個與O不重合的點A，使OA指向拋物線的開口方向，從A點作AB⊥OA，作|AB|=2|OA|，射線OB與拋物線相交于點P.

（3）過P點作PF⊥OA，與射線OA相交于F，則F為拋物線焦點.

（4）延長FO到D使OD=FO.過D作⊥OD，則l為準線.

【評點】以“問題”為導(dǎo)向，讓學(xué)生理解概念形成的“合理性”與“必然性”，這是本環(huán)節(jié)的主要內(nèi)容.教師設(shè)計的問題要符合學(xué)生的認知水平，要從學(xué)生熟悉的舊知識出發(fā)，尋找與新知識的聯(lián)系和沖突，并逐步感受新知識的產(chǎn)生是合理的，是在同化和順應(yīng)的過程中重新建構(gòu)認知圖式.這是建構(gòu)主義學(xué)習理論所提倡的支架式教學(xué)模式.

三、“概念深化”要抓“內(nèi)涵、外延”——幫助學(xué)生多視角理解、認識概念

【問題系列】

（1）拋物線y2=2px的焦點坐標為（p2，0），準線方程x=-p2；

【評點】回顧拋物線定義，幫助學(xué)生回憶另外三個開口方向不同的拋物線的焦點坐標公式和準線方程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)拋物線焦點非零的坐標值與拋物線標準方程一次項系數(shù)是1∶4的關(guān)系.

（2）如圖3，四邊形DFME是正方形；

（3）焦準距為p；

（4）通徑：過拋物線焦點垂直于對稱軸的弦.拋物線的通徑長為2p.

【評點】深挖拋物線中蘊含的結(jié)論，深化拋物線的幾何性質(zhì).

通過前面的幾何觀察和代數(shù)研究，我們得到了拋物線的簡單幾何性質(zhì)，學(xué)會了運用幾何作圖法尋找拋物線焦點的位置.那么，在“概念深化”環(huán)節(jié)，我們要解決哪些重點問題呢？我認為，要重在引導(dǎo)學(xué)生挖掘概念的內(nèi)涵與外延.例如，從內(nèi)涵入手，拋物線的本質(zhì)是它的定義，從定義我們可以得到它的離心率、焦準距等幾何性質(zhì)，從標準方程我們可以得到焦點坐標和一次項系數(shù)的聯(lián)系.除此之外，我們還要引導(dǎo)學(xué)生對它們各自的結(jié)構(gòu)、特點和關(guān)鍵信息做出明確的認定，強化學(xué)生對概念的認識，并由此出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生思考還可以得到哪些重要的結(jié)論，歸納這節(jié)課研究的數(shù)學(xué)思想方法等，從而讓學(xué)生學(xué)會全方位地去認識和理解概念，提高思維的水平.

四、“應(yīng)用探索”要抓“模型化”——使學(xué)生領(lǐng)悟解決問題的思想方法

【例3】 拋物線形拱橋如圖4，當拱橋離水面2.5m時，水面寬4.5m，如果水面上升0.5m時，水面寬多少？（精確到0.01m）

解析：如圖4建立直角坐標系，1m為單位長.則現(xiàn)在水面與拱橋在第四象限的交點A的坐標為（2.25，-2.5），代入方程x2=-2py，得2p=2.025.水面上升0.5m后，水面與拱橋在第四象限的交點B（x2，y2）的縱坐標為y2=-2，代入方程，得

x2=-2py2≈

-2.025×（-2）≈2.01，

故水面寬為2.01×2=4.02（m）.

【評點】通過解決實際問題，鞏固拋物線簡單幾何性質(zhì)的內(nèi)容，促進學(xué)生領(lǐng)悟借助坐標系解決幾何問題的思想方法.

例題，是進一步強化學(xué)生對新知識的理解、實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法類化的重要載體，需要教師的精心設(shè)置與分析講解.本節(jié)課設(shè)置的應(yīng)用例題是生活中常見的問題，學(xué)生需要通過抽象出拋物線模型，運用拋物線的幾何性質(zhì)解題.教師要有意識地給學(xué)生傳遞數(shù)學(xué)的實用性，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維方式來解決實際問題，這也是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要體現(xiàn)，是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識的有效手段.

五、“總結(jié)歸納”要抓“知識建構(gòu)”——引導(dǎo)學(xué)生建立思維導(dǎo)圖

問題7：這節(jié)課你學(xué)到了哪些內(nèi)容？涉及哪些數(shù)學(xué)思想方法？

知識點小結(jié)：拋物線的幾何性質(zhì)，如范圍、對稱性、頂點等.

技能點小結(jié)：類比思想、數(shù)形結(jié)合思想、建模思想、坐標法、待定系數(shù)法.

【評點】讓學(xué)生自主總結(jié)歸納本課所學(xué)知識點和這節(jié)課所學(xué)到的思想方法，能幫助學(xué)生自主建構(gòu)新的認知圖式.

“總結(jié)歸納”是一節(jié)課必不可少的環(huán)節(jié).建構(gòu)主義學(xué)習理論認為，學(xué)習是學(xué)習者主動進行意義建構(gòu)的過程，學(xué)習者只有主動對學(xué)習內(nèi)容進行加工、整理，進而建立新的認知圖式，內(nèi)化成自己的東西，才是真正的收獲.

總之，通過這樣的研修學(xué)習，讓我心中對教學(xué)有了明確的標準，學(xué)會了自我評價、自我修正，對教學(xué)組織有了更高的目標和追求，也有了屬于自己的獨特方法.我堅信，只要堅持研究、實踐，自己的從教之路一定會走得更加堅實、更加穩(wěn)??！

（責任編輯 黃春香）