無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中的線性移動目標(biāo)運(yùn)動參數(shù)捕獲方法*

吳曉平,華宇婷,胡軍國,2,王國英

(1.浙江農(nóng)林大學(xué)信息工程學(xué)院,浙江 臨安311300;2.浙江省林業(yè)智能監(jiān)測與信息技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗室,浙江 臨安 311300)

通過節(jié)點(diǎn)間的傳感信息交換與收集,實(shí)現(xiàn)對移動目標(biāo)位置的估計與預(yù)測,即移動目標(biāo)跟蹤是無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的重要應(yīng)用方向[1-2]。比如,在軍事環(huán)境下對特定目標(biāo)的跟蹤,動物生活習(xí)性的監(jiān)測以及交通應(yīng)用中的移動目標(biāo)跟蹤等都可以采用無線傳感器網(wǎng)絡(luò)來實(shí)現(xiàn)。通過無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中移動節(jié)點(diǎn)與它節(jié)點(diǎn)間的信號測量、采樣與數(shù)據(jù)收集,以確定移動節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動路徑與參數(shù),即移動目標(biāo)跟蹤亦具有重要的研究價值。在大量關(guān)于無線傳感器網(wǎng)絡(luò)移動目標(biāo)跟蹤的研究中,研究人員重點(diǎn)關(guān)注如何精確快速地獲取移動目標(biāo)位置與運(yùn)動參數(shù)[3-4]、如何實(shí)現(xiàn)高效地數(shù)據(jù)收集以及節(jié)省能量和通信開銷[5]。

移動目標(biāo)跟蹤的重要內(nèi)容就是估計移動目標(biāo)的當(dāng)前位置參數(shù)或預(yù)測將來的位置參數(shù)[6-7]。為獲取當(dāng)前位置參數(shù)即定位目標(biāo)位置坐標(biāo),通常需要測量節(jié)點(diǎn)間距離,再利用定位算法估算移動目標(biāo)的位置。常用的節(jié)點(diǎn)間距離測量方法包括到達(dá)時間(TOA)[8]、到達(dá)時間差(TDOA)、到達(dá)角度(AOA)[9]與信號接收強(qiáng)度(RSS)[10-11]等。根據(jù)建立的節(jié)點(diǎn)間距離約束方程,已有的定位算法包括極大似然(ML)估計法、最小二乘線性代數(shù)法[12-13]及凸優(yōu)化算法[14]等。ML估計法一般采用數(shù)值計算方法估計,但數(shù)值計算方法嚴(yán)重依賴于初始解,若初始解選擇不合適,有可能導(dǎo)致局部最優(yōu),為此提出了最小二乘線性代數(shù)法及凸優(yōu)化算法。最小二乘線性代數(shù)法將計算結(jié)果直接表示為代數(shù)解,計算過程較快。凸優(yōu)化算法中常見的主要為半正定規(guī)劃(SDP)算法,SDP算法將非凸優(yōu)化模型松弛為凸優(yōu)化模型,具有較多的變量和等式約束,計算復(fù)雜度較高,但算法穩(wěn)定性較好。

移動目標(biāo)的位置估計對于事件監(jiān)測、輔助定位及覆蓋控制等都具有重要意義,也是移動無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的重要內(nèi)容[15]。常用的移動目標(biāo)位置估計方法包括卡爾曼(KF)濾波[16]、擴(kuò)展卡爾曼(EKF)濾波以及粒子(PF)濾波[17]等。當(dāng)觀測方程存在高斯噪聲時,KF濾波通過不斷的預(yù)測與校正更新估計值,以提高移動目標(biāo)的跟蹤精度,但KF濾波只適用于線性運(yùn)動與觀測方程。為將預(yù)測模型應(yīng)用于非線性方程,EKF濾波對非線性方程進(jìn)行線性化,傳統(tǒng)的KF濾波應(yīng)用范圍進(jìn)一步擴(kuò)大。但KF濾波及EKF濾波只能用于高斯噪聲的處理,為此提出了PF濾波,通過不斷地重采樣方法實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)位置的預(yù)測與更新。

