基于R軟件的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用初探

沈新娣

（上海健康醫(yī)學(xué)院，上海201318）

高等數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、線(xiàn)性代數(shù)等數(shù)學(xué)類(lèi)課程是對(duì)醫(yī)學(xué)類(lèi)院校絕大多數(shù)專(zhuān)業(yè)開(kāi)設(shè)的基礎(chǔ)性必修課程，高等數(shù)學(xué)以函數(shù)作為主要研究對(duì)象，研究求最優(yōu)值、相對(duì)或絕對(duì)變化率、平面圖形面積等的方法，可用于解決實(shí)際生活、生產(chǎn)問(wèn)題。線(xiàn)性代數(shù)作為一種解決離散變量線(xiàn)性關(guān)系問(wèn)題的重要計(jì)算和分析工具，已在控制與決策、經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論和方法應(yīng)用于生物、醫(yī)學(xué)、金融以及管理等領(lǐng)域，可解決各種問(wèn)題，這些課程對(duì)學(xué)生思維素質(zhì)的培養(yǎng)和后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)起著重要的作用。對(duì)于非數(shù)學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)來(lái)說(shuō)，大學(xué)數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容抽象，理論講述枯燥乏味，理論與實(shí)踐分離，導(dǎo)致在學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的提高方面收效甚微。專(zhuān)業(yè)課程學(xué)時(shí)多，數(shù)學(xué)等文化基礎(chǔ)類(lèi)課程開(kāi)設(shè)門(mén)數(shù)和學(xué)時(shí)少，給教師的教學(xué)帶來(lái)了諸多不便。另外，數(shù)學(xué)教師缺乏對(duì)相關(guān)專(zhuān)業(yè)技術(shù)的了解，教學(xué)中缺乏生動(dòng)的案例，易使學(xué)生產(chǎn)生“學(xué)數(shù)學(xué)課無(wú)用”的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。

在大數(shù)據(jù)時(shí)代的背景下，隨著生命科學(xué)大數(shù)據(jù)的迅猛發(fā)展，客觀上要求學(xué)生具備一定理性思維與創(chuàng)新意識(shí)。大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容也應(yīng)該嘗試著逐漸從傳統(tǒng)的理論教學(xué)向?qū)嵺`和應(yīng)用過(guò)渡，我們希望學(xué)生具備理性的思維，讓數(shù)學(xué)成為學(xué)生學(xué)習(xí)和科研的工具，并且能利用這個(gè)工具分析和解決一些實(shí)際問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生不可估量的創(chuàng)新潛力[1]。所以，我們有必要重新審視數(shù)學(xué)課程，對(duì)其教學(xué)內(nèi)容和知識(shí)體系進(jìn)行優(yōu)化整合，改進(jìn)教學(xué)方法及教學(xué)手段，提高學(xué)生綜合素質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生終身發(fā)展。

1　數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的優(yōu)勢(shì)

目前計(jì)算機(jī)的應(yīng)用已經(jīng)非常普及，Matlab、Mathematica、Maple、SPSS和SAS等逐漸成為大學(xué)數(shù)學(xué)類(lèi)課程學(xué)習(xí)、教學(xué)和研究的有效工具。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就是在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的幫助下，利用常用數(shù)學(xué)軟件工具解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種教學(xué)手段，引導(dǎo)學(xué)生借助軟件理解抽象的數(shù)學(xué)理論，自主探索和研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用能力的提高，是將數(shù)學(xué)科學(xué)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)技術(shù)的主要途徑。它要求從問(wèn)題出發(fā)，強(qiáng)調(diào)以學(xué)生自己動(dòng)手、動(dòng)腦為主，在教師的指導(dǎo)下用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)的軟件來(lái)分析解決一些應(yīng)用問(wèn)題。其意義不僅僅在于使學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的在于學(xué)生的獨(dú)立參與，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、獨(dú)立思考問(wèn)題的能力。事實(shí)上，我們的學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的學(xué)習(xí)，大部分能較為熟練地使用數(shù)學(xué)軟件，還有的在大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽和全國(guó)數(shù)據(jù)挖掘挑戰(zhàn)賽中脫穎而出。

