厘清功能概念巧用規(guī)律解題

焦健生

[摘要]“機(jī)械能守恒定律”一章概念多、規(guī)律多，怎樣復(fù)習(xí)好呢？利用思維導(dǎo)圖將零散的知識(shí)結(jié)構(gòu)化和系統(tǒng)化是一種可行的方法，這種方法便于學(xué)生理解、記憶和應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞]思維導(dǎo)圖；問題串；思維提升

[中圖分類號(hào)]G633.7[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2018）05003704

“機(jī)械能守恒定律”一章中的功能觀點(diǎn)是解決物理力學(xué)問題的三大“法寶”之一，也是歷年高考中重點(diǎn)考查的規(guī)律之一。高考中，涉及功能概念或規(guī)律的試題，既可在選擇題中出現(xiàn)，又會(huì)在綜合性的計(jì)算題中出現(xiàn)，題目設(shè)置為多過程的恒力作用、變力作用、臨界分析等運(yùn)動(dòng)情景問題，綜合性比較強(qiáng)。

這部分內(nèi)容主要有功、功率、動(dòng)能、勢能、機(jī)械能、內(nèi)能等基本概念，以及功能關(guān)系，特別是動(dòng)能定理、能量守恒（包括機(jī)械能守恒）定律，物理模型包含直線運(yùn)動(dòng)和曲線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)形式有斜面、圓形軌道、傳送帶等，連接方式有彈簧、繩、桿等。

為了將這部分知識(shí)串聯(lián)起來，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，同時(shí)將思維的過程可視化，筆者結(jié)合思維導(dǎo)圖復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容。如“思維導(dǎo)圖一”所示為這部分的三大塊重點(diǎn)內(nèi)容：基本概念、功能關(guān)系和能量守恒。

一、功能概念

這部分內(nèi)容涉及的概念主要有：功、功率、動(dòng)能、勢能、機(jī)械能，其知識(shí)串如“思維導(dǎo)圖二”所示，復(fù)習(xí)時(shí)可采用“先總、后分、再總”的方法建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。同時(shí)可設(shè)置遞進(jìn)式問題，讓學(xué)生厘清基本概念。

1.關(guān)于功

掌握有關(guān)功兩個(gè)方面的知識(shí)：一是會(huì)判斷常見的力，如彈力、摩擦力，作用力、反作用力等做功的正負(fù)；二是會(huì)計(jì)算物體所受某個(gè)力、合力的功，這些力可能是恒力，也可能是變力。

問題串：功的定義、公式是什么？正功、負(fù)功的含義是什么？列舉彈力和摩擦力做正功和負(fù)功的情況；弄清作用力與反作用力做功的大小和正負(fù)。

【隨堂例題1】如圖1所示，質(zhì)量為m的小球用長為L的輕繩懸掛于O點(diǎn)，用水平恒力F拉著小球從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使輕繩與豎直方向成θ角的位置，求此過程中，各力對(duì)小球做的功及總功。

思維提升

（1）在求力做功時(shí)，要明確是求某個(gè)力的功，還是求合力的功；是求恒力的功，還是求變力的功。

（2）恒力做功與物體運(yùn)動(dòng)的路徑無關(guān)，等于力與物體在力方向上的位移的乘積。

（3）變力做功，要考慮應(yīng)用動(dòng)能定理或?qū)⒆兞ψ龉D(zhuǎn)化為恒力做功進(jìn)行求解。

解析：小球在F方向的位移大小為Lsinθ，方向與F同向，則WF=FLsinθ；

小球在重力方向的位移大小為L·（1-cosθ），方向與重力反向，則WG=-mgL（1-cosθ）；

繩的拉力FT時(shí)刻與運(yùn)動(dòng)方向垂直，則WFT=0；

故W總=WF+WG+WFT=FLsinθ-mgL（1-cosθ）。

【注意點(diǎn)】本題中小球所受的合力為變力，不能直接用功的公式求合力的功，而應(yīng)轉(zhuǎn)化為求各個(gè)力做功之和。

2.關(guān)于功率

相關(guān)重點(diǎn)知識(shí)：兩個(gè)公式的區(qū)別和應(yīng)用，即P=W/t是求平均功率，而公式P=Fvcosα，既能求瞬時(shí)功率，也能計(jì)算平均功率。若v是瞬時(shí)值，則求出的功率是瞬時(shí)值，若v是平均值，則求出的功率是平均值。

