李思：站在物理角度探秘?cái)?shù)學(xué)理論

本刊記者　汲曉奇

專(zhuān)家簡(jiǎn)介：李思，清華大學(xué)數(shù)學(xué)系教授、副主任，丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心教授。多年來(lái)在數(shù)學(xué)物理與幾何拓?fù)涞慕徊骖I(lǐng)域展開(kāi)研究工作。致力于發(fā)展與幾何密切相關(guān)的量子場(chǎng)論/弦理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，并應(yīng)用于幾何拓?fù)涞难芯恐小?/p>

在以往的研究中，李思獨(dú)立發(fā)展和建立了一套量子化的理論與方法，解決了領(lǐng)域中的重要問(wèn)題和猜想，并于2016年榮獲華人數(shù)學(xué)家晨興數(shù)學(xué)獎(jiǎng)金獎(jiǎng)。在回國(guó)的近3年中，李思在清華大學(xué)與丘成桐教授、宋偉教授等一起主辦了2016年弦理論大會(huì)和2015年弦理論與數(shù)學(xué)年會(huì)等相關(guān)領(lǐng)域最重要的年度學(xué)術(shù)會(huì)議，并協(xié)辦組織了2016年Thematic Program：Mathematics of Quantum Field Theory（韓國(guó)浦項(xiàng)），2015年Homological Methods in Quantum Field Theory（美國(guó)紐約）等大型國(guó)際學(xué)術(shù)會(huì)議。

時(shí)間倒回到2016年8月6日。這一天，第七屆華人數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京人民大會(huì)堂隆重開(kāi)幕。開(kāi)幕式上頒發(fā)了被譽(yù)為“華人菲爾茲獎(jiǎng)”的晨興數(shù)學(xué)獎(jiǎng)。清華大學(xué)數(shù)學(xué)系和丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心教授李思榮獲該屆晨興數(shù)學(xué)獎(jiǎng)金獎(jiǎng)。

數(shù)學(xué)物理屬于數(shù)學(xué)與物理學(xué)研究的交叉領(lǐng)域，在中國(guó)常常被認(rèn)為是一個(gè)既“冷門(mén)”而又“熱鬧”的研究領(lǐng)域，在這個(gè)領(lǐng)域，李思埋身已有十幾年的歲月。從一開(kāi)始不被人看好的研究選擇，到今天，躍為鏡像對(duì)稱(chēng)和弦理論研究領(lǐng)域中最頂尖的年輕數(shù)學(xué)家，李思說(shuō)，這個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)的獲得，帶給他的是滿滿的鼓勵(lì)和一往無(wú)前的自信?，F(xiàn)在，為進(jìn)一步開(kāi)拓中國(guó)數(shù)學(xué)物理研究領(lǐng)域，創(chuàng)立具有獨(dú)立特色的研究方向，李思和他的團(tuán)隊(duì)還在不斷奮進(jìn)。

選擇數(shù)學(xué)物理，始于內(nèi)心的呼喚

中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“中科大”）的少年班，是一個(gè)非同尋常的高等教育基地。這里既有12歲入科大，32歲成為哈佛大學(xué)歷史上最年輕的華人正教授，并榮獲科學(xué)突破獎(jiǎng)—物理學(xué)新視野獎(jiǎng)的尹希；15歲入科大，34歲晉升哈佛大學(xué)正教授，40歲當(dāng)選美國(guó)科學(xué)院院士的莊小威；也有12歲入科大，曾任微軟亞洲研究院院長(zhǎng)兼首席科學(xué)家、微軟全球副總裁，現(xiàn)任百度總裁的張亞勤……1999年，還在讀高一的15歲少年李思，走進(jìn)了中科大少年班的大門(mén)。