采用節(jié)點(diǎn)間的TOA測量方法,本文介紹了一種無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中移動目標(biāo)的運(yùn)動參數(shù)捕獲方法。假設(shè)移動目標(biāo)的線性移動模型,通過移動節(jié)點(diǎn)與信標(biāo)節(jié)點(diǎn)間的TOA測量,建立了移動目標(biāo)運(yùn)動參數(shù)的優(yōu)化估計模型。根據(jù)建立的運(yùn)動參數(shù)優(yōu)化估計模型,推導(dǎo)了線性移動目標(biāo)初始位置及移動速度的非約束線性最小二乘(ULLS)和約束線性最小二乘(CLLS)方法。將估計模型松弛為凸優(yōu)化的SDP問題,提出了運(yùn)動參數(shù)捕獲的SDP算法。通過對算法的仿真實(shí)現(xiàn)與分析,進(jìn)行了各算法的性能比較,分析了采樣周期及采樣點(diǎn)數(shù)量對捕獲精度的影響。

本文第1部分首先線性移動目標(biāo)與信標(biāo)節(jié)點(diǎn)間測量的問題描述;第2部分推導(dǎo)了ULLS和CLLS的代數(shù)計算方法;第3部分提出了估計模型的SDP算法;第4部分問題模型的克拉美羅(CRLB)下界值;第5部分為仿真分析;最后部分為結(jié)論。

1 問題描述

假設(shè)在二維平面(三維空間的分析方法同二維平面)上分布著M個已知位置坐標(biāo)的信標(biāo)節(jié)點(diǎn),其坐標(biāo)位置分別為xi=[xiyi]T,(i=1,2,…,M)。同時在該區(qū)域上有一移動目標(biāo)節(jié)點(diǎn)從初始位置x0=[x0y0]T出發(fā),以速度ν=[νxνy]T恒定速度保持勻速直線移動,如圖1所示。

圖1 移動節(jié)點(diǎn)與信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的位置分布示意圖

移動節(jié)點(diǎn)從初始位置x0以恒速ν直線移動,同時以采樣周期T間隔測量與各信標(biāo)節(jié)點(diǎn)間的TOA到達(dá)時間,并將此表示為ti,n,有以下關(guān)系式

(1)

di,n=‖xi-x0-nTν‖

(2)

將式(2)代入式(1),可表示為

(3)

式中:n=0,1,2,…,N,i=1,2,…,M。令en=[1nT]T,可將式(3)進(jìn)一步表示為

(4)

(5)

所建立優(yōu)化方程(5)的目標(biāo)是精確地估計出移動節(jié)點(diǎn)的初始位置x0及移動速度ν。為求解上述未知向量,可以采用數(shù)值計算方法。但數(shù)值計算方法有可能陷入局部最優(yōu),本文下面分別介紹線性代數(shù)法及凸優(yōu)化算法的實(shí)現(xiàn)過程。

2 線性代數(shù)法

為獲取移動目標(biāo)的位置及運(yùn)動參數(shù),本節(jié)介紹將優(yōu)化方程(5)轉(zhuǎn)化為最小二乘估計問題,分別設(shè)計了非約束線性最小二乘法及約束線性最小二乘估計法。

2.1 非約束線性最小二乘法

線性代數(shù)法直接將估計值表示為代數(shù)形式解析解,計算過程較快。為得到優(yōu)化方程的代數(shù)解,先對式(3)進(jìn)行等效變換,重新表示為

‖xi-μTen‖=c(ti,n-εi,n)

(6)

對式(5)兩邊平方,考慮噪聲εi,n的較小波動范圍,忽略二次高階項,可以得到

(7)