2　R軟件引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的優(yōu)勢(shì)

R軟件是套完整的數(shù)據(jù)處理、計(jì)算和制圖軟件系統(tǒng)，它是一套開(kāi)源的數(shù)據(jù)分析解決方案，由一個(gè)龐大而活躍的全球性社區(qū)維護(hù)。其功能包括：數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和處理系統(tǒng)；數(shù)組運(yùn)算工具（其向量、矩陣運(yùn)算方面功能尤其強(qiáng)大）；完整連貫的統(tǒng)計(jì)分析工具；優(yōu)秀的統(tǒng)計(jì)制圖功能；簡(jiǎn)便而強(qiáng)大的編程語(yǔ)言，可操縱數(shù)據(jù)的輸入和輸出，可實(shí)現(xiàn)分支、循環(huán)，用戶(hù)可自定義功能。除了R軟件之外，現(xiàn)在很多人使用Matlab、Mathematica、SPSS、SAS，但大都用的是盜版軟件。免費(fèi)是R軟件流行的一個(gè)主要因素。不過(guò)R軟件的最大優(yōu)點(diǎn)是出色的可視化圖形、豐富的統(tǒng)計(jì)及高效的更新速度[2]。其主要特點(diǎn)如下。

（1）R軟件的使用入門(mén)很容易，界面簡(jiǎn)潔易懂，有專(zhuān)門(mén)的論壇和資料能夠給予幫助，易于使用。R軟件采用命令行的方式，輸入和輸出結(jié)果，對(duì)計(jì)算機(jī)編程能力要求不高。在遇到困難的時(shí)候，自帶詳細(xì)的幫助文檔，網(wǎng)上也有很豐富的資料便于使用者查詢(xún)。非常適于作為學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的平臺(tái)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中自行發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題，提升能力。

（2）R軟件幾乎兼容全平臺(tái)，占用資源少，對(duì)電腦配置要求低。相比動(dòng)輒3G－4G的商業(yè)軟件，R軟件可謂非常節(jié)省，軟件安裝文件僅三十幾兆，甚至還可以在iPhone等移動(dòng)設(shè)備上安裝R程序，所以適于作為大范圍開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的平臺(tái)。

（3）R軟件包可以自由下載與加載，作為一個(gè)開(kāi)源軟件，R軟件具備豐富的擴(kuò)展包，可以自由加載其他開(kāi)發(fā)者提供的函數(shù)和數(shù)據(jù)包，直接利用可以節(jié)省很多重新編寫(xiě)算法的精力。而且擴(kuò)展包的更新也非?？?，更新速度以周來(lái)計(jì)算，涵蓋基礎(chǔ)統(tǒng)計(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理、金融、生態(tài)、生物信息等多個(gè)方面[3]，學(xué)生可以對(duì)一些科學(xué)前沿的新方法進(jìn)行學(xué)習(xí)和利用。

（4）R軟件具有高效的數(shù)據(jù)處理和保存機(jī)制，完整的數(shù)組和矩陣操作運(yùn)算符以及完整的數(shù)據(jù)分析工具，在數(shù)據(jù)處理和可視化方面的優(yōu)勢(shì)非常明顯，適合學(xué)生分析處理數(shù)據(jù)與建立模型，對(duì)學(xué)習(xí)和科研的幫助非常大。

3　R軟件用于大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一些案例

案例1：導(dǎo)數(shù)計(jì)算，比如要計(jì)算在x=1和x=2時(shí)的導(dǎo)數(shù)值。用R軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)這個(gè)運(yùn)算，程序如下：

dx＜－deriv（y～x^3，"x"）；dx#生成導(dǎo)數(shù)公式

x＜－1：2#給自變量x賦值

eval（dx）#運(yùn)行求導(dǎo)計(jì)算

[1]1 8#原函數(shù)的計(jì)算結(jié)果

attr（，"gradient"）#使用梯度下降法，計(jì)算導(dǎo)數(shù)的結(jié)果x

[1，]3

[2，]12

學(xué)生練習(xí)：計(jì)算正弦函數(shù)在x=pi和x=4pi時(shí)的導(dǎo)數(shù)值（pi=圓周率），程序：

dx＜－deriv（y～sin（x），"x"，func=TRUE）；dx#生成導(dǎo)數(shù)公式dx（c（pi，4*pi））

[1]1．224606e－16－4．898425e－16

attr（，"gradient"）

x

[1，]－1

[2，]1#計(jì)算結(jié)果

課后思考：如何用R軟件實(shí)現(xiàn)高階求導(dǎo)、偏導(dǎo)數(shù)等計(jì)算？

案例2：定積分的計(jì)算，例如計(jì)算y=x3在[0，10]上的定積分。用R軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)這個(gè)運(yùn)算，程序如下：

f1＜－function（x）x^3#定義函數(shù)

integrate（f1，0，10）#計(jì)算積分

2500 with absolute error＜2．8e－11#計(jì)算結(jié)果

案例3：繪制函數(shù)圖像，比如用R繪制函數(shù)y=x3－5x在[－4，4]上的圖像。

方法：可以使用curve（）函數(shù)繪制圖像，使用時(shí)需要向其傳遞一個(gè)關(guān)于變量x的表達(dá)式（見(jiàn)圖1）：

程序：curve（x^3－5*x，from=－4，to=4）

圖1　x3－5x在[－4，4]上的圖像

再如：繪制三維圖形，在R中一般用persp（）函數(shù)來(lái)繪制，

x＜－seq（－10，10，length=30）#x的范圍

y＜－x

f＜－function（x，y）{r＜－sqr（tx^2+y^2）；10*sin（r）/r}

#二元函數(shù)