問題串：功率的定義、物理意義及相關(guān)公式分別是什么？兩個(gè)公式有何不同？若F和v的方向不在一條直線上，如何求這個(gè)力的瞬時(shí)功率？對(duì)機(jī)車以額定功率啟動(dòng)和以勻加速啟動(dòng)兩種情況，應(yīng)分別分析機(jī)車的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況。

【隨堂例題2】如圖2所示，物體受到水平推力F的作用，在粗糙水平面上做直線運(yùn)動(dòng)。監(jiān)測到推力F、物體速度v隨時(shí)間t變化的規(guī)律如圖2所示。取g=10m/s2，則（）。

A.第1s內(nèi)推力做功為1J

B.第2s內(nèi)物體克服摩擦力做的功為W=2.0J

C.第1.5s時(shí)推力F的功率為2W

D.第2s內(nèi)推力F做功的平均功率P=1.5W

解析：第1s內(nèi)物體保持靜止?fàn)顟B(tài)，在推力方向上無位移，故做功為零，A錯(cuò)；由圖像知第3s內(nèi)物體做勻速運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)=2N，故F=Ff=2N，由v-t圖像知第2s內(nèi)物體的位移x=12×1×2m=1m，第2s內(nèi)物體克服摩擦力做的功W=Ff·x=2.0J，B對(duì)；第1.5s時(shí)物體的速度為1m/s，故推力的功率為3W，C錯(cuò)；第2s內(nèi)推力F=3N，推力做的功為WF=F·x=3.0J，故第2s內(nèi)推力F做功的平均功率P=WF/t=3W，故D錯(cuò)。正確答案為B。

思維提升

本題要從F-t圖像推出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況及F的做功情況。區(qū)分平均功率和瞬時(shí)功率，以及明確瞬時(shí)功率的求法，這些是解決本題的關(guān)鍵。

對(duì)機(jī)車啟動(dòng)問題，應(yīng)注意弄清機(jī)車的啟動(dòng)方式，是以恒定功率啟動(dòng)，還是以恒定加速度啟動(dòng)。要解決好這類問題要抓住下面三個(gè)重要關(guān)系式。

（1）機(jī)車的速度達(dá)到最大時(shí)，牽引力Fmin最小，其值等于阻力Ff，即vm=P/Ff。

（2）機(jī)車以恒定加速度啟動(dòng)時(shí)，要注意勻加速階段速度的最大值，此時(shí)機(jī)車的功率達(dá)到額定功率。

（3）機(jī)車以額定功率啟動(dòng)時(shí)，常用動(dòng)能定理：Pt-Ff·x=ΔEk來求解機(jī)車以恒定功率啟動(dòng)過程中的位移大小或時(shí)間。

【隨堂例題3】水平面上靜止放置一質(zhì)量為m=0.2kg的物塊，固定在同一水平面上的小型電動(dòng)機(jī)通過水平細(xì)線牽引物塊，使物塊由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，2秒末達(dá)到額定功率，其v-t圖線如圖3所示，物塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.1，g=10m/s2，電動(dòng)機(jī)與物塊間的距離足夠遠(yuǎn)。求：

（1）物塊做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的牽引力大小；

（2）電動(dòng)機(jī)的額定功率；

（3）物塊在電動(dòng)機(jī)牽引下，最終能達(dá)到的最大速度。

解析：（1）由題圖知物塊在勻加速階段加速度大小a=Δv/Δt=0.4m/s2。

物塊受到的摩擦力大小Ff=μmg，設(shè)牽引力大小為F，則有：F-Ff=ma，得F=0.28N。

（2）當(dāng)v=0.8m/s時(shí)，電動(dòng)機(jī)達(dá)到額定功率，則P=Fv=0.224W。

（3）物塊達(dá)到最大速度vm時(shí)，物塊所受的牽引力大小等于摩擦力大小，有F1=μmg，

P=F1vm，解得vm=1.12m/s。

【注意點(diǎn)】本題需要將物塊的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況與其運(yùn)動(dòng)的v-t圖像一一對(duì)應(yīng)起來，即數(shù)形結(jié)合，特別要進(jìn)行受力分析、狀態(tài)分析、過程分析和臨界分析。

