基于算術(shù)教學(xué)，滲透代數(shù)思維

王薇

摘 要：小學(xué)低年級數(shù)學(xué)教學(xué)要從數(shù)與計算的教學(xué)中創(chuàng)設(shè)機會，于算術(shù)教學(xué)中融入早期代數(shù)思想，幫助學(xué)生理解簡單的代數(shù)結(jié)構(gòu)和代數(shù)關(guān)系，增強學(xué)生算術(shù)學(xué)習(xí)能力的同時發(fā)展他們的代數(shù)思維。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；算數(shù)；代數(shù)思維

代數(shù)思維被認(rèn)為是數(shù)學(xué)的“核心思想”而具有較為重要的地位。長期以來，小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容在思維方式上更多地傾向于算術(shù)思維，導(dǎo)致不同學(xué)段間算術(shù)教學(xué)與代數(shù)教學(xué)出現(xiàn)了人為的斷裂狀態(tài)。美國著名數(shù)學(xué)教育家基爾帕特里克認(rèn)為：“代數(shù)不是延遲到掌握算術(shù)后，而是應(yīng)該從開始學(xué)習(xí)算術(shù)起就在課程中呈現(xiàn)?！被诂F(xiàn)狀，在實際教學(xué)中，我們可以從一年級開始的數(shù)與計算的教學(xué)中創(chuàng)設(shè)機會，于算術(shù)教學(xué)中融入早期代數(shù)思想，幫助學(xué)生理解簡單的代數(shù)結(jié)構(gòu)和代數(shù)關(guān)系，增強學(xué)生算術(shù)學(xué)習(xí)能力的同時發(fā)展他們的代數(shù)思維，緩解學(xué)生因小學(xué)階段代數(shù)思維的訓(xùn)練準(zhǔn)備不足而造成的中學(xué)代數(shù)學(xué)習(xí)所出現(xiàn)的困難和障礙，為以后的代數(shù)學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ)。

一、基于生活經(jīng)驗，理解等號的關(guān)系和性質(zhì)

卡彭特等人認(rèn)為：“由算術(shù)思維到代數(shù)思維的轉(zhuǎn)換標(biāo)志之一是從等號的程序觀念到等號的關(guān)系觀念的轉(zhuǎn)變。”學(xué)生初次接觸等號是與大于號、小于號同時學(xué)習(xí)的，用來比較兩個數(shù)的大小關(guān)系，即作為一種關(guān)系引入的，最初是認(rèn)識“等號的關(guān)系性質(zhì)”。但在后續(xù)的運算學(xué)習(xí)中，等號用來連接算式和得數(shù)，“等號的程序性質(zhì)”被關(guān)注，而關(guān)系性質(zhì)被忽視。因此，在學(xué)生理解了“等號的程序性質(zhì)”后，要選擇合適的契機，幫助學(xué)生深化對“等號的關(guān)系性質(zhì)”的理解。

如一年級教材中有這樣的練習(xí)：

5=□+□ 5=□+□ 5=□+□

可以讓學(xué)生借助直觀形象的方式建立等號的關(guān)系觀念：

右邊怎樣擺才能平衡？選擇合適的圖片擺一擺、填一填（圖1）。

可將上面的六個方框制作成磁性圖片，讓學(xué)生到黑板上擺一擺。學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)左邊是5個小球，要讓兩邊平衡，右邊也要擺上5個小球才行，于是便有了三種擺法：0和5；1和4；2和3。根據(jù)每種擺法寫出相應(yīng)的兩道算式：5=5+0，5=0+5，5=1+4，5=4+1，5=2+3，5=3+2。接著讓學(xué)生觀察并思考：這些算式和我們以前學(xué)習(xí)的算式有什么不同？學(xué)生發(fā)現(xiàn)以前學(xué)習(xí)的算式加號在等號的左邊，而這些算式加號在等號的右邊。啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想玩蹺蹺板的經(jīng)驗，等號兩邊加號和得數(shù)的位置不一樣，就像蹺蹺板上的兩個人，可以交換左邊和右邊的位置。交換后可以寫出以前的算式：5+0=5，0+5=5，1+4=5，4+1=5，2+3=5，3+2=5。最后讓學(xué)生觀察這兩組算式有什么相同的地方，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，即使調(diào)換位置，兩邊還是相等的，所以中間都用等號連接。

