基于超穩(wěn)定性理論的分?jǐn)?shù)階MRAC設(shè)計(jì)

薛長(zhǎng)森，戚志東，單 梁，唐鵬亮

(南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，江蘇，南京，210094)

0 引 言

對(duì)于一些非線性、多變量、強(qiáng)耦合的控制對(duì)象，一般的控制方法無法滿足高性能控制的需要。研究人員引入MRAC等較為先進(jìn)的控制算法，并結(jié)合模糊控制實(shí)現(xiàn)參數(shù)實(shí)時(shí)整定取得了不錯(cuò)的效果[1]。隨著工程實(shí)際對(duì)控制性能要求的進(jìn)一步提高，學(xué)者也嘗試將分?jǐn)?shù)階微積分理論引入到MRAC控制律的設(shè)計(jì)中。文獻(xiàn)[2,3]在基于局部參數(shù)最優(yōu)化律(MIT)設(shè)計(jì)MRAC時(shí)，均采用對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階的微分以得到分?jǐn)?shù)階控制律的方法。前者還給出了具有分?jǐn)?shù)階參考模型時(shí)的MRAC設(shè)計(jì)方法，仿真實(shí)例表明，具有分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)律的MRAC較整數(shù)階有明顯優(yōu)勢(shì)；后者也特別定性地分析了參數(shù)選定與控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系，但這種方法沒有從根本上解決控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。文獻(xiàn)[4-6]在保證整個(gè)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性方面更進(jìn)一步，他們利用分?jǐn)?shù)階微積分的知識(shí)推廣了Lyapunov第二法，并根據(jù)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階的自適應(yīng)控制律，這樣不僅提高了MRAC的控制性能，也保證了整體的穩(wěn)定性，但基于Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器優(yōu)劣取決于設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)和技巧，且自適應(yīng)控制律往往含有誤差的積分，參數(shù)調(diào)整緩慢[7]，同樣的問題依然存在于分?jǐn)?shù)階MRAC的設(shè)計(jì)中，使其在實(shí)際應(yīng)用中有相當(dāng)?shù)木窒扌浴?/p>

本文以分?jǐn)?shù)階微積分的性質(zhì)為基礎(chǔ)，并結(jié)合Po-pov超穩(wěn)定性理論，提出了一種新的分?jǐn)?shù)階MRAC設(shè)計(jì)方法。該方法在保證控制系統(tǒng)穩(wěn)定的同時(shí)，控制律選取靈活，設(shè)計(jì)過程規(guī)范以便于實(shí)際應(yīng)用。同時(shí)，以超聲波電機(jī)的轉(zhuǎn)速控制為仿真實(shí)例，結(jié)果表明，相比整數(shù)階MRAC，通過選取適當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)階積分階次，分?jǐn)?shù)階MRAC可提高系統(tǒng)輸出的收斂速度，減小超調(diào)量，并表現(xiàn)出更優(yōu)的魯棒性。

1 分?jǐn)?shù)階微積分及其數(shù)值解法

1.1 分?jǐn)?shù)階微積分基礎(chǔ)

分?jǐn)?shù)階微積分通用表達(dá)式如下[8]：

(1)

在分?jǐn)?shù)階微積分理論的研究進(jìn)程中，由整數(shù)階微積分直接推廣得到的分?jǐn)?shù)階微積分定義，其形式有所不同[9]。其中，Riemann-Liouville(RL)定義為：若f(t)在(0,+∞)上逐段連續(xù)，并且在[0,+∞)區(qū)間上可積，對(duì)于t>0,Re(ν)>0，則：

(2)

函數(shù)f(t)的ν階RL積分，其中Γ(ν)為伽馬函數(shù)：

(3)

1.2 分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)值算法

本文采用Oustaloup濾波器算法作為分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)值求解方法，其實(shí)現(xiàn)方式簡(jiǎn)單且在近似頻段內(nèi)效果良好[10]。具體實(shí)現(xiàn)過程如下：

(4)

其中，γ為任意實(shí)數(shù)。為獲得較高的近似精度，在選定的擬合頻率段(ωb,ωh)內(nèi)用一個(gè)分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)F(s)來近似分?jǐn)?shù)階微分算子sγ，F(xiàn)(s)如下所示。

(5)

對(duì)上式進(jìn)行一階泰勒公式展開，可得：

(6)

