學(xué)生計(jì)算技能形成的心理分析及教學(xué)策略

周吉鋒

摘 要：計(jì)算是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重中之重。著眼于學(xué)生的計(jì)算心理，教學(xué)中教師可以引導(dǎo)學(xué)生在生活化的情境中建構(gòu)算法，在物質(zhì)化的操作活動(dòng)中建構(gòu)算法，在圖形化的詮釋中建構(gòu)算法，在形式化的表達(dá)中建構(gòu)算法。通過算法建構(gòu)、算理理解，讓學(xué)生的計(jì)算技能逐步形成，并逐漸達(dá)到準(zhǔn)確化、智能化和快捷化的境界。

關(guān)鍵詞：計(jì)算技能；心理分析；教學(xué)策略

計(jì)算是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中最基本的技能，在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)著重要地位。有學(xué)者甚至將計(jì)算與思維并列，稱為“數(shù)學(xué)的本質(zhì)”。德國著名教育家赫爾巴特曾經(jīng)這樣說，“所有確定的知識(shí)，都必須從計(jì)算開始”。作為一種心智技能，衡量學(xué)生計(jì)算水平高低的主要標(biāo)識(shí)為：計(jì)算的準(zhǔn)確度、計(jì)算的速度、計(jì)算的靈活性和對(duì)計(jì)算算理算法的清晰度。小學(xué)計(jì)算包括三種類型：一是口算；二是筆算；三是估算。所有的計(jì)算，都必須理法（算理和算法）融通。從心理學(xué)視角看，計(jì)算是一種心智活動(dòng)技能，其發(fā)展總是從低級(jí)走向高級(jí)、從簡單走向復(fù)雜、從具體走向抽象。

一、激活心理經(jīng)驗(yàn)，在生活化情境中建構(gòu)算法

學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)往往是計(jì)算算理的重要組成部分，抽象的計(jì)算算法往往需要學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的支撐，只有在經(jīng)驗(yàn)化的情境之中，學(xué)生才能因景生情、因情生思。以情境作為背景，能夠讓學(xué)生深度理解計(jì)算的順序、計(jì)算的算理等。學(xué)生對(duì)計(jì)算算法的體認(rèn)過程往往是在數(shù)學(xué)知識(shí)與生活經(jīng)驗(yàn)間來回穿行的過程。在生活經(jīng)驗(yàn)的情境中學(xué)習(xí)計(jì)算，能夠順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知思維、計(jì)算思維和數(shù)學(xué)知識(shí)的自然生長。

例如蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)的《運(yùn)算律》，教材都是從學(xué)生生活化的經(jīng)驗(yàn)情境入手，引導(dǎo)學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題，然后形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)猜想，接著引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)相應(yīng)的數(shù)學(xué)猜想，借助計(jì)算或者生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證，建構(gòu)從個(gè)別到一般的數(shù)學(xué)模型。如《加法的交換律和結(jié)合律》，教材的情境圖是這樣的：28個(gè)男生跳繩，17個(gè)女生跳繩，23個(gè)女生踢毽子。跳繩的有多少人？跳繩的和踢毽子的一共有多少人？教學(xué)中，筆者從問題情境中的數(shù)量關(guān)系出發(fā)，從問題情境中問題解決的方法出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生列出算式，28+17與17+28，（28+17）+23與28+（17+23），進(jìn)而形成加法交換律和結(jié)合律的數(shù)學(xué)猜想。通過舉例驗(yàn)證，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩道算式的得數(shù)相同。由此，學(xué)生從生活原型抽象、建構(gòu)出數(shù)學(xué)模型——“△+☆=☆+△”“（a+b）+c=a+（b+c）”等。

在生活化情境中，學(xué)生計(jì)算心智活動(dòng)技能的形成不是無源之水無本之木。當(dāng)學(xué)生在計(jì)算中遭遇挫折、障礙時(shí)，學(xué)生可以時(shí)時(shí)返回經(jīng)驗(yàn)的源頭，去找尋算理理解、計(jì)算順序理解的支撐。如對(duì)于這樣的計(jì)算題：135-99，有學(xué)生用“135-100+1”，有學(xué)生用“135-100-1”。于是部分學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用這樣的生活事理來闡釋：媽媽帶了135元買99元的生日蛋糕，遞給營業(yè)員100元，營業(yè)員找回1元，連同剩下的零頭35元，合起來是36元。在這里，生活經(jīng)驗(yàn)成為學(xué)生理解計(jì)算順序、算法的強(qiáng)而有力的武器。

二、建立心理圖像，在物質(zhì)化操作中建構(gòu)算法

蘇聯(lián)著名教育心理學(xué)家加里培寧認(rèn)為，學(xué)生計(jì)算的心智活動(dòng)技能是一個(gè)從外部的物質(zhì)活動(dòng)向內(nèi)部的心理活動(dòng)轉(zhuǎn)化的過程。所謂“物質(zhì)化活動(dòng)”，是指學(xué)生借助實(shí)物或?qū)嵨锏哪M物如小棒、圓片、模型等具有齊性的教具或者學(xué)具將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容表征出來，然后進(jìn)行觀察、操作、比較、想象、實(shí)踐等的活動(dòng)過程。在這個(gè)過程中，外在的物質(zhì)化活動(dòng)能夠逐步成為學(xué)生內(nèi)在的心理圖像，外在的計(jì)算知識(shí)能夠逐步內(nèi)化為學(xué)生的計(jì)算技能。