中科大實(shí)行的是將本科低年級(jí)基礎(chǔ)教育和高年級(jí)寬口徑專(zhuān)業(yè)教育相結(jié)合的先進(jìn)教學(xué)模式。李思說(shuō)，這種教學(xué)模式非常適合自己?！拔覀儽究魄皟赡暝跀?shù)學(xué)和物理兩個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科方面都有強(qiáng)化和系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，這種學(xué)習(xí)模式對(duì)我后來(lái)的研究工作是非常有幫助的。”剛?cè)氪髮W(xué)的李思一開(kāi)始只對(duì)物理特別感興趣，而對(duì)數(shù)學(xué)并不“感冒”，因此選擇了物理專(zhuān)業(yè)，并進(jìn)入相關(guān)的物理實(shí)驗(yàn)室學(xué)習(xí)。直到大三的時(shí)候，從美國(guó)普林斯頓大學(xué)畢業(yè)的胡森教授回到中科大數(shù)學(xué)系任教?！昂蠋熞陨鷦?dòng)、有趣的方式教授了幾何拓?fù)渑c現(xiàn)代物理學(xué)課程，并指引我們走進(jìn)神秘、充滿魅力的數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域。”在接觸和了解了數(shù)學(xué)中的指標(biāo)定理與物理學(xué)中的超對(duì)稱(chēng)量子力學(xué)之間的深刻聯(lián)系之后，李思對(duì)數(shù)學(xué)物理的興趣便一發(fā)不可收拾?！案蠋煂W(xué)習(xí)一段時(shí)間數(shù)學(xué)物理之后，發(fā)現(xiàn)這確實(shí)是我很感興趣的研究領(lǐng)域，它將數(shù)學(xué)和物理中眾多的結(jié)構(gòu)和方法美妙地結(jié)合在一起。在中科大碩士畢業(yè)后，我打算出國(guó)繼續(xù)在數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域深造。”李思說(shuō)道。

2006年，李思進(jìn)入哈佛大學(xué)攻讀博士學(xué)位。在讀博士期間，李思圍繞以物理的方法建構(gòu)數(shù)學(xué)理論來(lái)展開(kāi)研究，博士論文也以此為研究方向。在博士論文中，李思利用嚴(yán)格的量子場(chǎng)論方法研究復(fù)幾何空間上的量子規(guī)范場(chǎng)論，提出并建立了卡拉比—丘空間上復(fù)幾何量子化的數(shù)學(xué)理論。運(yùn)用此方法，李思在博士論文中建立了一類(lèi)拓?fù)溟]弦理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，在領(lǐng)域中首次實(shí)現(xiàn)了緊致卡拉比—丘空間上高虧格鏡像對(duì)稱(chēng)的實(shí)例?；谠诓┦空撐难芯恐凶龀龅闹卮筘暙I(xiàn)，李思于2013年獲得了新世界數(shù)學(xué)獎(jiǎng)博士論文金獎(jiǎng)。

現(xiàn)在回憶起博士論文研究時(shí)，李思坦言其過(guò)程中充滿了困難。“我覺(jué)得以量子場(chǎng)論方法構(gòu)建數(shù)學(xué)理論這個(gè)思想很重要，想做這個(gè)方面的研究。但是，當(dāng)時(shí)我完全不知道如何將我所了解的物理方法在數(shù)學(xué)上實(shí)現(xiàn)，一開(kāi)始也沒(méi)有任何特別好的思路。那個(gè)時(shí)候，我咨詢了很多行業(yè)專(zhuān)家關(guān)于該方向研究的可行性，他們都不建議我繼續(xù)做下去，而是建議繞過(guò)物理方法猜測(cè)數(shù)學(xué)結(jié)果。然而博士論文導(dǎo)師丘成桐教授對(duì)我的想法給予了很大支持。因此，我閱讀了大量的物理文獻(xiàn)，并逐漸形成一個(gè)初步的構(gòu)想，覺(jué)得自己研究的問(wèn)題實(shí)現(xiàn)的幾率很大。我就堅(jiān)持自己最初的想法做下去?！睉{著這股“執(zhí)拗”勁兒，李思一頭扎進(jìn)研究中，并最終取得了自己想要的結(jié)果。