式中:n=0,1,2,…,N,i=1,2,…,M。由于en=[1nT]T,將μ=[x0ν]T代入式(7),可重新表示為

(8)

Aη=b+α

(9)

根據(jù)線性最小二乘平方原理,未知向量η的估計值為

(10)

式中:維度為M(N+1)×M(N+1)的權(quán)重矩陣Σα=E(αTα),其值表示為

(11)

假設(shè)未知向量η的估計誤差為Δη,其值表示為

(12)

將估計誤差Δη的方差表示為cov(Δη),有

(13)

2.2 約束線性最小二乘法

(14)

式中:η(k)、Δη(k)表示了向量η、Δη的第k個元素,k=1,2,…,6?？蓪⑹?14)表示為線性矩陣形式

Gu=h+γ

(15)

(16)

同樣利用線性最小二乘平方原理,向量u的無偏估計表示為

(17)

式中:維度為6×6的權(quán)重矩陣Σγ值為

(18)

(19)

將以式(19)表示的計算過程考慮了向量η中元素間的相互約束關(guān)系,得到了更為精確的估計結(jié)果,將此計算方法稱為移動節(jié)點(diǎn)參數(shù)捕獲問題的約束線性最小二乘(CLLS)方法。

3 凸優(yōu)化SDP算法

SDP算法將建立的式(5)所描述的非凸優(yōu)化模型松弛為凸優(yōu)化問題。將式(1)重新整理,公式兩邊平方,忽略二次高階項,有關(guān)系式

(20)

結(jié)合式(20)及式(2),亦可將優(yōu)化問題表示為如下形式

(21)

為將式(21)松弛為凸優(yōu)化形式,定義未知矩陣Z,表示為

(22)

式中:Y=[x0ν]。不難發(fā)現(xiàn)有如下關(guān)系式

(23)

進(jìn)一步松弛Z為半正定矩陣,即Z≥04,再對式(21)作進(jìn)一步等效變換為以下凸優(yōu)化問題

(24)

根據(jù)矩陣Z的定義,可從Z抽取出移動節(jié)點(diǎn)的初始位置x0及移動速度ν估計值。

4 克拉美羅下界值

克拉美羅下界值(CRLB)為模型待估參數(shù)的無偏估計提供了誤差方差的下界?？紤]問題模型中的待估計向量μ=[x0ν]T,根據(jù)克拉美羅下界理論,有關(guān)系式cov(μ)≥F-1,這里cov(μ)表示了未知向量μ的估計誤差方差,F為待估計向量μ的FIM(Fisher Information Matrix)的表示,可表示為

(25)

式中:P(p|x)為概率密度函數(shù),可以表示為

(26)

lnP(p|μ)=λ-ρTΣ-1ρ

(27)

將式(27)代入式(25)展開,矩陣F可表示為

(28)

(29)

對式(29)進(jìn)一步求解展開,得到如下關(guān)系式,

(30)

則根據(jù)CRLB無偏估計下界理論有

(31)

式中:[F-1]r,r表示F的逆矩陣的第r行、第r列元素值,r=1,2,3,4;CRLB(x0)、CRLB(ν)分別表示了初始位置x0及移動速度ν的CRLB無偏估計下界值。

5 仿真分析

采用線性移動目標(biāo)與信標(biāo)節(jié)點(diǎn)間的TOA測量方法,本文提出了線性移動目標(biāo)的初始位置坐標(biāo)及移動速度估計模型,并設(shè)計了模型的ULLS、CLLS及SDP計算方法。為驗證與比較各算法的計算性能,采用MATLAB 軟件進(jìn)行了算法的仿真實(shí)現(xiàn)。在100 m×100 m的方形區(qū)域內(nèi)設(shè)置4個信標(biāo)節(jié)點(diǎn)位置坐標(biāo)在(80,65),(90,10),(15,20),(10,55),并隨機(jī)生成10個移動節(jié)點(diǎn)的初始位置。同時將移動節(jié)點(diǎn)的x軸方向移動速度νx及y軸方向移動速度νy都預(yù)先設(shè)置為1 m/s,信號傳播速度c設(shè)置為3×108m/s,所有的時間測量噪聲εi,n的噪聲方差均設(shè)置為δ2。為衡量所設(shè)計算法的估計誤差,采用均方根誤差(RMSE)分析。對每種算法的RMSE估計誤差仿真運(yùn)行1 000次,采用1000次運(yùn)行結(jié)果的平均值分析。