2 基于Popov超穩(wěn)定性理論的分?jǐn)?shù)階MRAC設(shè)計(jì)方法

2.1 Popov超穩(wěn)定性理論

超穩(wěn)定性問題是Popov在20世紀(jì)60年代對(duì)絕對(duì)穩(wěn)定性研究過程中，作為絕對(duì)穩(wěn)定性問題的一個(gè)推廣而提出的，其理論是MRAC設(shè)計(jì)的主要理論基礎(chǔ)之一[11]。

圖1 一類非線性控制系統(tǒng)

如圖1所示的一類非線性控制系統(tǒng)，系統(tǒng)由一個(gè)前向通道和一個(gè)反饋通道組成，其前向通道是線性時(shí)不變的，而反饋通道一般是非線性時(shí)變的，系統(tǒng)描述為

(7)

式中，x∈Rn；ω,v∈Rp；A∈Rn×n；B∈Rn×p；C∈Rp×n；D∈Rp×p；f(t,τ,σ)表示σ→ω的映射，一般為一個(gè)泛函。

超穩(wěn)定性定理 針對(duì)式(7)描述的反饋系統(tǒng)，如果反饋通道滿足Popov不等式，即有

(8)

其(漸進(jìn))超穩(wěn)定的充要條件是，前向通道的傳遞函數(shù)矩陣是(嚴(yán)格)正實(shí)的[12]。

2.2 分?jǐn)?shù)階MRAC設(shè)計(jì)方法

若控制系統(tǒng)的狀態(tài)可測(cè)，可利用其狀態(tài)變量來設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階MRAC?？紤]如下自適應(yīng)控制系統(tǒng)：

前向通道線性變換量：v=De；

自適應(yīng)控制參數(shù)：

分?jǐn)?shù)階MRAC系統(tǒng)的設(shè)計(jì)目標(biāo)為：尋找D、Φ1(v,t,τ)、Φ2(v,t)、Ψ1(v,t,τ)、Ψ2(v,t)，使得對(duì)于任意初始條件(As(0)，Bs(0))、任意初始系統(tǒng)參數(shù)(xm(0)，xp(0))和分段連續(xù)的輸入量r，自適應(yīng)控制系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定，并且自適應(yīng)參數(shù)是收斂的[13]。

圖2 等價(jià)反饋系統(tǒng)

基于狀態(tài)變量的分?jǐn)?shù)階MRAC設(shè)計(jì)過程如下：

a) 將原系統(tǒng)描述為一個(gè)如圖2的等價(jià)反饋系統(tǒng)。

其中，前向方框?yàn)椋?/p>

(9)

反饋方框?yàn)椋?/p>

(10)

b) 決定可調(diào)參數(shù)Φ1(v,t)、Φ2(v,t)、Ψ1(v,t)、Ψ2(v,t)，使反饋通道滿足Popov不等式，即：

(11)

結(jié)合式(10)可得：

η(0,t1)=

(12)

其中，A0=As(0)-Am，B0=Bs(0)-Bm，α1<0，α2<0?？傻茫?/p>

(13)

若取Φ1(v,t,τ)=KA(t-τ)v(τ)xT(τ)，則

ηΦ1(0,t1)=

(14)

(15)

證明 根據(jù)Riemann-Liouville(R-L)定義，分?jǐn)?shù)階積分可表示為

(16)

式(16)中

(17)

運(yùn)用上述性質(zhì)，在可調(diào)參數(shù)選取方案不變的情況下，只是將整數(shù)階積分全部替換為分?jǐn)?shù)階積分，容易得出：

(18)

同理可得：

(19)

c) 決定前向方框中D，使得等效反饋系統(tǒng)滿足Popov超穩(wěn)定定理。

為滿足前向通道正實(shí)性的要求，可取D=P>0使得：

(20)

當(dāng)參考模型是漸近穩(wěn)定時(shí)，式(20)有唯一解。

3 仿真實(shí)例

以文獻(xiàn)[14]中建立的ShinseiUSR60型兩相行波超聲波電機(jī)的階躍響應(yīng)模型為例。

(s2+632.6935002s+α0)n=βNref

(21)

式中，α0，β為電機(jī)運(yùn)行時(shí)受自身或外界干擾時(shí)變的參數(shù)。

期望的性能指標(biāo)為：在階躍信號(hào)作用下，電機(jī)的轉(zhuǎn)速響應(yīng)時(shí)間在0.3秒內(nèi)且無超調(diào)，故將參考模型[15]設(shè)置為：

(s2+632.6935002s+25000)n=25000Nref

(22)

根據(jù)分?jǐn)?shù)階MRAC的設(shè)計(jì)方法，將α0，β作為控制律中的可調(diào)因子，可得：

(23)

a) 啟動(dòng)階段

圖3 不同階次控制律作用下的電機(jī)階躍響應(yīng)

圖4 不同階次控制律作用下的電機(jī)階躍響應(yīng)差值

在電機(jī)啟動(dòng)階段，設(shè)置目標(biāo)轉(zhuǎn)速為100 r/s的階躍信號(hào)，圖3、圖4分別為不同階次控制律作用下的電機(jī)階躍響應(yīng)曲線以及它們與參考模型的響應(yīng)誤差。從圖3中可以看出，理想?yún)⒖寄Ｐ偷碾A躍響應(yīng)在0.15 s達(dá)到穩(wěn)態(tài)值100 r/s，傳統(tǒng)的整數(shù)階MRAC可使電機(jī)轉(zhuǎn)速在0.25 s達(dá)到穩(wěn)態(tài)，圖4顯示其在0.25～0.3 s內(nèi)有2 r/s的穩(wěn)態(tài)誤差。本文所設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階MRAC，引入了可調(diào)因子——分?jǐn)?shù)階積分階次α，從上面兩圖可以看出，當(dāng)α減小到0.1時(shí)，穩(wěn)定時(shí)間約為0.15 s，且無明顯穩(wěn)態(tài)誤差。在其他因素一定的情況下，相比傳統(tǒng)的整數(shù)階MRAC，通過降低積分階次可加快電機(jī)轉(zhuǎn)速的收斂速度，同時(shí)減小穩(wěn)態(tài)誤差。

b) 負(fù)載突變階段

圖5 負(fù)載變化時(shí)的電機(jī)響應(yīng)情況

負(fù)載突變可以更好地測(cè)試所設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階控制策略的抗干擾能力，因此在1 s和1.1 s模擬電機(jī)負(fù)載突變的情況，在原階躍響應(yīng)的基礎(chǔ)上分別給予±5 r/s 的轉(zhuǎn)速突變。如圖5所示，由于整數(shù)階MRAC和α=0.5時(shí)的分?jǐn)?shù)階MRAC在之前時(shí)刻與參考模型的輸出存在明顯誤差，但設(shè)計(jì)方法決定了隨著時(shí)間的積累，誤差終要?dú)w零，這就使得在1～1.2 s內(nèi)，它們的響應(yīng)誤差曲線整體漸近于零，并且出現(xiàn)轉(zhuǎn)速突變大于5 r/s現(xiàn)象。同時(shí)，隨著積分階次的下降，電機(jī)的轉(zhuǎn)速能更加快速的穩(wěn)定在期望的目標(biāo)，表現(xiàn)出更加良好的魯棒性。

4 結(jié)束語

本文基于Popov超穩(wěn)定性理論和分?jǐn)?shù)階知識(shí)，提出了一種分?jǐn)?shù)階MRAC的設(shè)計(jì)方法，從設(shè)計(jì)過程來看，該分?jǐn)?shù)階MRAC在滿足整體系統(tǒng)(漸近)超穩(wěn)定的同時(shí)，設(shè)計(jì)流程更加規(guī)范以便于工程時(shí)間人員的掌握，控制策略的選擇也更加靈活，相比基于MIT法和Lyapunov第二法的分?jǐn)?shù)階MRAC設(shè)計(jì)具有明顯優(yōu)勢(shì)；另一方面，分?jǐn)?shù)階MRAC相對(duì)于傳統(tǒng)的整數(shù)階MRAC，每一個(gè)可調(diào)參數(shù)都引入了可調(diào)因子——分?jǐn)?shù)階積分階次，通過兩相行波超聲波電機(jī)的仿真實(shí)例可以看出，通過降低分?jǐn)?shù)階積分階次，可以提高控制對(duì)象的響應(yīng)速度，降低穩(wěn)態(tài)誤差并提高系統(tǒng)的魯棒性，與整數(shù)階MRAC相比優(yōu)勢(shì)明顯。

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