概率論教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的探討

李立明　魏　君　孫旭陽(yáng)

（吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教學(xué)與研究中心，吉林 長(zhǎng)春　130012）

概率論是很多高等院校學(xué)生的一門重要的公共基礎(chǔ)課，它是研究大量隨機(jī)現(xiàn)象背后隱藏的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科，有別于其它研究確定性現(xiàn)象的學(xué)科。概率論的教學(xué)任務(wù)不僅是傳授概率論的知識(shí)、思想和方法，更重要的是將概率論的思維方式滲透到教學(xué)過(guò)程中，啟迪學(xué)生的智慧，挖掘?qū)W生的潛能，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力以及創(chuàng)新能力。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)際，對(duì)概率論教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維進(jìn)行了一些探討。

一、引導(dǎo)學(xué)生將隨機(jī)性思維和確定性思維有機(jī)結(jié)合

高中數(shù)學(xué)中對(duì)概率論就有了簡(jiǎn)單的介紹，但是只講述如何求概率，并沒(méi)有給出概率的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。而大學(xué)階段的概率論的基礎(chǔ)是微積分、線性代數(shù)，更加嚴(yán)謹(jǐn)抽象和晦澀難懂。從課程開(kāi)始就引導(dǎo)學(xué)生用新的思維方式——隨機(jī)性思維來(lái)思考、分析和解決問(wèn)題非常重要。

傳統(tǒng)的確定性思維認(rèn)為所有的問(wèn)題的答案都是獨(dú)一無(wú)二的，完全確定的，然而現(xiàn)實(shí)世界中的很多問(wèn)題都沒(méi)有程式化的確定答案，像“明天是否下雨”“股票是否上漲”等，根本原因在于生活中隨機(jī)現(xiàn)象的廣泛存在。因?yàn)殡S機(jī)現(xiàn)象是大量微小的隨機(jī)因素共同作用的結(jié)果，所以對(duì)于隨機(jī)現(xiàn)象，誰(shuí)都不可能完全準(zhǔn)確無(wú)誤的預(yù)測(cè)，就連確定性的數(shù)學(xué)模型也是忽略掉諸多次要因素才得以產(chǎn)生。

例如拋一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面，正反面的出現(xiàn)是隨機(jī)的，誰(shuí)也不能百分百地預(yù)測(cè)。但是如果將一枚硬幣重復(fù)地拋很多次，卻可以預(yù)言大約50%次數(shù)出現(xiàn)正面或反面。也就是說(shuō)，雖然隨機(jī)現(xiàn)象具有偶然性，但是大量隨機(jī)現(xiàn)象卻蘊(yùn)含著必然性。概率論最重要的極限定理之一“大數(shù)定律”的核心思想就是：大量隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果具有穩(wěn)定性。概率論就是要教學(xué)生用隨機(jī)的眼光，透過(guò)表像的偶然，尋求內(nèi)部的必然。

大千世界，隨機(jī)因素?zé)o處不在起作用。概率論與實(shí)際生活息息相關(guān)，在各行各業(yè)、各個(gè)領(lǐng)域中應(yīng)用也十分廣泛。在概率論的教學(xué)中，如果教師能在確定性思維基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生用隨機(jī)性思維來(lái)思考、分析和解決問(wèn)題，并能學(xué)以致用，解決生活中的概率問(wèn)題，不僅會(huì)提高學(xué)生的思維品質(zhì)，還能培養(yǎng)創(chuàng)新能力。

二、引導(dǎo)學(xué)生將辯證思維和概率論思維有機(jī)結(jié)合

概率論中包含著大量的辯證法思想，比如偶然中蘊(yùn)含必然，量變積累產(chǎn)生質(zhì)變、無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)換，等等。教師如果在教學(xué)中能合理滲透辯證法思想，引導(dǎo)學(xué)生將辯證思維和概率論思維有機(jī)結(jié)合，可以更好地幫助學(xué)生理解教學(xué)內(nèi)容，將概率論深刻的思想內(nèi)涵，內(nèi)化為自身的數(shù)學(xué)素質(zhì)，提高智力品質(zhì)，完善思維結(jié)構(gòu)。

1、量變到質(zhì)變的辯證思維

在概率論中，我們把概率很?。ń咏?）的事件稱為小概率事件。小概率事件在一次試驗(yàn)或少量的幾次試驗(yàn)中，雖然有可能出現(xiàn)，但是出現(xiàn)的可能性很小，可稱為“幾乎不可能”事件。但是在大量重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中，小概率事件的概率會(huì)變得接近于1，成為大概率事件。因?yàn)榇蟾怕适录霈F(xiàn)的可能性很大，可稱為“幾乎必然”事件。