思維提升

（1）機(jī)車啟動(dòng)的方式不同，則其運(yùn)動(dòng)的規(guī)律就不同，涉及的物理量（如功率、速度、加速度、牽引力）就不同。

（2）機(jī)車在額定功率下的運(yùn)動(dòng)是變加速直線運(yùn)動(dòng)，機(jī)車牽引力做的功用W=Pt計(jì)算，因?yàn)镕是變力，所以不能用W=Fl計(jì)算。

（3）機(jī)車以恒力加速運(yùn)動(dòng)的過程中，其功率不斷增加，但因F是恒力，所以可用W=Fl計(jì)算牽引力的功，因?yàn)楣β蔖是變化的，也就不能用W=Pt計(jì)算。

3.關(guān)于能

理解動(dòng)能、重力勢能、彈性勢能、機(jī)械能、內(nèi)能的物理意義及公式，其中不要求用彈性勢能公式進(jìn)行計(jì)算。

問題串：試區(qū)分動(dòng)能、重力勢能、彈性勢能、機(jī)械能、內(nèi)能；它們各自的大小由什么決定？表達(dá)式是什么？

【隨堂例題4】如圖4所示，輕彈簧豎立在地面上，正上方有一鋼球，從A處自由下落，落到B處時(shí)開始與彈簧接觸，此時(shí)向下壓縮彈簧。小球運(yùn)動(dòng)到C處時(shí)，彈簧對(duì)小球的彈力與小球的重力平衡。小球運(yùn)動(dòng)到D處時(shí)，到達(dá)最低點(diǎn)。不計(jì)空氣阻力，以下描述正確的有（）。

A.小球由A向B運(yùn)動(dòng)的過程中，小球的機(jī)械能減少

B.小球運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，小球的動(dòng)能最大

C.小球由B向C運(yùn)動(dòng)的過程中，小球的重力勢能減小，彈簧的彈性勢能增加

D.小球由C向D運(yùn)動(dòng)的過程中，小球的重力勢能減少

解析：小球由A向B運(yùn)動(dòng)的過程中，做自由落體運(yùn)動(dòng)，加速度等于豎直向下的重力加速度g，處于完全失重狀態(tài)，此過程中只有重力做功，小球的機(jī)械能守恒，A錯(cuò)誤；小球由B向C運(yùn)動(dòng)的過程中，重力大于彈簧的彈力，加速度向下，小球處于失重狀態(tài)，小球和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，彈簧的彈性勢能增加，小球的重力勢能減少，由于小球向下加速運(yùn)動(dòng)，小球的動(dòng)能還是增大的，B正確，C錯(cuò)誤；小球由C向D運(yùn)動(dòng)的過程中，彈簧的彈力大于小球的重力，加速度方向向上，處于超重狀態(tài)，彈簧繼續(xù)被壓縮，彈性勢能繼續(xù)增大，小球的重力勢能繼續(xù)減小，D正確。故答案為B、D。

【注意點(diǎn)】弄清小球的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況是解決本題的前提，明確各種能量的影響因素是最終解決問題的關(guān)鍵。如，本題中小球在C點(diǎn)時(shí)重力和彈力平衡，此時(shí)加速度a=0，速度達(dá)到最大值。

二、功能關(guān)系

功是能量轉(zhuǎn)化的量度，具體的功能關(guān)系可見“思維導(dǎo)圖三”，其中最常用的就是動(dòng)能定理。

問題串：在利用功能關(guān)系解題時(shí)，應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生有序思考問題。研究對(duì)象是什么？其受力情況和各力做功情況是怎樣的？能量改變對(duì)應(yīng)的是哪些力做的功？

【隨堂例題5】如圖5所示，一固定斜面傾角為30°，一質(zhì)量為m的小物塊自斜面底端以一定的初速度，沿斜向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度的大小等于重力加速度的大小g 。若物塊上升的最大高度為H，則此過程中，物體塊的（）。