z＜－oute（rx，y，f）

z[is．na（z）]＜－1

oP＜－pa（rbg="white"）

persp（x，y，z，theta=30，phi=30，expand=0．5，col="lightblue"）#參數(shù)設(shè)置

案例4：在線(xiàn)性代數(shù)中可以用R進(jìn)行矩陣的相關(guān)運(yùn)算：

matrix（c（1，2，3，4，5，6，7，8，9），nrow=3）#創(chuàng)建一個(gè)3行3列的矩陣

圖2　函數(shù)

[，1][，2][，3]

[1，]147

[2，]258

[3，]369

＞x＜－matrix（c（1，2，3，4，5，6，7，8，9），nrow=3）#使用+，－可以在矩陣之間進(jìn)行加法與減法運(yùn)算

＞x+x

[，1][，2][，3]

[1，]2814

[2，]41016

[3，]61218

＞x－x

[，1][，2][，3]

[1，]000

[2，]000

[3，]000

＞x%*%x#使用%*%運(yùn)算符可以求矩陣的乘積

[，1][，2][，3]

[1，]3066 102

[2，]3681 126

[3，]4296 150

＞t（x）#使用t（）函數(shù)，求矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣

[，1][，2][，3]

[1，]123

[2，]456

[3，]789

＞x＜－matrix（c（1，2，3，4），ncol=2）#solve（x）使用solve（）函數(shù)，可以求矩陣的逆矩陣

＞solve（x）

[，1][，2]

[1，]－2 1．5

[2，]1－0．5

案例5：在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中，利用R軟件做可視化的輔助教學(xué)，學(xué)生更容易理解教學(xué)內(nèi)容，提高教學(xué)效果。如在給學(xué)生講概率分布的時(shí)候，本文以二項(xiàng)分布為例，為了讓學(xué)生觀察二項(xiàng)概率的分布特征，教師用R軟件畫(huà)出n=5，P分別取0．1，0．2，0．3……0．9時(shí)候的二項(xiàng)分布Binomial（5，b）的圖。學(xué)生很容易可以看出，當(dāng)P=0．5時(shí)，概率分布對(duì)稱(chēng)的；當(dāng)P=0．1時(shí)，概率分布右偏；當(dāng)P=0．9時(shí)，概率分布左偏。

程序（見(jiàn)圖3）：

k=seq（．1，．9，．1）

par（mfrow=c（3，3））

for（i in 1：9）

barplot（dbinom（0：5，5，k[i]），xlab="x"，ylab="p"，ylim=c（0，．6），

main=substitute（B（5，b），list（b=k[i]）））

筆者利用R軟件在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中做可視化的教學(xué)嘗試，大大提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，降低了學(xué)習(xí)的難度，提高了他們利用數(shù)學(xué)知識(shí)和軟件解決實(shí)際問(wèn)題的能力，這也是大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)。

4　結(jié)語(yǔ)

基于R軟件的實(shí)驗(yàn)教學(xué)方法需要不斷探索與實(shí)踐，并且在教師的教學(xué)過(guò)程中要及時(shí)與實(shí)際問(wèn)題、醫(yī)學(xué)專(zhuān)業(yè)問(wèn)題、國(guó)內(nèi)或者國(guó)際建模大賽、數(shù)據(jù)挖掘比賽等相結(jié)合，滲透數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)文化的思想，讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下在計(jì)算機(jī)上自己動(dòng)手、動(dòng)眼、動(dòng)腦，通過(guò)軟件編程實(shí)驗(yàn)，學(xué)習(xí)解決實(shí)際問(wèn)題常用的數(shù)學(xué)方法，并在此基礎(chǔ)上分析，促成數(shù)學(xué)教學(xué)的良性循環(huán)，讓學(xué)生看到相關(guān)理論知識(shí)的應(yīng)用前景，努力把學(xué)生培養(yǎng)成實(shí)踐能力強(qiáng)的應(yīng)用型人才。

圖3　二項(xiàng)分布Binomial（5，b）的圖像

參考文獻(xiàn)：

[1]侯麗英．理實(shí)融合教學(xué)模式在應(yīng)用型醫(yī)學(xué)本科院校數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[J]．衛(wèi)生職業(yè)教育，2017，35（17）：51－53．

[2]趙軍，楊琳．R軟件在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探討[J]．高教學(xué)刊，2016（7）：93－95．

[3]賈俊平．統(tǒng)計(jì)學(xué)——基于R[M]．北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2014．■