高中數(shù)學(xué)解答能力發(fā)展實(shí)踐路徑

馮春媛

（貴陽市第一中學(xué)，貴州　貴陽　550081）

一、核心素養(yǎng)視野的高中數(shù)學(xué)解答能力特性分析

如同高中各學(xué)科教育，高中數(shù)學(xué)也已經(jīng)進(jìn)入核心素養(yǎng)時(shí)代。“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本質(zhì),是描述一個(gè)人經(jīng)過數(shù)學(xué)教育后應(yīng)當(dāng)具有的數(shù)學(xué)特質(zhì),大體上可以歸納為:會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界?！睌?shù)學(xué)課堂發(fā)展學(xué)生的這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，需要引導(dǎo)學(xué)生形成有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略，發(fā)展學(xué)生的自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)能力，“學(xué)生獲取數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)依賴于經(jīng)驗(yàn)的積累,因此在教學(xué)設(shè)計(jì)中,要抓住數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、知道學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,創(chuàng)設(shè)合適的情境、提出合適的問題,啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考、鼓勵(lì)學(xué)生與他人交流,在掌握知識(shí)技能的同時(shí)理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)、形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！盵1]

眾所周知，發(fā)展學(xué)生“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，可以、更應(yīng)該在所有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中進(jìn)行。不過，分析數(shù)學(xué)教育實(shí)踐，我們發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)解答活動(dòng)，作為綜合性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，對(duì)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有綜合性作用。

高中學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展程度的評(píng)價(jià)，對(duì)于高中數(shù)學(xué)教育非常關(guān)鍵，“評(píng)價(jià)應(yīng)當(dāng)與教學(xué)融為一體、相輔相成,在考查知識(shí)技能的同時(shí)關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的達(dá)成,應(yīng)當(dāng)實(shí)現(xiàn)評(píng)價(jià)形式和命題形式的轉(zhuǎn)變?！盵2]在我國(guó)當(dāng)前的基礎(chǔ)教育體系中。學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)方式之一、也是非常重要的方式之一是高考。如對(duì)于數(shù)學(xué)能力中最為關(guān)鍵的能力之一的數(shù)學(xué)解答能力，《2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱的說明》在數(shù)學(xué)試卷結(jié)構(gòu)中就有明確規(guī)定，高考數(shù)學(xué)全卷包括必考部分和選考部分，其中解答題在必考部分中有5個(gè)解答題，選考部分包含選修系列4中的“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”“不等式選講”各一個(gè)解答題。學(xué)生從2題中任選1題作答。[3]考試說明中指出“解答題分?jǐn)?shù)大約占總分的45%”，解答題考查學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力和分析問題、解決問題的能力的導(dǎo)向，是對(duì)知識(shí)、方法、能力的綜合型考查，要求學(xué)生具有一定的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力，具有較好的區(qū)分層次和選拔功能。

基于以上分析可知，數(shù)學(xué)解答題對(duì)于發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)具有顯著的綜合作用。基于解答題綜合發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，對(duì)于學(xué)生而言，需要形成所需的學(xué)習(xí)策略，非?；A(chǔ)，也非常必要。

把握解答題所需的解答能力，需要從解答能力內(nèi)涵入手?；诟咧袑W(xué)生數(shù)學(xué)解答能力發(fā)展實(shí)踐分析，高中數(shù)學(xué)解答能力具有以下顯著特性。

1.高中數(shù)學(xué)解答題能力覆蓋內(nèi)容

基于數(shù)學(xué)課程、高考數(shù)學(xué)考試大綱、數(shù)學(xué)試題分析可知，高中數(shù)學(xué)解答能力內(nèi)容覆蓋以下六個(gè)領(lǐng)域：

2.高中數(shù)學(xué)解答能力構(gòu)成

分析高中數(shù)學(xué)解答題可知，高中數(shù)學(xué)解答能力有以下四項(xiàng)能力構(gòu)成：

能力構(gòu)成　能力描述概念能力很強(qiáng)　涉及到的數(shù)學(xué)概念（包括符號(hào)、術(shù)語）多達(dá)十幾個(gè)方法能力多樣　解答方法多樣，為不同層次、不同思維方式的學(xué)生提供了展示自己才能的廣闊空間運(yùn)算能力突出　對(duì)運(yùn)算求解能力有較高的要求，特別是含字母的運(yùn)算思考能力豐富　不僅包含了函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，還考查等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類與整合的思想等

3.高中數(shù)學(xué)不同內(nèi)容解答能力特點(diǎn)

分析數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、高考考試大綱、諸多具體高中數(shù)學(xué)解答試題等，我們發(fā)現(xiàn)，不同內(nèi)容的解答題的解答能力結(jié)構(gòu)特點(diǎn)如下：