借助熟悉的蹺蹺板的平衡概念建構(gòu)相等關(guān)系，凸顯了“等號的關(guān)系性質(zhì)”，之后將抽象出的兩組算式進(jìn)行比較，將“等號的程序性質(zhì)”向“等號的關(guān)系性質(zhì)”進(jìn)行了轉(zhuǎn)換，加深了對“等號關(guān)系性質(zhì)”的理解。

二、遵循認(rèn)知特點，感知代數(shù)關(guān)系和結(jié)構(gòu)

代數(shù)思維的核心是由關(guān)系結(jié)構(gòu)描述的，其目的是發(fā)現(xiàn)（一般化）關(guān)系，明確結(jié)構(gòu)，并把它們連接起來。其中對代數(shù)關(guān)系和結(jié)構(gòu)的深度理解是運用代數(shù)思維解決問題的基礎(chǔ)。在“早期代數(shù)思維”培養(yǎng)階段，只要求學(xué)生對隱藏的代數(shù)關(guān)系和結(jié)構(gòu)有所感知、理解，能用自己的方式描述或表征，形成關(guān)系思維，并能應(yīng)用其解決問題?；诘湍昙墐和恼J(rèn)知特點，可通過直觀操作比較、多樣化算法滲透等途徑幫助孩子感知和認(rèn)識簡單的代數(shù)關(guān)系和結(jié)構(gòu)。

1. 直觀化操作，滲透關(guān)系結(jié)構(gòu)

教學(xué)“9加幾”時，讓學(xué)生用小棒擺一擺進(jìn)行計算，發(fā)現(xiàn)可以采用“湊十法”：9+4，把4分成1和3，9和1湊成10，所以9+4=13。在教學(xué)例題和適當(dāng)?shù)仂柟叹毩?xí)后，可以引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注關(guān)系與結(jié)構(gòu)：計算9加幾，都是先加上1湊成一個10，然后在后面加數(shù)中減去1，加的1與減去的1剛好抵消，結(jié)果不變，即（9+1）+（4-1）=9+4。在教學(xué)9+5，9+6等其他算式時進(jìn)一步強化，并讓學(xué)生進(jìn)行表達(dá)，凸顯隱含的代數(shù)關(guān)系和結(jié)構(gòu)是：（a+c）+（b-c）=a+b。早期代數(shù)思維的培養(yǎng)應(yīng)該成為小學(xué)階段計算教學(xué)的最終目標(biāo)與歸宿，而“湊整”只是其中的某些技巧與應(yīng)用。

教學(xué)“10的分與合”時，要求學(xué)生將10顆珠子有次序地涂一涂、分一分再填一填，發(fā)現(xiàn)10可以分成1和9、2和8、3和7、4和6、5和5。引導(dǎo)學(xué)生觀察比較：涂的數(shù)量增加幾顆，剩下的就減少幾顆，總個數(shù)才不變。雖然沒有用符號或字母表示同時增加和減少的“幾”，但學(xué)生在操作和比較中，加法算式的結(jié)構(gòu)及其中數(shù)與數(shù)的關(guān)系也比較明顯了。

