正態(tài)分布的隨機變量獨立與不相關問題研究

劉 洋,陶庭婷

滁州學院數(shù)學與金融學院,安徽 滁州 239000

二維正態(tài)分布，也可以稱為二維高斯分布，在數(shù)學、物理以及工程領域都有非常廣泛的應用，在很多涉及到統(tǒng)計科學離散分布的領域都發(fā)揮著非常重大的影響力，例如在圖像處理中最為常見的應用即濾波器。經(jīng)常有人錯誤的認為：兩個正態(tài)隨機變量的不相關性與獨立性是一致的，并因此造成理論推導上的錯誤。所以，研究正態(tài)分布隨機變量的獨立與不相關問題就更加重要。

假設兩個隨機變量X和Y，二者相互獨立，則必然不相關，如果X和Y為不相關的關系，那么二者不一定相互獨立[1,2]。本文證明若兩個隨機變量服從正態(tài)分布，但是二者的聯(lián)合分布不一定服從正態(tài)分布。

假設隨機變量X和Y的聯(lián)合分布服從二維正態(tài)分布，則(X，Y）聯(lián)合概率密度可以表示為式（1）：

上式中，σ1、σ2、μ1、μ2、ρ均為常數(shù)，并且σ1＞0、σ2＞0，-1＜ρ＜1，滿足上式的函數(shù)即稱為(X，Y）服從二維正態(tài)分布，將(X，Y）記作是(X,Y)～(μ1,μ2,σ1,σ2,ρ)。按照二維正態(tài)分布函數(shù)的基本性質(zhì)，可以推導出二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布服從一維正態(tài)分布，邊緣分布可以分別表示為（2）和（3）。

1 問題

（一）假設隨機變量X和Y都服從正態(tài)分布，討論X和Y聯(lián)合概率分布是否服從二維的正態(tài)分布[3,4]？

按照二維正態(tài)分布隨機變量的基本性質(zhì)，假設兩個隨機變量X和Y，二者相互獨立，則必然不相關，若X和Y互相不相關，則不一定相互獨立。

（二）假設隨機變量X和Y都服從正態(tài)分布，且X和Y不相關，那么是否一定能夠得出X和Y相互獨立？

2 討論

實例1：

隨機變量X～N(0,1)，隨機變量Y的分布概率可以表示為：

隨機變量X和Y相互獨立，設隨機變量Z可以表示為Z=XY，求證：

問題1：Z～N(0,1);

問題2：證明聯(lián)合分布(X,Z)不服從二維正態(tài)分布;

問題3：X,Z之間不相關，但是X,Z并不是相互獨立。

證明過程：

問題1：假設FZ(Z)表示Z的分布函數(shù)，那么可以得出以下結(jié)論：

進而得出Z～N(0,1)的結(jié)論。

問題2：

根據(jù)上述結(jié)論P{X+Z=0}=1/2，因此X+Z為非連續(xù)型的隨機變量，故X+Z不服從一維正態(tài)分布。利用反證法證明(X,Z)不服從二維正態(tài)分布。若(X,Z)服從二維正態(tài)分布，那么通過（2）和（3）推理可知，隨機變量X,Z均服從一維正態(tài)分布，則可以得出X+Z必然是連續(xù)型隨機變量，則(X,Z)不服從二維正態(tài)分布。

問題3：根據(jù)假設條件，可知E(X)=0，E(Y)=0。同時已知X和Y相互獨立，則可以將X,Z的協(xié)方差表示為式（4）：

由此可知，X，Z不相關。

利用反證法證明X，Z不相互獨立：假設已經(jīng)X，Z相互獨立，那么Z～N(0,1)，X～N(0，1)，所以X，Z的聯(lián)合分布必然服從二維正態(tài)分布，與驗證的結(jié)論2相互矛盾，由此可證X，Z不相互獨立。

實例 2：假設隨機變量求證：

問題1：Y～N(0，1);

問題2：隨機變量(X,Y)并不服從二維正態(tài)分布；

問題3：X和Y不相關，但是X和Y為相互獨立關系。

證明過程：

問題1：第一步是求得Y的分布函數(shù)，然后根據(jù)取值范圍的不同分別討論。

如果y取值范圍是y＜a，P{Y≤y}=P{X≤y}=Φ(y)；

如果y取值范圍是則

如果y取值范圍是y＞a，則

綜上所述，存在x∈R，P{Y≤y}=Φ(y)成立，則Y～N(0,1)。

問題2：且不等于零。已知連續(xù)型隨機變量的單點概率為0，則可以得出Z=X-Y不是連續(xù)型，Z=X-Y不服從正態(tài)分布，那么可證(X,Y)不服從二維正態(tài)分布。

問題3：根據(jù)X和Y的分布情況，可知

則Cov(X,Y)=0，有此可知X和Y不相關。

根據(jù)反證法證明X和Y不相互獨立：假設X和Y相互獨立，那么X～N(0,1)，Y～N(0,1)，由此可以推導出(X,Y)的聯(lián)合概率分布一定服從正態(tài)分布。這一結(jié)論與上文中既定的結(jié)論相互矛盾，因此證明X和Y為非獨立關系。

3 結(jié)論

據(jù)對實例1和2的推導，可以得出以下結(jié)論：第一，兩個服從一維正態(tài)分布的隨機變量，其聯(lián)合概率分布并不一定服從正態(tài)分布；如果兩個一維正態(tài)分布隨機變量不相關，二者不一定相互獨立；如果兩個服從一維正態(tài)分布的隨機變量互不相關，那么二者的聯(lián)合概率分布不一定服從正態(tài)分布。

[1]康建梅,劉麗華.二維隨機變量正態(tài)分布的獨立性[J].內(nèi)蒙古師范大學學報：教育科學版,2003(16)：114-115

[2]茆詩松.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社,2011

[3]王蓉華,顧蓓青,徐曉嶺.概率論中的幾個典型反例的進一步研究[J].河南教育學院學報,2016(25)：1-5

[4]宋明娟,朱思宇.隨機變量變換分布的若干推論及應用[J].大學數(shù)學,2012(28)：96-97