例如教學(xué)《9加4》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第1冊(cè)），這是學(xué)生在學(xué)習(xí)了20以內(nèi)的數(shù)之后組織的學(xué)習(xí)活動(dòng)。蘇教版數(shù)學(xué)教材以主題圖的形式呈現(xiàn)：盒子里有9個(gè)桃子，盒子外有4個(gè)桃子。一只猴子在思考：一共有多少個(gè)桃子？通過主題圖，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)屬于“合并”的數(shù)學(xué)問題，因此很快地列出算式：9+4。接著，有學(xué)生借助自然數(shù)的序數(shù)和基數(shù)意義進(jìn)行數(shù)數(shù)，從9往后數(shù)，得到了14。顯然這不是一個(gè)好的計(jì)算方法?；诖?，筆者在教學(xué)中運(yùn)用PPT課件，展示了盒子里的9個(gè)桃子，盒子外的4個(gè)桃子。首先提出這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維：怎樣移動(dòng)桃子，就能讓我們一眼看出一共有幾個(gè)桃子？孩子們紛紛指出，可以將外面的一個(gè)桃子移到盒子里面。課件動(dòng)態(tài)展示了桃子的移動(dòng)過程，這種動(dòng)態(tài)的感知，為學(xué)生的物質(zhì)化操作奠定了基礎(chǔ)。接著，學(xué)生將手中的小棒分成兩部分：9根和4根，他們從4根里面拿出1根放到9根里面，湊成10根，也就是1捆。這種操作，豐富了學(xué)生的心理表象，形成了這樣的感悟：可以將4分成1和3，9和1合起來是10，10和3合起來是13，由此，學(xué)生形成“湊十法”的計(jì)算模型。這種算法的構(gòu)造對(duì)于學(xué)生今后的計(jì)算將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。不僅是“湊十法”，計(jì)算中的“湊整”思想方法也在這個(gè)過程中悄悄地萌芽。

物質(zhì)化的操作活動(dòng)讓學(xué)生獲得了動(dòng)覺經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生將逐步擺脫具體的物質(zhì)化操作，而在頭腦中多次重復(fù)這一過程。這是一個(gè)心理圖像得以建立的過程。筆者發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生在計(jì)算時(shí)從邊算邊說這樣的操作過程逐漸過渡到內(nèi)部言語，最后演變?yōu)橛?jì)算的心智技能。

三、豐富心理表征，在圖形化詮釋中建構(gòu)算法

“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”。學(xué)生在計(jì)算過程中，數(shù)與形相互結(jié)合，能夠豐富學(xué)生的心理表征。將抽象的數(shù)的計(jì)算與形象、直觀的圖形進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，是讓學(xué)生領(lǐng)悟算理、明確算法的有效路徑。在計(jì)算中，算理是說明算法的依據(jù)、道理，因而是建構(gòu)算法的基礎(chǔ)。而算法則是算理的簡約化、抽象化的概括，是對(duì)算理的抽象和提升。如果說，算理是計(jì)算的道理、原理的話，那么算法則是計(jì)算的模型、操作程序。算理回答的是“為什么”的問題，算法回答的是“怎么做”的問題。算理和算法相輔相成、相互促進(jìn)。學(xué)生計(jì)算心智技能發(fā)展的最高境界就是“理法通融”，即既理解算理，又通透算法。

例如教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第10冊(cè)的《解決問題的策略——轉(zhuǎn)化》，對(duì)于 “1/2+1/4+1/8+1/16”這樣的計(jì)算，有教師在教學(xué)中針對(duì)本題的特征讓學(xué)生畫圖，學(xué)生先畫一個(gè)正方形表示單位“1”，然后在正方形上依次表示出1/2、1/4等。通過圖形直觀，學(xué)生直接解決問題。這里，從表面上看，盡管學(xué)生在解決問題的過程中也采用了數(shù)形結(jié)合，但學(xué)生的這種數(shù)形結(jié)合僅僅是一個(gè)特殊題目的解決策略而已。如何讓這種靜態(tài)的算法建構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生動(dòng)態(tài)的算理理解？筆者在教學(xué)中是這樣處理的：單位“1”可以用正方形來表示，1/2怎么表示？1/4呢？據(jù)此，學(xué)生首先將算式中的一個(gè)個(gè)分?jǐn)?shù)分別在一個(gè)圖形中進(jìn)行表示，并且洞察了這些分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，明晰了相應(yīng)的圖形操作。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生從圖形的整體入手，形成解決問題的策略，建構(gòu)出新穎、創(chuàng)新的算法。有了這樣一個(gè)心理表征的豐富過程，學(xué)生在計(jì)算諸如1/3+1/6+1/12+…+1/48，1/4+1/8+1/16+…+1/64等計(jì)算題時(shí)就能夠左右逢源、得心應(yīng)手、游刃有余。一系列的圖形表征、操作，讓學(xué)生形成了認(rèn)識(shí)上的飛躍，從中發(fā)現(xiàn)了計(jì)算的規(guī)律。

