帶有Rellich項(xiàng)的臨界雙調(diào)和方程組的研究
2018-04-09 10:55:39康東升劉曉楠曹玉平
康東升,劉曉楠，曹玉平
(1 中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,武漢 430074； 2 中南民族大學(xué) 圖書館,武漢 430074)
1 相關(guān)知識(shí)
首先在全空間中研究下面帶有Rellich項(xiàng)的臨界雙調(diào)和方程組：
(2)
(3)
由(2)和(3)式我們定義下面的Rellich-Sobolev常數(shù)[1]：
假設(shè)(H1)成立,由文[1]可知S(μ)的達(dá)到函數(shù)是:
(4)
其中Uμ(x)>0是徑向?qū)ΨQ、單調(diào)遞減的,并且滿足下面條件[1,2]：
從文[1]可知Uμ(x)是下列方程組的解：
下面在D2,2(RN){0}中定義最佳常數(shù)[1,3]：
Sη,α,β(μ):=
(5)
我們?cè)O(shè):
(6)
這里τmin≥0是f(τ)的最小值點(diǎn).
本文中的基態(tài)解是指在所有解中對(duì)應(yīng)能量值最小的解，因此(5)式被達(dá)到時(shí)的解是基態(tài)解.
其次,我們證明下列方程組解的存在性：
(7)
方程組(7)對(duì)應(yīng)的能量泛函為：
J(u,v):=
(8)
其中u,v∈H,J∈C1(H×H,R).對(duì)于(u,v)∈H×H(0,0),如果J′(u,v),(φ,φ)=0，?(φ,φ)∈H×H,那么我們稱(u,v)是方程組(7)式的解.接下來,我們假設(shè)：
下面定義本文中一些常用的符號(hào)：
本文的結(jié)論如下：
定理2假設(shè)N>8,0≤μ≤μ*,并且(H1)和(H2)成立，則方程組(7)至少存在一個(gè)解(u,v)∈(H{0})2.
為了書寫方便,全文用C表示常數(shù)；用O(εt)表示|O(εt)|/εt≤C；用o(εt)表示|o(εt)|/εt→0；用O1(εt)表示C1εt≤|O1(εt)|≤C2εt(當(dāng)ε足夠小時(shí)),并且省略dx.
2 定理1的證明
證明與文獻(xiàn)[3]中定理1.1及文獻(xiàn)[5]中定理5類似,在此省略.
由f′(τmin)=0可以推出τmin是下列方程的一個(gè)根：
g(τ):=2*(s)+ηατβ-ηβτβ-2-2*(s)τ2*(s)-2=0,
τ>0.
(9)
假設(shè)ε>0,u∈D2,2(RN),r>0，若方程組(1)有正解并且解的形式為(ru,tu),則可得到：
(2*(s)+ηατβ)r2*(s)-2=2*(s)=(2*(s)τ2*(s)-2+
(10)
證明與文獻(xiàn)[6]中引理2.2類似,在此省略.
定理1的證明我們應(yīng)用與文獻(xiàn)[6]中定理1.1類似的方法來證明本定理.設(shè)(u0,v0)是方程組(1)的基態(tài)解，首先我們證明：
(11)
同樣地,記：
(12)
容易得到：
(13)
令
因此(11)式成立.
同理可得：
(14)
因此由(11)、(14)式得：
(15)
由(10)式得到：
(16)
由此
(17)
所以u(píng)1,v1是下面方程的基態(tài)解：
由H?lder不等式、(11)式及(14)式得到：
3 定理2的相關(guān)引理
證明與文獻(xiàn)[3]中引理2.4.1類似,在此省略.
當(dāng)N≥8,
g1(t):=J(tuε,tτminuε)≤
另一方面有：
注意到：
0≤μ
(18)
由(18)式、引理1和引理4得出：
由上式及引理4得到：
引理5證畢.
定理2的證明過程與文獻(xiàn)[3]中定理1.2類似，在此省略.
[1]Kang D, Xu L. Asymptotic behavior and existence results for the biharmonic problems involving Rellich potentials[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2017, 455:1365-1382.
[2]Jannelli E, D′Ambrosio L. Nonlinear critical problems for the biharmonic operator with hardy potential[J]. Calculus of Variations in Partial Differential Equations, 2015, 54:365-396.
[3]Huang Y, Kang D. On the singular elliptic systems involving multiple critical Sobolev exponents[J]. Nonlinear Analysis Theory Methods and Applications, 2011, 74(2):400-412.
[4]熊萍.帶有多重Rellich 項(xiàng)的臨界雙調(diào)和方程組[D].武漢：中南民族大學(xué),2017: 6-7.
[5]Alves C, Filho D, Souto M. On systems of elliptic equations involving subcritical or critical Sobolev exponents[J]. Nonlinear Analysis Theory Methods and Applications, 2000, 42(5):771-787.
[6]Peng S, Peng Y, Wang Z. On elliptic systems with Sobolev critical growth[J]. Calculus of Variations in Partial Differential Equations,2016, 55:142.
[7]Chen Z, Zou W. Positive least energy solutions and phase separation for coupled Schr?dinger equations with critical exponent: higher dimensional case[J]. Calculus of Variations in Partial Differential Equations,2015,52:459-460.