例如：假設(shè)白菜種子中混有0.4%的油菜種子，從一大口袋這樣的種子中任取100?；?500粒，計(jì)算取出的種子中有油菜種子的概率。

解：以Ai表示所取出的第i粒種子為油菜種子（i=1,2，…，n），由題意可以認(rèn)為各個(gè)事件Ai（i=1,2，…，n）相互獨(dú)立，因此取出的n粒種子中有油菜種子的概率為

取出的100粒種子中有油菜種子的概率為

取出的1500粒種子中有油菜種子的概率為

從小概率0.004到大概率0.9976的轉(zhuǎn)變，或者說(shuō)從“幾乎不可能”事件到“幾乎必然”事件的轉(zhuǎn)變，不是一蹴而就的，是伴隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增加而逐漸產(chǎn)生的。試驗(yàn)次數(shù)越多，小概率事件出現(xiàn)的可能性越大。隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增加，小概率事件的概率經(jīng)過(guò)“量”的不斷積累，最終突破了一定的“度”，產(chǎn)生了“質(zhì)”的飛躍，變成大概率事件。

2、有限與無(wú)限的辯證思維

以幾何概型為例，它也稱無(wú)限等可能概型，特征是樣本空間的樣本點(diǎn)無(wú)限多，連續(xù)地充滿某個(gè)區(qū)間、平面區(qū)域或立體區(qū)域，且每個(gè)樣本點(diǎn)的出現(xiàn)都是等可能的。幾何概型中概率的計(jì)算，本來(lái)是對(duì)無(wú)限多的樣本點(diǎn)的運(yùn)算，但是可以通過(guò)改變計(jì)量方式，轉(zhuǎn)化成對(duì)有限的區(qū)間的長(zhǎng)度、有限的平面圖形的面積或有限的空間立體的體積的運(yùn)算。簡(jiǎn)單地說(shuō)，在一定條件下，無(wú)限可以轉(zhuǎn)化為有限。

例如：將長(zhǎng)為m的線段任意折成三段，求所得三段能構(gòu)成三角形的概率。

解：設(shè)所折三段長(zhǎng)分別為x、y及m-x-y，應(yīng)滿足

樣本空間的樣本點(diǎn)（x，y）構(gòu)成△OAB。

所折三段能構(gòu)成三角形，應(yīng)滿足

此事件的樣本點(diǎn)（x，y）構(gòu)成區(qū)域△CDE。從而所求概率為

反過(guò)來(lái)，有限也可以轉(zhuǎn)化為無(wú)限。以概率的定義為例，概率是度量事件發(fā)生可能性大小的數(shù)，這個(gè)數(shù)是事件本身所固有的，它是一個(gè)位于0和1之間的有限的數(shù)。由概率的統(tǒng)計(jì)定義和伯努利大數(shù)定律可知，這個(gè)數(shù)可以用無(wú)限增大試驗(yàn)次數(shù)的方法，利用頻率的穩(wěn)定值獲得。

三、引導(dǎo)學(xué)生將聚合性思維和發(fā)散性思維有機(jī)結(jié)合

聚合性思維也可以叫收斂性思維，是在一定范圍之內(nèi)有固定規(guī)則和確定方向的思維模式，強(qiáng)調(diào)的是對(duì)已有信息的理解和綜合使用。反之，發(fā)散性思維是沒(méi)有范圍、規(guī)則和方向的思維模式，海闊天空任憑想象，強(qiáng)調(diào)的是對(duì)新信息的聯(lián)想和綜合運(yùn)用。

在概率論的教學(xué)過(guò)程中，如果一味地強(qiáng)調(diào)聚合性思維，缺少對(duì)發(fā)散性思維的鼓勵(lì)，會(huì)僵化學(xué)生的思想，束縛學(xué)生的想象力，使學(xué)習(xí)過(guò)程變得教條和枯燥，易使學(xué)生失去學(xué)習(xí)概率的興趣和動(dòng)力。相反，教師如果能在聚合思維基礎(chǔ)上，恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生運(yùn)用發(fā)散性思維，鼓勵(lì)學(xué)生展開(kāi)想象的翅膀，鼓勵(lì)學(xué)生從多角度、多方面思考問(wèn)題，就會(huì)極大地調(diào)動(dòng)學(xué)生的熱情，積極主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)中。

聚合性思維和發(fā)散性思維的有機(jī)結(jié)合，使學(xué)生在學(xué)到數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，思維能力也得到了拓展，數(shù)學(xué)素質(zhì)有了進(jìn)一步提高。