算法是算理的外衣。如果算理不清，那么算法就難以牢固。而如果算法不明，那么學(xué)生的計(jì)算技能就難以形成。教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生借助“圖形”，用“形”表“數(shù)”，以“形”馭數(shù)，學(xué)生透過算法的外衣能夠深度探尋到算理的內(nèi)在本質(zhì)。借助圖形化的心理表征，學(xué)生得以成功地建構(gòu)算法。

四、深化心理理解，在形式化表達(dá)中建構(gòu)算法

學(xué)生對(duì)計(jì)算算法的建構(gòu)過程是一個(gè)形式化、符號(hào)化的過程。無論是低年級(jí)的“湊十法”“破十法”“平十法”等計(jì)算模型的建構(gòu)，還是低中年級(jí)的筆算豎式形式寫法的確立，無論是中高年級(jí)計(jì)算順序的揭示還是中高年級(jí)簡便運(yùn)算律的使用，究其本質(zhì)，都是學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)、操作、圖形表征不斷積累、調(diào)整、利用、提升的形式化過程，是學(xué)生的一種積極主動(dòng)的建構(gòu)。在這個(gè)過程中，教師要深化學(xué)生對(duì)計(jì)算的心理理解，尤其要關(guān)注算理中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)的豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

例如教學(xué)《運(yùn)算律》，當(dāng)學(xué)生形成了加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律以及分配律形式化的符號(hào)表達(dá)后，筆者為了深化學(xué)生的心理理解，讓學(xué)生對(duì)著運(yùn)算律的符號(hào)表達(dá)式，闡述符號(hào)表達(dá)式所表示的意思。學(xué)生從文字到符號(hào)，又從符號(hào)到文字，對(duì)運(yùn)算律形式的心理理解更加深刻。在學(xué)生運(yùn)用這些符號(hào)表達(dá)式進(jìn)行簡便運(yùn)算后，筆者引導(dǎo)學(xué)生概括這些運(yùn)算律的特質(zhì)。有學(xué)生認(rèn)為，交換律的特點(diǎn)是數(shù)字順序變了，其他的如計(jì)算順序、計(jì)算方法、計(jì)算結(jié)果都不變；有學(xué)生認(rèn)為，結(jié)合律的特點(diǎn)是計(jì)算順序變了，其他的如數(shù)字順序、計(jì)算方法、計(jì)算結(jié)果都不變；有學(xué)生認(rèn)為，分配律的特點(diǎn)是計(jì)算方法變了，計(jì)算結(jié)果不變；有學(xué)生認(rèn)為，運(yùn)算律能讓計(jì)算變得簡便，但計(jì)算時(shí)思維過程復(fù)雜了；有學(xué)生認(rèn)為，運(yùn)用簡便運(yùn)算要注意計(jì)算結(jié)果不變，這一點(diǎn)我們可以用來判斷運(yùn)算律用得對(duì)還是錯(cuò)……在這種對(duì)形式化、符號(hào)化算法的多向交流、探討、表達(dá)中，學(xué)生對(duì)運(yùn)算律的心理理解更豐富、更深刻了。他們將整個(gè)運(yùn)算律的知識(shí)點(diǎn)連接起來，形成了一個(gè)系統(tǒng)的、有結(jié)構(gòu)的、有指導(dǎo)性價(jià)值的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。這種建立在對(duì)算法特質(zhì)深化理解基礎(chǔ)上的運(yùn)算律對(duì)學(xué)生的計(jì)算實(shí)踐更具科學(xué)的指導(dǎo)性。

對(duì)于計(jì)算算法中的形式化符號(hào)以及學(xué)生計(jì)算技能的形成，教師不能讓學(xué)生機(jī)械識(shí)記，也不應(yīng)對(duì)學(xué)生的計(jì)算技能進(jìn)行過度的強(qiáng)化訓(xùn)練，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在深度理解算理、掌握算法基礎(chǔ)上，對(duì)算法進(jìn)行多向度辨析，以此開發(fā)學(xué)生的計(jì)算思維，深化學(xué)生對(duì)算法形式化符號(hào)的理解。

計(jì)算教學(xué)不僅要關(guān)注學(xué)生計(jì)算的準(zhǔn)確度、理解度，還要關(guān)注學(xué)生計(jì)算的創(chuàng)新度。在計(jì)算教學(xué)中，教師通過激活學(xué)生的心理經(jīng)驗(yàn)、建立學(xué)生的心理圖像、豐富學(xué)生的心理表征等，不斷改善教學(xué)方式，讓學(xué)生在算理理解、算法建構(gòu)、技能形成以及思維開發(fā)等諸方面都能得到發(fā)展。扎實(shí)、有效地推進(jìn)計(jì)算教學(xué)，能夠讓學(xué)生的計(jì)算達(dá)到準(zhǔn)確化、智能化、快捷化的境界。