2014年，李思辭去美國(guó)長(zhǎng)期教職回國(guó)進(jìn)入清華大學(xué)工作。選擇回國(guó)工作，源于一份中國(guó)傳統(tǒng)知識(shí)分子的家國(guó)情懷?！皵?shù)學(xué)物理的研究在國(guó)內(nèi)有一定的基礎(chǔ)，然而與國(guó)外最高水平的研究相比，還有一定的差距，尤其體現(xiàn)在思想和觀點(diǎn)上的發(fā)展。在國(guó)外很多朋友和我聊天時(shí)提到，希望等國(guó)內(nèi)研究環(huán)境變好了再回國(guó)發(fā)展。而我一直認(rèn)為，國(guó)內(nèi)的研究環(huán)境有其本身的特點(diǎn)，在一些方面與歐美相比固然有差距，但驅(qū)動(dòng)的主體是人。如果有一大批志同道合的年輕人都愿意回去做一些自己力所能及的事，那整個(gè)環(huán)境自然是越來(lái)越好?！背鲇跒閲?guó)家數(shù)學(xué)物理研究領(lǐng)域發(fā)展出力的迫切心情，李思加入了清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心。李思說(shuō)，丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心自2009年成立以來(lái)就以建成國(guó)內(nèi)外一流研究團(tuán)隊(duì)為目標(biāo)，運(yùn)行方式也借鑒國(guó)外頂尖科研機(jī)構(gòu)的模式。在李思看來(lái)，清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心聚集了一批志同道合的同事，近年來(lái)在數(shù)學(xué)物理方面從哈佛、麻省理工、普林斯頓、哥倫比亞等大學(xué)引進(jìn)了一大批活躍的青年教師，研究?jī)?nèi)容涵蓋與幾何拓?fù)?，超?duì)稱(chēng)規(guī)范場(chǎng)理論，弦理論和廣義相對(duì)論等相關(guān)的眾多數(shù)學(xué)物理和理論物理方向，已經(jīng)形成了10人左右初具規(guī)模的年輕團(tuán)隊(duì)。大家一起努力，為的就是給中國(guó)的數(shù)學(xué)物理研究做一份貢獻(xiàn)。

科研，就是不斷地尋求與探索

一套數(shù)學(xué)方程通過(guò)條理清晰的內(nèi)在邏輯、自身的美妙以及廣泛應(yīng)用的潛力，似乎完全能夠反映真正的現(xiàn)實(shí)，揭示世間萬(wàn)物不為人知的真相。而描述物理現(xiàn)象所迫切需要的語(yǔ)言，往往孕育和促發(fā)了新的數(shù)學(xué)分支。幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)物理學(xué)的重大革命，往往都伴隨著數(shù)學(xué)研究的突破和發(fā)展：力學(xué)革命伴隨著微積分的發(fā)現(xiàn)；電磁革命促使了纖維叢理論；引力革命將黎曼幾何和廣義相對(duì)論完美結(jié)合；量子革命促進(jìn)了線性空間和偏微分方程理論的發(fā)展。

近幾十年來(lái)理論物理學(xué)家提出了利用弦而不是點(diǎn)的觀點(diǎn)來(lái)描述基本粒子，稱(chēng)為弦理論。基于量子場(chǎng)論和弦理論的發(fā)展，物理學(xué)家通過(guò)獨(dú)特的無(wú)窮維視角，提出了一系列驚人的數(shù)學(xué)預(yù)言，給出數(shù)學(xué)眾多領(lǐng)域包括拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)幾何、微分幾何、表示論、數(shù)論等方面匪夷所思的深刻聯(lián)系。數(shù)學(xué)家在一次次驗(yàn)證這些預(yù)言的同時(shí)，發(fā)現(xiàn)了眾多未知的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，但遠(yuǎn)遠(yuǎn)無(wú)法完整的描述物理學(xué)上信息爆炸似的發(fā)展?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)物理的研究，早已超出了傳統(tǒng)的偏微分?jǐn)?shù)理方程，泛函分析，算子代數(shù)以及統(tǒng)計(jì)模型等框架，其研究方法帶有很強(qiáng)的哲學(xué)性，給現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來(lái)了新的機(jī)遇和挑戰(zhàn)。

李思的研究工作正是處于這樣的背景之下，基于量子場(chǎng)論和弦理論方法來(lái)理解量子物理中新興的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，致力于發(fā)展與幾何密切相關(guān)的量子場(chǎng)論和弦理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，并將它運(yùn)用在幾何拓?fù)溲芯恐小?/p>