5.1 時間測量噪聲對估計誤差的影響

設(shè)置采樣周期T為1 s,采樣點(diǎn)N等于20,同時調(diào)整時間測量噪聲δ從1 ns到10 ns之間變化,圖2繪出了不同算法的RMSE估計誤差隨時間測量噪聲變化關(guān)系。圖2(a)中,CWLS方法曲線的為文獻(xiàn)[13]所提出的靜止節(jié)點(diǎn)(即采樣點(diǎn)數(shù)量N等于零時)位置估計誤差。由圖2(a)可見,當(dāng)時間測量噪聲δ為10 ns時,ULLS、CLLS、SDP及CWLS算法的初始位置RMSE估計誤差分別為1.92 m、1.58 m、1.70 m及3.32 m,本文所提出的3種算法的估計誤差都遠(yuǎn)小于靜止節(jié)點(diǎn)的CWLS方法。對比本文提出的3種算法,ULLS算法的初始位置估計誤差最大,凸優(yōu)化SDP算法其次,CLLS算法的位置估計誤差最小。顯然,隨著時間測量噪聲δ的增大,3種算法的初始位置RMSE估計誤差也隨之增大。比如,當(dāng)時間測量噪聲δ設(shè)置在1 ns時,ULLS算法的RMSE位置估計誤差為0.19 m;而當(dāng)時間測量噪聲δ增加到10 ns時,ULLS算法的RMSE位置估計誤差也上升到了1.92 m。

圖2 時間測量噪聲對估計誤差的影響

移動節(jié)點(diǎn)的移動速度與初始位置坐標(biāo)同時被估計,圖2(b)繪出了本文提出3種不同算法的RMSE速度估計誤差隨時間測量噪聲的變化關(guān)系。同圖2(a)一樣的結(jié)果發(fā)現(xiàn),ULLS、CLLS及SDP 3種算法的估計誤差隨時間測量噪聲的增加而增大。當(dāng)時間測量噪聲δ設(shè)置在1 ns時,ULLS算法的RMSE速度估計誤差為0.017 m/s;而當(dāng)時間測量噪聲δ增加到10 ns時,ULLS算法的RMSE速度估計誤差也增大到了0.167 m/s,估計誤差近似與時間測量噪聲成線性增加關(guān)系。相比于圖2(a),ULLS、CLLS及SDP 3種算法的估計誤差性能排列順序沒有變化,ULLS算法的RMSE速度估計誤差最大,SDP算法其次,CLLS算法的RMSE速度估計誤差最小。與圖2(a)的分析結(jié)果不同之處在于CLLS算法的速度估計誤差稍有所增大,更偏離于CRLB下界值。

5.2 采樣周期對估計誤差的影響

在實(shí)際系統(tǒng)應(yīng)用中,采樣周期T可隨意設(shè)置,但采樣周期T大小直接涉及到誤差性能。保持時間測量噪聲δ等于10 ns及采樣點(diǎn)數(shù)量N等于20,仿真測試了不同采樣周期T大小對估計誤差的影響。當(dāng)采樣周期T從0.5 s增加到5 s時,圖3(a)繪出了ULLS、CLLS及SDP 3種不同算法的初始位置RMSE估計誤差隨采樣周期T的變化關(guān)系。由圖3(a)可見,3種算法的位置RMSE誤差隨采樣周期T的增加而稍有增大。當(dāng)采樣周期T等于0.5 s時,CLLS算法的RMSE位置估計誤差為1.57 m;當(dāng)采樣周期T增加到5 s時,CLLS算法的RMSE位置估計誤差也增加到了1.78 m。