A.物體的重力勢能增加了mgH

B.物體的動(dòng)能減少了FH

C.物體的機(jī)械能增加了FH

D.物體勢能增加量小于動(dòng)能的減少量

解析：運(yùn)動(dòng)過程中有摩擦力做功，考慮動(dòng)能定理和功能關(guān)系。物塊以大小為g加速度沿斜面向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中F合=mg，由受力分析知摩擦力Ff=12mg，當(dāng)上升高度為H時(shí)，小物塊的位移x=2H，由動(dòng)能定理得ΔEk=-2mgH；由功能關(guān)系知ΔE=Wf=-12mgx=-mgH，選項(xiàng)A、C正確。

【注意點(diǎn)】本題考查了“功是能量轉(zhuǎn)化的量度”的具體含義，尤其是機(jī)械能的變化，應(yīng)立即聯(lián)想到除重力外其他力做的功。

思維提升

求解一個(gè)問題往往有兩個(gè)途徑，一是直接求，二是間接求，顯然本題間接求更快捷，如題中要求機(jī)械能的變化，只要看除重力以外的其他力做功的多少。

動(dòng)能定理是解決力學(xué)問題常用的規(guī)律，思考過程為：確定研究對(duì)象，明確研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過程，分析物體的受力，特別是有變力參與的情況，分析各力的做功情況，及初末態(tài)的速度，最后用動(dòng)能定理列式求解。

【隨堂例題6】如圖6所示，傳送帶A、B之間的距離為L=3.2m，與水平面間夾角θ=37°，傳送帶沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，速度恒為v=2m/s，在上端A點(diǎn)無初速度放置一個(gè)質(zhì)量為m=1kg、大小可視為質(zhì)點(diǎn)的金屬塊，它與傳送帶的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，金屬塊滑離傳送帶后，經(jīng)過彎道，沿半徑R=0.4m的光滑圓軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，剛好能通過最高點(diǎn)E，已知B、D兩點(diǎn)的豎直高度差為h=0.5m（取g=10m/s2）。求：

（1）金屬塊經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)的速度大??；

（2）金屬塊在BCD彎道上克服摩擦力做的功。

解析：（1）對(duì)金屬塊在E點(diǎn)有mg=mvE2/R，解得vE=2m/s；

在從D到E的過程中，由動(dòng)能定理得：

-mg·2R=12mv2E-12mv2D，

解得vD=25m/s。

（2）金屬塊在傳送帶上運(yùn)行時(shí)有，mgsinθ+μmgcosθ=ma1，解得a1=10m/s2。

設(shè)經(jīng)位移x1金屬塊與傳送帶達(dá)到共同速度，則v2=2ax1，解得x1=0.2m<3.2m。

繼續(xù)加速過程中mgsinθ-μmgcosθ=ma2，解得a2=2m/s2；

由v2B-v2=2a2x2，x2=L-x1=3m，

解得vB=4m/s；

在從B到D的過程中，由動(dòng)能定理得：

mgh-Wf=12mv2D-12mv2B，解得Wf=3J。

【注意點(diǎn)】解決本題的關(guān)鍵是判斷金屬塊在傳送帶上所受摩擦力與其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的關(guān)系，另外金屬塊在彎道上所受摩擦力是變力，變力的功要用動(dòng)能定理來求解。

思維提升

解決多過程問題應(yīng)優(yōu)先考慮應(yīng)用動(dòng)能定理，從而使問題得到簡化。

（1）只涉及F、l、m、v、W、Ek而不涉及時(shí)間t的多過程問題。

（2）有多個(gè)過程，但不需要考慮全過程中的中間態(tài)的問題。

（3）求變力做的功。

三、能量守恒

能量守恒定律是貫穿物理學(xué)的基本規(guī)律，是各種自然現(xiàn)象中普遍適用的一條規(guī)律。其表達(dá)式有兩種：（1）E初=E末，初狀態(tài)各種能量的總和等于末狀態(tài)各種能量的總和。（2）ΔE增=ΔE減，增加的那些能量等于減少的那些能量。機(jī)械能守恒是能量守恒中的一種守恒形式，正是只有系統(tