例談高中數(shù)學(xué)解題技巧之“三角代換”

李宇珂

【摘 要】 “三角代換”是一種常見的數(shù)學(xué)解題方法，在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用十分廣泛。這種解題技巧將一些運(yùn)算復(fù)雜、思路古怪的難題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用三角中的恒等式進(jìn)行解題。在本文中，我就試著分析了三角代換在函數(shù)求最值、數(shù)列問題、不等式證明中的具體應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué)；解題技巧；三角代換；應(yīng)用

小學(xué)和初中階段的數(shù)學(xué)問題往往難在運(yùn)算，而到了高中時期數(shù)學(xué)解題就難在對題的解析和思路上。三角代換的解題方法就是給我們解題提供了一種思路，在遇到難題時想辦法將其轉(zhuǎn)化為我們所能解決的問題。通過將所求設(shè)為已知，化難為易，將無從下手的題型變?yōu)槿呛瘮?shù)的計(jì)算，大大降低了難度。

一、在函數(shù)最值中的應(yīng)用

在解決一些函數(shù)問題時三角代換往往有奇效，比如在求函數(shù)最值的時候，可以利用三角函數(shù)恒等式來解答。將代數(shù)問題有效地轉(zhuǎn)化為三角問題，然后對函數(shù)進(jìn)行換元和變形，從而解決問題。

例1：求y=√1-x^2的值域

解題思路：解題思路：首先我們根據(jù)題示信息得出x∈[-1，1]，然后設(shè)x=sint，t∈[0，2π）那么√1-x^2 =cost。原函數(shù)就變成了y=sint+cost∈[-√2 ，√2 ]，√1-x^2 ≥0，通過計(jì)算求解得出x∈[-1，1]。從這題我們可以看出，在一些難度頗高的函數(shù)問題中，我們很難通過常規(guī)的計(jì)算得出問題的答案，而需要在解題思路上多花些功夫，運(yùn)用三角代換的方式將根號下的數(shù)值計(jì)算轉(zhuǎn)化為我們熟悉的三角函數(shù)運(yùn)算，這樣一來極大的簡化了解題過程。

二、在數(shù)列問題中的應(yīng)用

從近幾年的考試題中不難發(fā)現(xiàn)，對數(shù)列知識的考查正在逐漸增強(qiáng)，數(shù)列題的難度和解法也越來越刁鉆。針對這一現(xiàn)象，熟練利用三角代換解決數(shù)列中的疑難問題已經(jīng)是我們所必須要掌握的解題手段了。

例2：Sn=sin21°+sin22°+sin23°+……sin289°。

在這道題當(dāng)中89項(xiàng)相加，而且是三角函數(shù)值在運(yùn)算起來如果沒有特殊的方法是很難做到的。這時候我們就必須利用sin2θ+cos2θ=1，1+tan2θ=sec2θ，1+cot2θ=css2θ這幾個恒等式來進(jìn)行解題。

首先，將數(shù)列轉(zhuǎn)化為：

Sn=sin2（90°-89°）+sin2（90°-88°）+sin2（90°-87°）+……sin245°+sin246°+……sin289°.

Sn=cos289°+cos288°+cos287°+……+cos246°+sin245°+sin246°+……+sin289°.

Sn=cos289°+sin289°+cos288°+sin288°+……+cos246°+sin246°+sin245°

Sn=1+1+1+……+1+

Sn=1×44+

Sn=44.5

在這道題的解答過程中，我們先是將復(fù)雜的數(shù)列各項(xiàng)之間建立起三角函數(shù)的聯(lián)系，然后利用倒序求和的方式排列出來組合求解。由此可見，三角代換在數(shù)學(xué)解題過程中的巧妙使用能把一些繁瑣的運(yùn)算項(xiàng)簡單化，從而為我們解題提供大大的便利。

三、在不等式證明中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合一直以來都是我們解題過程中的有效手段，實(shí)際上用三角代換來解不等式也是數(shù)形結(jié)合的一種表現(xiàn)。在一些數(shù)學(xué)題中，已知條件過少我們很難對原題直接進(jìn)行求解，這時候就需要用代換的方式將其中的變量替換成適合的三角函數(shù)，然后利用三角函數(shù)的有界性對已知條件進(jìn)行補(bǔ)充和豐富，建立起各項(xiàng)條件之間的邏輯關(guān)系，方便我們解題。

例3：已知x2+y2=1，求證：|x2+2xy-y2|≤√2 。

從題目來看，我們可以將已知條件看作是圓的方程式，然后通過圓和三角函數(shù)之間的代換，求出不等式的區(qū)間值。

證明過程：設(shè)x=acosθ，y=asinθ，a≥0，0≤2π，結(jié)合已知條件x2+y2≤1，可以求出a2≤1，

那么可知|x2+2xy-y2|=a2|sin2θ+cos2θ|=a2 | √2 sin（2θ+ ）| ≤√2 a2≤√2。

還有一道曾經(jīng)在數(shù)學(xué)奧賽上出現(xiàn)過的不等式問題也有著相當(dāng)重要的借鑒意義，當(dāng)時可謂是難倒了不少的數(shù)學(xué)尖子生，我在這里也跟大家一起分享。

例4：假設(shè)a、b、A、B∈R，如果對于任意的x∈R而言，f（x）=1-acos-bsinx-Acos2x-Bsin2x≥0均成立，試著證明a2+b2≤2。

根據(jù)已知條件的分析我們不難得出，代數(shù)式acosx+bsinx存在著三角函數(shù)的聯(lián)系，那么我們就可以利用平方關(guān)系的恒等式來進(jìn)行解題。

假設(shè)√a^2+b^2 >2，令 =sinθ， =sinφ，

取x1= -θ，x2= +x1= -θ，那么根據(jù)計(jì)算sin2（x1+φ）<0，f（x1）<0，故而a2+b2≤2。

這個例題正好說明了三角代換在解題中有著廣泛的應(yīng)用，同時也揭示了三角代換和幾何、代數(shù)及不等式之間有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系。

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)更注重?cái)?shù)學(xué)思維和應(yīng)變能力的培養(yǎng)，在浩瀚的題海中我們不能死板地看待問題，而應(yīng)該多方面地思考，并充分應(yīng)用換元的思路解題。三角代換正是利用三角函數(shù)的特點(diǎn)以及平方關(guān)系的恒等，給我們解題和運(yùn)算都帶了來極大的便利，在解題的過程中我們要有意識地對這個方法加以應(yīng)用，把所求問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，從而使難題迎刃而解。當(dāng)然，我個人的水平畢竟有限，對于三角代換的具體應(yīng)用技巧還有待完善，這就需要我們大家一起在今后做題解題過程中不斷豐富和完善這個解題方法。

【參考文獻(xiàn)】

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[3]李國強(qiáng).三角代換在解題中的應(yīng)用[J].教學(xué)·解題指南，2014年9月總第206期：50.