“線性代數(shù)”課程的探索和創(chuàng)新

牛大田，袁學剛，張 友

(大連民族大學 理學院，遼寧 大連 116650)

瑞典數(shù)學家Lars Garding在其名著《Encounter with Mathematics》中說：“如果不熟悉線性代數(shù)的概念，要去學習自然科學，現(xiàn)在看來就和文盲差不多?！痹谧匀豢茖W、航空航天、工程技術(shù)和國民經(jīng)濟等眾多領域中，涉及到的問題要么是線性問題，要么是非線性問題。然而，多數(shù)非線性問題最終也要約化為線性問題，進而借助線性代數(shù)的知識和計算機技術(shù)進行數(shù)值求解?！熬€性代數(shù)”作為理、工、經(jīng)、管等專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎課程，學生對線性代數(shù)知識的掌握、理解程度和應用能力，直接決定了后續(xù)課程的學習，對畢業(yè)后從事的工作也將產(chǎn)生重要的影響[1]。本文從“線性代數(shù)”課程的教與學中存在的問題入手，對該課程的教材知識體系建設、教學方法和手段等方面進行了一些有益的探索和創(chuàng)新。

1 “線性代數(shù)”教與學中的問題

1.1 教學中遇到的問題

(1)教材的知識體系問題。目前，國內(nèi)的“線性代數(shù)”教材基本采用兩種知識體系：一是以矩陣為主線，一是以方程組為主線[2]。目前使用最廣泛的教材以矩陣為主線，多數(shù)教材的第一章“行列式”的內(nèi)容都是基于“逆序數(shù)”進行定義和證明的，使初入大學的學生摸不著頭緒，苦不堪言，從互聯(lián)網(wǎng)上可以看到大部分學生對該類知識體系的吐槽。因此，針對不同層次的學生，“線性代數(shù)”教材到底采用哪一種體系，各教學內(nèi)容之間的先后順序該如何安排，哪些內(nèi)容需要重點講解，哪些內(nèi)容可以一帶而過，這都是需要研究的問題。

(2)教學方法和手段問題?！熬€性代數(shù)”課程涉及到大量的計算、推導，教師的板書量很大。如果全用板書，教師在黑板上一直“寫寫寫”，不僅時間不夠用，缺少必要的講解，學生也提不起興趣?，F(xiàn)代化多媒體教學是對教學方法與手段的重要補充。但是，如果完全用多媒體教學，學生的思維根本跟不上教師的翻頁速度，解題的連貫性也很難銜接起來，學習效果必然很差。因此，多媒體教學資源該如何利用、多媒體與板書的比例該如何協(xié)調(diào)等，一直都是該課程教學過程中需要解決的問題[3]。

(3)理論和實際相結(jié)合問題?！熬€性代數(shù)”是一門實用性非常強的課程，經(jīng)濟、金融、計算機、工程領域等相關學科，都需要大量的線性代數(shù)知識[4]。但是，在目前的教材中，關于各知識點的應用涉及的很少，甚至根本不涉及。同時，大部分教師都是數(shù)學專業(yè)出身，自身所經(jīng)歷的學習過程就是重理論、輕應用，且自身科研的方向很少能涉及到線性代數(shù)知識的具體應用背景和應用方式，課堂上自然也講不出來。教材中不提應用，教師又講不出應用，學生每天都是推導、證明、計算，慢慢就會喪失學習該課程的興趣。因此，如何在講授理論知識的同時，恰當?shù)貪B透其具體應用，是十分重要的研究課題。

1.2 學習中遇到的問題

(1)思維方式的跨越問題。幾乎所有的高校都將“線性代數(shù)”課程安排在大學一年級開設。但是，大部分學生在學習“線性代數(shù)”時，還未完成從初等數(shù)學到高等數(shù)學的思維跨越，總是面臨著許多困難，如學習“線性代數(shù)”時要用矩陣、向量的視角來看待問題，但是學生在初高中時的思維習慣集中于數(shù)量之間的關系，因此一接觸到“線性代數(shù)”時，往往弄不清楚教材中的符號或量到底是數(shù)量、向量還是矩陣，學習效果很差，甚至放棄該課程的學習。