鏡像對(duì)稱(chēng)是弦理論帶給現(xiàn)代幾何拓?fù)涞囊粋€(gè)重要發(fā)現(xiàn)和發(fā)展源動(dòng)力，最早由共形場(chǎng)論中提出，其描述了完全不同的幾何結(jié)構(gòu)上（稱(chēng)為卡拉比—丘空間）具有相同的弦理論結(jié)構(gòu)。在數(shù)學(xué)上鏡像對(duì)稱(chēng)揭示了兩個(gè)不同領(lǐng)域即辛幾何和復(fù)幾何之間的對(duì)偶關(guān)系。1990年左右，物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)鏡像對(duì)稱(chēng)可以用來(lái)解決代數(shù)幾何中傳統(tǒng)的計(jì)數(shù)難題，極大激發(fā)了數(shù)學(xué)家對(duì)鏡像對(duì)稱(chēng)的興趣，并成為現(xiàn)代辛幾何與代數(shù)幾何發(fā)展的主要?jiǎng)恿头种?。?jīng)典的鏡像對(duì)稱(chēng)建立了辛幾何中的計(jì)數(shù)問(wèn)題與復(fù)幾何中的?？臻g理論之間的聯(lián)系，而量子的鏡像對(duì)稱(chēng)數(shù)學(xué)理論的構(gòu)造一直是該領(lǐng)域中的難題。李思在以往的研究中通過(guò)規(guī)范量子場(chǎng)論的方法，建立了卡拉比—丘空間上復(fù)幾何結(jié)構(gòu)的量子化的數(shù)學(xué)理論，提出了關(guān)于量子鏡像對(duì)稱(chēng)的一般性數(shù)學(xué)描述。該理論的建立正是基于量子場(chǎng)論的數(shù)學(xué)嚴(yán)格化的研究。

數(shù)學(xué)中通常把不光滑的幾何點(diǎn)稱(chēng)為奇點(diǎn)，其在物理上有著廣泛的應(yīng)用。鏡像對(duì)稱(chēng)最早是發(fā)展關(guān)于奇點(diǎn)的研究，在奇點(diǎn)方面有和卡拉比—丘空間平行的幾何結(jié)構(gòu)。在以往的研究中，量子奇點(diǎn)的鏡像對(duì)稱(chēng)只在很小一類(lèi)奇點(diǎn)，如簡(jiǎn)單性奇點(diǎn)與橢圓性奇點(diǎn)中得以實(shí)現(xiàn)，而對(duì)于大類(lèi)的一般性奇點(diǎn)缺乏必要的工具去了解。李思及其研究團(tuán)隊(duì)將其發(fā)展的卡拉比—丘空間的量子化方法發(fā)展到奇點(diǎn)理論的研究中，在數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域中首次對(duì)一般性奇點(diǎn)完整的證明了鏡像對(duì)稱(chēng)，并建立了與卡拉比—丘空間相平行的鏡像對(duì)稱(chēng)理論。

李思發(fā)展的量子化方法和奇點(diǎn)理論在2013年美國(guó)哥倫比亞大學(xué)，2014年日本東京大學(xué)、美國(guó)密西根大學(xué)，2016年德國(guó)Oberwolfach數(shù)學(xué)研究所，2017年美國(guó)Simons幾何物理中心舉辦的國(guó)際會(huì)議上被列為專(zhuān)題討論，李思為此作了系列講座。研究成果陸續(xù)發(fā)表在J.Eur.Math.Soc,J.Diff.Geom., Adv.Math, Nuclear.Phys等期刊上。另一方面，李思與其合作者把卡拉比—丘空間上的量子化方法推廣到開(kāi)弦，提出了Chern-Simons理論與復(fù)結(jié)構(gòu)的量子耦合機(jī)制。李思說(shuō)，開(kāi)閉弦的量子耦合理論為研究開(kāi)閉弦對(duì)偶以及導(dǎo)出范疇上的量子結(jié)構(gòu)提供了全新的數(shù)學(xué)方法，并由此可能發(fā)現(xiàn)了解物理中極為重要的AdS/CFT對(duì)偶所需要的數(shù)學(xué)描述。

“物理方法通常會(huì)告訴你一個(gè)結(jié)論，但是數(shù)學(xué)上對(duì)得出結(jié)論的物理過(guò)程往往不清楚。我所做的研究工作在很大程度上就是想弄明白得出結(jié)論背后的原因，并把其中的數(shù)學(xué)原理呈現(xiàn)出來(lái)。”這是李思在研究中希望解決的問(wèn)題，這些問(wèn)題也在他與團(tuán)隊(duì)的努力下不斷被攻克?！跋啾扔谄渌臄?shù)學(xué)研究，這個(gè)過(guò)程往往需要對(duì)物理學(xué)有較廣泛的了解，并結(jié)合數(shù)學(xué)和物理兩方面的哲學(xué)思考，而這恰恰是數(shù)學(xué)物理這個(gè)領(lǐng)域的魅力?！崩钏既缡钦f(shuō)。