六項(xiàng)不同內(nèi)容解答能力結(jié)構(gòu)特點(diǎn)三角函數(shù)及三角形（數(shù)列）　知識(shí)陳述，恒等變形概率統(tǒng)計(jì)　貼近生活，整理分析立體幾何　邏輯推理，內(nèi)涵豐富解析幾何　化形為數(shù)，突出運(yùn)算函數(shù)與導(dǎo)數(shù)　以導(dǎo)為導(dǎo)，綜合統(tǒng)攬坐標(biāo)系與參數(shù)方程　參普互化，直極共存

二、高中數(shù)學(xué)解答能力發(fā)展

許多學(xué)生往往在答題過程中因?yàn)楦鞣N不規(guī)范答題導(dǎo)致不能形成有效解答。怎樣解題才算規(guī)范？學(xué)生需要按照規(guī)范的解題程序和答題格式分步解答，準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔、有效、符合評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，實(shí)現(xiàn)答題步驟的最優(yōu)化。

1.解答能力陳述要求

高考考試說明中指出解答題要按照以下要求進(jìn)行陳述：文字說明，演算步驟，推證過程。關(guān)于文字說明可以總結(jié)為：言行一致、能說會(huì)道、字字珠璣、擲地有分。具體能力要求：

能力要求　示例一　說引入的字母、符號(hào)、式子代表的數(shù)學(xué)意義如：設(shè)等比數(shù)列的公比為；設(shè)直線的方程為；記事件發(fā)生的概率為……二　說理由、說依據(jù)如：由已知條件得：........由正弦定理可得：........由拋物線的定義可得：........聯(lián)立方程解得：........三　說解題過程中的成立條件、作圖說明如：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積取得最大值；以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB方向?yàn)檩S正半軸，....建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；連結(jié)AC交BD于O點(diǎn).......四　說結(jié)論，說結(jié)果如：直線PA與平面ABC所成角的正弦值為……綜上，函數(shù) f(x)在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1,3）上單調(diào)遞增；根據(jù)以上數(shù)據(jù)說明，應(yīng)該選擇A方案……

2.演算步驟能力要求

關(guān)于演算步驟要求，應(yīng)符合以下要求：合乎情理、過程清楚、步驟完整、結(jié)果正確、步步為贏。

序號(hào)　演算能力要求1演算的目標(biāo)要明確2演算的過程要符合算理3演算的方法要簡(jiǎn)潔4演算的步驟要清楚完整5演算的結(jié)果要準(zhǔn)確

3.證明過程能力要求

關(guān)于證明過程，要求具有以下能力：言之有理、落筆有據(jù)、由因索果、環(huán)環(huán)相扣、步步得分。

三、不同內(nèi)容解答能力內(nèi)涵與發(fā)展策略

高中數(shù)學(xué)教育具有較為突出的知識(shí)與能力板塊特性。對(duì)前述6項(xiàng)內(nèi)容，高中數(shù)學(xué)教育實(shí)踐形成對(duì)其能力內(nèi)涵的準(zhǔn)確分析，筆者結(jié)合自己的高中數(shù)學(xué)教育實(shí)踐，形成相應(yīng)的發(fā)展策略。

1.三角函數(shù)解答能力內(nèi)涵與發(fā)展策略

對(duì)三角函數(shù)的考查重點(diǎn)是對(duì)基礎(chǔ)概念、基本公式的理解和應(yīng)用以及運(yùn)算求解能力。

解三角形利用正弦定理或余弦定理解決邊角互化問題的解答能力發(fā)展策略主要為：（1）先統(tǒng)一化為角來運(yùn)算（三角函數(shù)性質(zhì)）；其次才考慮統(tǒng)一化為邊（不等式性質(zhì)）；（2）在一個(gè)等式中盡量減少角的個(gè)數(shù)（誘導(dǎo)公式應(yīng)用）。

其解決最值或范圍問題的發(fā)展策略為：（1）通常化為角的式子利用兩角和與差、二倍角等恒等變換利用三角函數(shù)的性質(zhì)解題（注意角的范圍如銳角三角形）；（2）化為邊的式子考慮用均值不等式解題，但是注意只有范圍的單向。

2.數(shù)學(xué)解答能力內(nèi)涵與發(fā)展策略

對(duì)數(shù)列的考查突出基礎(chǔ)性，重點(diǎn)考查對(duì)數(shù)列通性通法的理解與應(yīng)用，具有一定的綜合性，考查對(duì)知識(shí)和能力的有機(jī)結(jié)合。