(2)各個知識點的銜接問題。與“高等數(shù)學”(或“微積分”)課程相比，“線性代數(shù)”的知識點相對較少，但是各知識點之間的聯(lián)系非常緊密，如矩陣為方陣時，方程組有唯一解、行列式不為零、列向量組線性無關、矩陣可逆、特征值全不為零，這些結(jié)論都是等價關系，但分布于不同的章節(jié)，學生往往看不到這些知識點之間的聯(lián)系。當然，線性代數(shù)知識是抽象化、公理化的表述，這一點自然也會造成學生學習時的困擾。

(3)學生的學習基礎問題。大多數(shù)高等院校都面臨同一個問題：招生生源分布于不同地區(qū)，教育資源和水平不均衡，學生的基礎參差不齊。尤為突出的是民族院校，要求少數(shù)民族學生占在校生的60%以上。這些學校的很多學生來自于民族地區(qū)，甚至有些學生高考時的試卷和答題方式都使用的是本民族語言，這也為“線性代數(shù)”課程的教學帶來了一些困難。

2 “線性代數(shù)”課程的探索和創(chuàng)新

2.1 教材創(chuàng)新

編寫適合學生學習的“線性代數(shù)”教材，可以有效地提高該課程的教學效果。在綜合國內(nèi)外“線性代數(shù)”教材內(nèi)容和體系的基礎上，結(jié)合普通高校學生的學習基礎，編寫了具有自身特色的“線性代數(shù)”教材(已由科學出版社出版)[5]，并被列入普通高等教育“十二五”規(guī)劃教材、大學數(shù)學漢英對照類規(guī)劃教材。

(1)知識構(gòu)架創(chuàng)新。線性代數(shù)的發(fā)展是從研究線性方程組的解開始，逐步發(fā)展和完善的。與傳統(tǒng)的“線性代數(shù)”教材知識體系不同，以線性方程組為主線，把行列式、矩陣、向量作為研究線性方程組的一種工具來學習，變抽象為具體，便于學生理解課程的基本概念和基本原理，使學生對線性代數(shù)有整體的把握。將初等變換作為貫穿全書的計算工具，強調(diào)初等變換是矩陣的同秩變換、向量組的同線性關系變換、方程組的同解變換，將線性代數(shù)各章節(jié)的知識點非常緊密地聯(lián)系在一起。這樣的體系結(jié)構(gòu)，符合線性代數(shù)的發(fā)展歷史，同時也可以逐步地、有意識地引導學生從數(shù)量思維到矩陣、向量思維的轉(zhuǎn)化。

(2)內(nèi)容設計創(chuàng)新。教材內(nèi)容設計上做到深入淺出，簡明實用，淡化理論證明，努力做到在定義或定理之前都給出簡單、具體的引例。此外，在章節(jié)和內(nèi)容的安排上也做了精心設計，在保證教學內(nèi)容以及學生考研需要的同時，對教材內(nèi)容進行了必要的刪減，對知識點的引入和聯(lián)系進行了重新編排，例如行列式一章，并沒有涉及逆序數(shù)這一概念，而是從二階行列式推廣到三階、n階行列式時，直接引入行列式按行、按列展開的計算公式，后續(xù)行列式的所有性質(zhì)，都通過展開公式進行推導，并對例題進行了分類，在提供例題解答的同時，重點強調(diào)各類型行列式的計算方法。此外，教材的每節(jié)都安排思考題，每章都配備習題和補充題。思考題便于加深學生對關鍵知識點的理解；習題難度中等，面向所有學生；補充題則是面向考研或?qū)€性代數(shù)有更高要求的學生設計的。通過這種安排，以滿足不同層次和需求的學生的需要。

(3)雙語改革創(chuàng)新。目前，不僅社會、經(jīng)濟等方面逐步進入國際化趨勢，科學與技術(shù)方面也面臨著國際化的需求。只有具有良好的外語基礎和專業(yè)基礎，才能夠及時追蹤和掌握國際學術(shù)發(fā)展動態(tài)。因此，雙語教學有其必要性和必然性。但是，在雙語教學過程中，并不是簡簡單單地采用英語授課或全英文教材這種傳統(tǒng)方式，沒有專業(yè)知識體系作為背景支撐，雙語教學步履維艱，學生的學習很難達到理想效果。與傳統(tǒng)雙語教材相比，首次采用漢英對照的方式編寫，內(nèi)容詳實，使學生在學習線性代數(shù)知識的同時，又能學習到專業(yè)詞匯、專業(yè)語句良好的基礎。