李思

展望未來(lái)，只為走好腳下的路

大學(xué)時(shí)期的李思也經(jīng)歷過(guò)“迷茫期”。而很幸運(yùn)的是，在他迷茫、不知所措的時(shí)候，遇上了一位為他指點(diǎn)迷津的人生導(dǎo)師。導(dǎo)師為他指明了科學(xué)研究的方向，這對(duì)李思來(lái)說(shuō)是非常關(guān)鍵的一步?，F(xiàn)在，李思已為人師，他希望自己也如導(dǎo)師一樣在學(xué)生迷茫、方向不清之時(shí)提供幫助，為學(xué)生撥開(kāi)云霧。

在學(xué)生培養(yǎng)上，李思有自己獨(dú)特的見(jiàn)解。他會(huì)結(jié)合自己的經(jīng)歷，給學(xué)生介紹領(lǐng)域內(nèi)一些有趣的方向，在大的方向下幫助學(xué)生找到自己真正感興趣的東西。同時(shí)，李思對(duì)“走出去”非常重視。他認(rèn)為學(xué)生要多參加國(guó)內(nèi)外每年進(jìn)行的高水平的研討班和會(huì)議，只有這樣才能開(kāi)闊自己的眼界，豐富自己的專(zhuān)業(yè)知識(shí)。李思也非常贊成學(xué)生定期舉辦討論會(huì)，在討論會(huì)上相互分享自己感性興趣的東西。這樣才會(huì)慢慢形成一個(gè)研究思路，對(duì)科研工作的展開(kāi)有很大幫助。

“以人為本，注重個(gè)性化發(fā)展”“知識(shí)性與趣味性并存”“注重鑒賞力的培養(yǎng)”“培養(yǎng)誠(chéng)實(shí)性和對(duì)知識(shí)的敬畏”，這是李思在近10年的教學(xué)生涯中形成的教學(xué)理念與實(shí)踐。李思希望在自己的教導(dǎo)下，學(xué)生有更好的發(fā)展。

對(duì)未來(lái)如何展開(kāi)研究工作，李思也進(jìn)行了系列規(guī)劃。拓?fù)湎依碚摷捌鋵?duì)偶是主要研究對(duì)象之一，其與幾何拓?fù)湟约氨硎菊撚猩羁痰穆?lián)系。李思打算擴(kuò)展以往在拓?fù)湎遗c量子化理論研究中發(fā)展的同調(diào)方法，并應(yīng)用于與超對(duì)稱(chēng)規(guī)范場(chǎng)論相關(guān)的量子問(wèn)題。在奇點(diǎn)理論方面，李思希望通過(guò)鏡像對(duì)稱(chēng)揭示量子奇點(diǎn)與可積系統(tǒng)普遍聯(lián)系，并將其與現(xiàn)代的規(guī)范場(chǎng)理論及其對(duì)偶方法聯(lián)系起來(lái)。

另一方面，李思將致力于研究規(guī)范場(chǎng)/引力對(duì)偶，或稱(chēng)為AdS/CFT對(duì)偶。規(guī)范場(chǎng)／引力對(duì)偶是近代理論物理的重要方法，在弦理論，共形場(chǎng)理論，凝聚態(tài)理論以及量子引力等方面扮演了極為重要的角色。相比之下，我們對(duì)于這個(gè)美妙對(duì)偶的數(shù)學(xué)機(jī)制幾乎毫無(wú)了解。李思說(shuō)，他的主要研究思路是在拓?fù)湎业目蚣芟聛?lái)構(gòu)造超引力的拓?fù)漶詈蠙C(jī)制，將部分原始的規(guī)范場(chǎng)/引力部分與已知的拓?fù)湎业拈_(kāi)閉弦對(duì)偶聯(lián)系起來(lái)，并探索相應(yīng)可能出現(xiàn)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。此研究將為填補(bǔ)規(guī)范場(chǎng)/引力對(duì)偶缺乏數(shù)學(xué)描述的空白做出努力。

有人說(shuō)，科研是癡情者的事業(yè)。這句話用在李思身上再適合不過(guò)。在數(shù)學(xué)物理這條研究路上，他憑借熱情與癡情走出一條康莊大道來(lái)，現(xiàn)在，他還要為中國(guó)數(shù)學(xué)物理的研究開(kāi)辟出一片新天地而繼續(xù)努力。