數(shù)列解答能力發(fā)展策略為：（1）涉及到等差、等比數(shù)列中的基本量有關(guān)的求解，可利用題目條件列出基本量的方程求解或利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)來求解；（2）涉及求通項(xiàng)公式的題目，若含Sn有an與的等式，常常利用an=Sn-Sn-1（n≥2）化成遞推關(guān)系式，再觀察是否可構(gòu)造為等差或等比數(shù)列的形式，同時(shí)不要忘記驗(yàn)證首項(xiàng)是否滿足等式；（3）涉及數(shù)列的求和問題，常見的等差等比數(shù)列求和公式必須牢記（如前個(gè)正整數(shù)之和等）。其次掌握好如分組求和法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法等求和方法；（4）證明與數(shù)列有關(guān)的不等式問題時(shí)，注意數(shù)列的單調(diào)性、可適當(dāng)利用放縮法和作差比較法。

3.立體幾何解答能力內(nèi)涵與發(fā)展策略

立體幾何試題突出綜合性，綜合考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力。

立體幾何解答題內(nèi)容通常有：（1）空間線面關(guān)系的判定和推理證明（如線面，面面的平行，垂直的證明）。（2）空間中線面角或二面角的問題（理科）；幾何體的體積或有關(guān)距離的問題（文科）。

立體幾何解答能力發(fā)展策略為：（1）仔細(xì)審題，根據(jù)已知條件在圖形中標(biāo)出線段長(zhǎng)度、角度等信息。（2）證明線面平行最常見的方法是：找線線平行可先找面面平行，最終歸為找線與線的平行，其中找中位線、平行四邊形為常見方法。（3）證明垂直關(guān)系時(shí)一定要熟練的將線線、線面，面面之間的垂直判定以及性質(zhì)掌握好，尋找垂直關(guān)系時(shí)，等腰三角形的中線，勾股定理等是常見方法。證明時(shí)要做到：書寫步驟做到言之有理，落筆有據(jù)。理科數(shù)學(xué)在解決空間角問題時(shí)可用定義法或利用空間直角坐標(biāo)系劃歸為坐標(biāo)的運(yùn)算。定義法的解答步驟是“作、證、求”。

利用空間直角坐標(biāo)系解題能力發(fā)展策略為：（1）建系規(guī)則：盡量使各個(gè)點(diǎn)都落在坐標(biāo)軸上；（2）第一問是證明垂直問題時(shí)，可以直接第一問就建系；（3）注意所求的二面角是銳角還是鈍角；（4）求線面角的正弦值。文科數(shù)學(xué)中多面體的體積一是要確定形狀，二是找易求高的頂點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的底面。距離問題常常等體積法。

4.概率與統(tǒng)計(jì)解答能力內(nèi)涵與發(fā)展策略

概率與統(tǒng)計(jì)解答能力內(nèi)涵表現(xiàn)為，強(qiáng)調(diào)概率與統(tǒng)計(jì)圖表、數(shù)字特征相結(jié)合，古典概型與獨(dú)立性檢驗(yàn)、回歸方程相結(jié)合，古典概型與抽樣方法結(jié)合問題上命題，重點(diǎn)考查抽樣方法，頻率分布直方圖數(shù)字特征分析和回歸分析或獨(dú)立性檢驗(yàn)等內(nèi)容。

概率與統(tǒng)計(jì)解答能力發(fā)展策略：（1）回歸模型，抓住本質(zhì)。仔細(xì)審題，能夠恰當(dāng)?shù)鼗貧w到相應(yīng)的概率模型中去，是解答概率與統(tǒng)計(jì)及應(yīng)用問題的突破口。抓住問題的本質(zhì)，進(jìn)而設(shè)計(jì)相應(yīng)的解題策略。（2）熟悉相關(guān)的概率模型計(jì)算公式。古典概型，幾何概型、互斥、相互對(duì)立、獨(dú)立、二項(xiàng)分布、超幾何分布等。（3）抓住關(guān)鍵詞、關(guān)鍵信息。相互獨(dú)立，互不影響，已知概率等，則考慮獨(dú)立事件；概率相等，實(shí)驗(yàn)具有重復(fù)性，則考慮獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)（二項(xiàng)分布）；與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合的概率題：分層抽樣與獨(dú)立性檢驗(yàn)結(jié)合，系統(tǒng)抽樣與頻率分布直方圖相結(jié)合，有“頻率視為概率”則考二項(xiàng)分布，有“在（從）...選取...”則考古典概型或超幾何分布）。（4）掌握用回歸分析處理變量之間的相關(guān)關(guān)系以及獨(dú)立性檢驗(yàn)中統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值的計(jì)算公式。注意答題的規(guī)范性，只有算式，缺乏應(yīng)有的文字說明是不可取的。