2.2 教學方式、方法、手段創(chuàng)新

(1)在教學中強調(diào)各知識點的應用背景?！熬€性代數(shù)”是一門實用性非常強的課程，精心準備了包括投入產(chǎn)出模型、種群模型、幾何變換等大量的例子，通過這些例子引入線性方程組、矩陣、行列式、特征值與特征向量等教學內(nèi)容，通過這種方式使學生掌握各知識點的應用背景，讓學生知道學習這些知識不僅僅是理論上的需要，而且確實在國民經(jīng)濟各領域都有應用，提高學生的學習積極性和主動性，提高學習效果。

(2)在教學中貫徹初等變換這一主線。初等變換是“線性代數(shù)”各章節(jié)計算相關內(nèi)容的主要方法。在授課時從行列式部分就開始引入初等變換的概念，并一直貫穿整個教學過程。通過初等變換這一主線，將行列式、線性方程組、矩陣、向量及向量組的關系、二次型、特征值與特征等教學內(nèi)容有機地結(jié)合起來。通過這一方式，便于學生掌握各知識點、各類題型的計算方法和技巧，在此基礎上進一步加深對理論知識的掌握和理解。

(3)在教學中堅持講思路講方法講思維方式。通過集體備課，細致分析各例題，在授課時并不是簡簡單單地將答案告訴學生，而是從問題出發(fā)，一步步地去分析針對已知條件該采用哪種方法，為什么采用這種方法，各解題步驟間的聯(lián)系和邏輯順序。通過這種方式，使學生在解決線性代數(shù)問題和其它學科領域的問題時，不是手足無措，而是能自己分析、判斷和使用合適的方法進行求解，提高學生的綜合能力。

(4)在教學中貫徹算法設計分析的思想。“線性代數(shù)”與數(shù)值計算領域密切相關[6]。將課程設置在大一下學期，此時學生已學習了C、VB等編程語言，具備了一定的編程基礎。授課時，在講解完一些計算題的計算步驟后，嘗試讓學生自己編程實現(xiàn)初等變換并進一步將矩陣化為要求的結(jié)構(gòu)形式，并通過讓學生數(shù)值求解不同規(guī)模的線性代數(shù)問題，觀察計算時間與問題規(guī)模之間的關系。通過這些嘗試，培養(yǎng)學生的數(shù)值算法設計和分析能力，使學生在掌握理論知識的同時，提高對算法方面的重視。

(5)在教學中貫徹雙語教學改革。大連民族大學一直鼓勵和推進各專業(yè)、各課程的語碼轉(zhuǎn)換式雙語教學模式改革。編寫了漢英對照式雙語教材，并通過板書和多媒體課件演示相結(jié)合的方式，與學生在專業(yè)知識以及雙語學習方面進行實時的互動交流。另外、學校層面也每年舉辦學生英語論文、英文翻譯等比賽，引導大多數(shù)同學參加，并評定等級，給予一定的物質(zhì)和榮譽獎勵。通過學校、老師、學生三方面的積極參與，提高學生的英漢互譯、英文閱讀和英文寫作能力。

3 結(jié) 語

針對教師教學和學生學習“線性代數(shù)”過程中存在著一些問題和困難，在該課程教學改革中做了一些有益的探索，在教材編寫和教學方法、方式、手段的改革方面進行了有自己特色的創(chuàng)新性的實踐，取得了較好的效果。當然，隨著時代的發(fā)展，課程建設的改革與創(chuàng)新還任重道遠，還會與時俱進，在教學過程中以提高教學質(zhì)量為前提，不斷進行改革創(chuàng)新。

[1] 韓冰,李潔,楊威,等.線性代數(shù)教學改革中的幾點探討[J].高等數(shù)學研究，2013,16(4):72-74.

[2]周玲.“線性代數(shù)”課程教學點滴談[J].大學數(shù)學,2005,21(4):30-32.

[3]孫艷.“線性代數(shù)”課程教學改革的實踐與思考[J].長春理工大學學報(社會科學版), 2007,20(1):42-43.

[4]王海俠,孫和軍,王青云.改進線性代數(shù)教學方法的幾點想法[J].高等數(shù)學研究，2010,13(6):13-15.

[5]牛大田,袁學剛,張友.線性代數(shù)(漢英雙語版)[M]. 北京：科學出版社,2017.

[6]陳懷琛.線性代數(shù)要與科學計算結(jié)成好伙伴[J].大學數(shù)學,2010,26(增刊1):28-34.