圖3 采樣周期對估計誤差的影響

采樣周期T越小,對速度估計的影響更大,圖3(b)繪出了ULLS、CLLS及SDP 3種算法的RMSE速度估計誤差隨采樣周期的變化關(guān)系。由圖3(b)可見,3種算法的速度誤差都隨著采樣周期T的增大而減少。比如,當(dāng)采樣周期T等于0.5 s時,CLLS算法的RMSE速度估計誤差為0.28 m/s;而當(dāng)采樣周期T達(dá)到5 s時,CLLS算法的RMSE速度估計誤差僅為0.037 m/s。并且由圖3(b)可以看出,RMSE速度估計誤差與采樣周期T有近似成反比關(guān)系,當(dāng)采樣周期T小于2 s時,RMSE速度估計誤差尤其大。在實(shí)際應(yīng)用中,增大采樣周期T有助于減少速度估計誤差,但同時將增加移動節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動距離,有可能導(dǎo)致運(yùn)動距離過大而無法實(shí)現(xiàn)與移動節(jié)點(diǎn)間的TOA測量。

圖4 采樣點(diǎn)數(shù)量對估計誤差的影響

5.3 采樣點(diǎn)數(shù)量對估計誤差的影響

隨著采樣點(diǎn)數(shù)量N的增加,所獲取的測量信息更加多,各種算法的估計精度將進(jìn)一步提高。保持采樣周期T為1 s,時間測量噪聲δ等于10 ns,仿真測試了不同采樣點(diǎn)數(shù)量N下的估計誤差性能,并將結(jié)果繪于圖4。當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)量N從11到20之間變化時,圖4(a)繪出了ULLS、CLLS及SDP 3種不同算法的RMSE位置估計誤差隨采樣點(diǎn)數(shù)量N的變化關(guān)系。不難看出,隨著采樣點(diǎn)數(shù)量N的增加,RMSE位置估計誤差有所減少。比如,當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)量N等于11時,CLLS算法的RMSE位置估計誤差為2.18 m;而當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)量N增加到20時,CLLS算法的RMSE位置估計誤差僅為1.59 m。同樣地,ULLS與SDP算法的RMSE位置估計誤差也隨采樣點(diǎn)數(shù)量N的增加而減少。比較3種不同算法的估計誤差性能,也可以發(fā)現(xiàn)采用約束CLLS算法的位置誤差RMSE值在3種算法中最小,更加接近于CRLB理論下界值。

同樣將采樣點(diǎn)數(shù)量N從11增加到20,圖4(b)繪出了ULLS、CLLS及SDP 3種不同算法的速度誤差RMSE隨采樣點(diǎn)數(shù)量N的變化關(guān)系。由圖4(b)亦可以看出,隨著采樣點(diǎn)數(shù)量N的增加,RMSE速度估計誤差卻隨之減少。當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)量N等于11時,ULLS、CLLS與SDP 3種算法的速度估計誤差分別為0.39 m/s、0.35 m/s、0.36 m/s;而當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)量N增加到20時,ULLS算法的速度估計誤差減少到了0.17 m/s,CLLS與SDP兩種算法的速度估計誤差都減少到了0.14 m/s。隨著采樣點(diǎn)數(shù)量N的增加,估計誤差減少,精度有所提高。但測量成本有所增加,并且采樣點(diǎn)數(shù)量的增加表明移動節(jié)點(diǎn)運(yùn)動距離加長,亦有可能超出節(jié)點(diǎn)間的TOA測量范圍。