解題教學(xué)是概率論教學(xué)中比較重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，概率論中的新的概念、方法等都需要通過(guò)解題訓(xùn)練得以鞏固。在概率的解題過(guò)程中，一題多解就是發(fā)散性思維的一個(gè)體現(xiàn)。

例如：有10個(gè)人隨機(jī)地繞著一個(gè)圓桌而坐，求張三、李四兩個(gè)人座位相鄰的概率。

解法1：按照?qǐng)A周排列的方法求解。10個(gè)人中的第一個(gè)人有10個(gè)座位可以選擇，第二個(gè)人有9個(gè)，第三個(gè)人有8個(gè)，照此類推共有10!種坐法?？梢宰⒁獾剑好恳环N坐法經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)都可以產(chǎn)生10種坐法。因?yàn)閳A桌排列不用考慮排頭，所以這10種坐法是重復(fù)的。去掉重復(fù)的坐法，10個(gè)人繞圓桌而坐共有9!種坐法。李四和張三座位相鄰看作占一個(gè)座位，兩人座位可以交換，故有2×8!種坐法。故所求概率為

解法1是常規(guī)解法，屬于聚合性思維。這種解法的訓(xùn)練，可以鞏固學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和熟練運(yùn)用。

解法2：不妨假設(shè)張三先坐下，那么張三有10種坐法，相應(yīng)于張三的每一種坐法，李四在剩下的9個(gè)座位中選擇一個(gè)，即李四有9種坐法，即基本事件總數(shù)為9，而李四和張三座位相鄰有2種坐法，故所求概率為

解法2去繁求簡(jiǎn)，假設(shè)一個(gè)人先坐下，著重關(guān)注另一個(gè)人的坐法，在縮小了的樣本空間中求解。這種解法簡(jiǎn)單獨(dú)特，標(biāo)新立異，從不同的角度思考問(wèn)題，拓寬了學(xué)生的思路，鍛煉了發(fā)散性思維。

四、引導(dǎo)學(xué)生將批判性思維和概率論思維有機(jī)結(jié)合

批判性思維，是指用質(zhì)疑、批判、否定的態(tài)度，大膽破除思維慣性的束縛，在思維的過(guò)程中不斷地作出評(píng)判。批判性思維表現(xiàn)為能獨(dú)立思考，不盲從，有個(gè)人獨(dú)到的見(jiàn)解和判斷。

批判性思維既是求異思維，也是創(chuàng)造性思維。

在概率論的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生將批判性思維和概率論思維有機(jī)結(jié)合，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)所研究對(duì)象的真實(shí)性、價(jià)值做出評(píng)判，這種評(píng)判當(dāng)然不是對(duì)已有知識(shí)的完全否定，而是對(duì)已有知識(shí)的揚(yáng)棄、發(fā)展和創(chuàng)新。

例如：某地罹患癌癥的人占0.005，罹患癌癥的人對(duì)一種醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.95，健康人對(duì)這種檢驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.04，在該地隨機(jī)抽查了一個(gè)人，檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性，問(wèn)此人罹患癌癥的概率有多大?

解：設(shè)C={抽查的人患有癌癥}，A={試驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性}，所求概率為 P(C|A)。根據(jù)貝葉斯公式由題意，P(C)=0.005，P（C）=0.995，P（A|C）=0.95，P（A|C）=0.04，帶入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算得P（C|A）=0.1066，即檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性的人罹患癌癥的概率為0.1066。

在講解這個(gè)概率問(wèn)題時(shí)，教師對(duì)運(yùn)算結(jié)果不要一帶而過(guò)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生大膽質(zhì)疑，對(duì)所研究結(jié)果的真實(shí)性、價(jià)值做出評(píng)判。比如檢出陽(yáng)性的人是否一定患有癌癥?這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥到底有無(wú)意義？如何進(jìn)一步提高試驗(yàn)的價(jià)值？等等。批判性思維不僅可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的熱情，提高學(xué)生主動(dòng)參與的意識(shí)，還能提高學(xué)生的識(shí)別、反駁和重建的能力，提高學(xué)生思考問(wèn)題的嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性。

總之，在概率論的教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，可以使學(xué)生更深刻地理解概率論的知識(shí)、思想和方法，還可以引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維去分析、解決實(shí)際生活中的問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和創(chuàng)新能力。數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)明確大學(xué)生素質(zhì)教育的目標(biāo)，根據(jù)概率論的學(xué)科特點(diǎn)，積極研究并實(shí)施數(shù)學(xué)思維教育，促進(jìn)大學(xué)生綜合素質(zhì)的全面發(fā)展。

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