5.解析幾何解答能力內(nèi)涵與發(fā)展策略

解析幾何強(qiáng)調(diào)綜合性，考查數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)與方程的思想、特殊與一般的思想等，突出推理論證能力和運(yùn)算求解能力。以中檔偏難題或以壓軸題形式出現(xiàn)。

解析幾何解答能力發(fā)展策略為：（1）熟練掌握?qǐng)A錐曲線的定義以及相關(guān)的幾何性質(zhì)如：焦點(diǎn)、離心率、通徑等；（2）研究直線與曲線的位置關(guān)系，要充分運(yùn)用一元二次方程根的判別式和韋達(dá)定理，運(yùn)用“設(shè)而不求”的思想方法，同時(shí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問題，使數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化，根據(jù)具體特征選擇相應(yīng)方法。

需發(fā)展的解答技能有：（1）直線方程可以正設(shè)和反設(shè)；（2）定值定點(diǎn)問題時(shí)可先特值探求；（3）最值、范圍問題：構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式，常用對(duì)勾函數(shù)，均值不等式、換元法、求導(dǎo)法等求解；（4）與圓有關(guān)問題考慮圖形的幾何特征；（5）拋物線切線問題常與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合；（6）弦長(zhǎng)公式的巧用（如拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)）。

6.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答能力內(nèi)涵與發(fā)展策略

對(duì)函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的考查側(cè)重理解和應(yīng)用，有一定的綜合性，并與數(shù)學(xué)思想方法緊密結(jié)合，對(duì)函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合、分類討論都深入的考查，體現(xiàn)能力立意的命題原則。涉及到具體內(nèi)容較多：函數(shù)的極值、最值；給定解析式求參數(shù)值；對(duì)參數(shù)討論解決單調(diào)性；給定條件求參數(shù)范圍；不等式恒成立或存在性問題；證明不等式；函數(shù)的零點(diǎn)，圖象交點(diǎn)等問題。

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答能力發(fā)展策略為：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后，一定把原函數(shù)的定義域?qū)懗?；?）求導(dǎo)之后需要思考的問題：判斷正負(fù)，以確定原函數(shù)的單調(diào)性，求根（猜根）；（3）二次求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，以便確定極值點(diǎn)的范圍；（4）當(dāng)導(dǎo)數(shù)含有參數(shù)時(shí)要考慮參數(shù)對(duì)導(dǎo)數(shù)正負(fù)的影響（5）不等式問題要有構(gòu)造函數(shù)的意識(shí)；（6）恒成立問題通常先考慮參數(shù)變量分離轉(zhuǎn)而解決最值問題，分類討論思想綜合應(yīng)用。

7.坐標(biāo)系與參數(shù)方程解答能力內(nèi)涵與發(fā)展策略

坐標(biāo)系與參數(shù)方程能力內(nèi)涵為參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，對(duì)直線與圓錐曲線的參數(shù)方程的應(yīng)用，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸的數(shù)學(xué)思想。

坐標(biāo)系與參數(shù)方程解答能力發(fā)展策略：（1）掌握極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程的互化；（2）熟悉常見直線和圓的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程；（3）注意直線參數(shù)方程的幾何意義的應(yīng)用；（4）適當(dāng)?shù)膽?yīng)用數(shù)形結(jié)合思想處理問題。

8.不等式解答能力內(nèi)涵與發(fā)展策略

不等式解答能力為含絕對(duì)值不等式的解法以及不等式的證法，解決含參數(shù)的絕對(duì)值不等式綜合問題。

不等式解答能力發(fā)展策略為：（1）含絕對(duì)值不等式的常見解法：零點(diǎn)分段法，數(shù)形結(jié)合法；（2）利用絕對(duì)值三角不等式定理求最值時(shí)要注意其中等號(hào)成立的條件；（3）不等式恒成立問題、存在性問題都可以轉(zhuǎn)化為最值問題解決；（4）證明不等式中條件與待證明的結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，考慮分析法、反證法；（5）柯西不等式使用的關(guān)鍵是出現(xiàn)其結(jié)構(gòu)形式，也要注意等號(hào)成立的條件。

高中數(shù)學(xué)解答能力是發(fā)展高中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)，發(fā)展學(xué)生解答能力必須強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力、加強(qiáng)數(shù)學(xué)規(guī)范表達(dá)能力、關(guān)注創(chuàng)新意識(shí)的考查。

參考文獻(xiàn):

[1]史寧中，林玉慈，陶劍，郭民.2017.關(guān)于高中數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].課程教材教法.2017/04/08-14.

[2]教育部考試中心.2017普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱說明[Z].北京：高等教育出版社.