圖5 信標(biāo)節(jié)點(diǎn)位置對估計誤差的影響

5.4 信標(biāo)位置對估計誤差的影響

信標(biāo)節(jié)點(diǎn)位置亦直接影響位置及速度估計誤差,如文獻(xiàn)[18-19]所提出的信標(biāo)節(jié)點(diǎn)位置對誤差的影響分析。當(dāng)采樣周期T設(shè)置為1 s,采樣點(diǎn)數(shù)量N等于20,時間測量噪聲δ從1 ns到10 ns之間變化時,仿真亦測試了兩種不同信標(biāo)節(jié)點(diǎn)位置對速度估計誤差的影響。當(dāng)4個信標(biāo)節(jié)點(diǎn)設(shè)置在(80,65),(90,10),(15,20),(10,55)稱為信標(biāo)位置1,將4個信標(biāo)節(jié)點(diǎn)均勻設(shè)置在(0,0),(0,100),(100,0),(100,100)稱為信標(biāo)位置2,圖5繪出了兩種不同信標(biāo)節(jié)點(diǎn)位置下CLLS、SDP算法與CRLB的估計誤差。由圖5(a)可以看出,當(dāng)信標(biāo)節(jié)點(diǎn)處于均勻位置2時,CLLS、SDP算法與CRLB的位置誤差都要小于位置1的RMSE誤差值。如當(dāng)δ為10 ns時,信標(biāo)節(jié)點(diǎn)處于非均勻位置1時,CLLS算法的位置誤差RMSE值為1.59 m;而當(dāng)信標(biāo)節(jié)點(diǎn)處于均勻分布位置2時,CLLS算法的初始位置誤差RMSE值卻降低到了1.41 m。

當(dāng)信標(biāo)節(jié)點(diǎn)分別處于位置1及位置2時,圖5(b)繪出了CLLS、SDP算法與CRLB的速度誤差RMSE與時間噪聲間的變化關(guān)系。由圖5(a)亦可以看出,當(dāng)信標(biāo)節(jié)點(diǎn)處于均勻位置2時,CLLS、SDP算法與CRLB的速度估計誤差RMSE值都要小于非均勻位置1的誤差估計值。比如當(dāng)δ為10 ns時,信標(biāo)節(jié)點(diǎn)處于非均勻位置1時,CLLS算法的速度誤差RMSE值為0.142 m/s;而當(dāng)信標(biāo)節(jié)點(diǎn)處于均勻分布位置2時,CLLS算法的速度誤差RMSE值降低到了0.119 m/s。

6 結(jié)論

采用移動節(jié)點(diǎn)與信標(biāo)節(jié)點(diǎn)間的TOA測量方法,本文提出了移動節(jié)點(diǎn)運(yùn)動參數(shù)的捕獲方法,并設(shè)計了包括初始位置坐標(biāo)及移動速度的ULLS、CLLS及SDP計算方法。ULLS算法估計誤差在所設(shè)計的3種算法中最大,CLLS算法由于采用了約束條件,估計誤差最小。凸優(yōu)化的SDP算法估計誤差介于ULLS、CLLS算法之間,但眾所周知,凸優(yōu)化SDP算法的計算復(fù)雜度遠(yuǎn)大于代數(shù)計算方法,但算法穩(wěn)定性較好。仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn),隨著采樣周期T的增加,位置估計誤差稍有增大,但速度估計誤差卻在減少。更多的采樣點(diǎn)數(shù)量N有利于增加測量信息量,可以減少估計誤差。在保持移動速度不變的情況下,增大采樣周期T及采樣點(diǎn)數(shù)量N意味著移動距離的延長,由于通信距離的限制有可能導(dǎo)致無法實(shí)現(xiàn)TOA測量。在實(shí)際應(yīng)用中,如何選擇采樣周期T及采樣點(diǎn)數(shù)量N直接關(guān)系到參數(shù)捕獲精度,本文提出的方法與參數(shù)影響關(guān)系對于實(shí)際應(yīng)用具有一定的指導(dǎo)意義。

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