2. 多樣化算法，發(fā)展結(jié)構(gòu)意識

一年級上冊有這樣的練習(xí)（圖2）：

題目中要解決的是“房子里還剩幾只鴿子”的問題，學(xué)生可能會根據(jù)部分與總體的關(guān)系，從對減法的理解想到：一共有10只鴿子，減去飛走的3只，等于房子里還剩的鴿子，10-3=7（只）；或一共10只鴿子，減去房子里還剩的鴿子，等于飛走的3只，10-（7）=3（只）；還可能從加法的意義想到：房子里還剩的鴿子加上飛走的3只，一共是10只鴿子，（7）+3=10（只）。這三種思路都是正確的，但后兩種思路則是方程思維方式的體現(xiàn)，看上去比第一種思路煩瑣，實質(zhì)上意義深遠(yuǎn)，不僅有助于學(xué)生對“一共”“飛走”“還?！比咧g數(shù)量關(guān)系的整體把握，加深對數(shù)量關(guān)系的理解，更能滲透用（ ）表示未知數(shù)并參與運算的意識。引導(dǎo)學(xué)生由程序性的算法10-3=7，逐漸向10-（ ）=3，（ ）+3=10這樣的關(guān)系性算法轉(zhuǎn)變，正是算術(shù)思維向代數(shù)思維的轉(zhuǎn)變。在低年級解決實際問題教學(xué)中，借助較直觀的圖文信息理解多樣化的算法，將算術(shù)與代數(shù)方法并舉，可以幫助學(xué)生深度理解數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)兩種思維方式之間的異同，從而掌握更一般的代數(shù)方法，逐步發(fā)展學(xué)生的代數(shù)結(jié)構(gòu)意識。

三、簡化語言描述，發(fā)展符號的表征能力

符號語言是代數(shù)中最重要的方面和特點。符號的理解與使用是進(jìn)入代數(shù)思維的第一步，而符號背后的代數(shù)思想是代數(shù)思維最為重要的部分。對于低年級兒童，教師可以有意識地引導(dǎo)學(xué)生將用自然語言描述的數(shù)或數(shù)量關(guān)系用符號表示。

如根據(jù)游泳池上面有3人，里面有5人，一共有8人這樣一幅圖，可寫出兩道加法算式和兩道減法算式（一圖四式）：3+5=8，5+3=8，8-5=3，8-3=5?？梢赃@樣滲透（課件演示）：如果用○表示泳池上面的人，用△表示泳池里的人，用□表示所有人，是否可以這樣表示：○+△=□，△+○=□，□-○=△，□-△=○。再讓學(xué)生思考：像這樣的等式還可以表示怎樣的四道算式？學(xué)生發(fā)現(xiàn)“一圖四式”都可以用這樣的等式表示。在這樣的認(rèn)知過程中，學(xué)生不僅體驗了符號化的過程，更滲透了○、△、□表示的是一個變量，突出了三者之間的關(guān)系。

結(jié)合“認(rèn)識乘法”，可進(jìn)行這樣的滲透：2+2+2+2=（ ）×（ ），3+3+3+3+3=（ ）×（ ），5+5=（ ）×（ ），△+△+△=（ ）×（ ），通過用△表示相同的加數(shù)，并進(jìn)一步思考△可以表示哪些數(shù)，形成乘法意義的一般化認(rèn)識，滲透△表示的是一個變量。

在學(xué)習(xí)了加法算式及其驗算后，引導(dǎo)學(xué)生將“交換兩個加數(shù)的位置，和不變”的自然語言描述用符號語言予以簡化，比如可用△和○分別表示兩個相加的數(shù)，寫成“△+○=○+△”，體現(xiàn)了符號語言的概括性和一般化。在今后的使用和表達(dá)中淡化自然語言的描述，強化用符號化概括的規(guī)律，從而促進(jìn)兒童變量思維的萌發(fā)，感受符號化表達(dá)的優(yōu)勢。

早期代數(shù)視角下，算術(shù)教學(xué)必須“超越熟練掌握計算和流利的計算技巧，注意數(shù)學(xué)深層次的結(jié)構(gòu)”；在教學(xué)中，教師應(yīng)從低年級數(shù)與計算的教學(xué)開始，就根據(jù)學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知特點，有意識地采取相應(yīng)的策略滲透代數(shù)意識，發(fā)展學(xué)生的早期代數(shù)思維，同時讓“代數(shù)地思考”成為一種思維習(xí)慣。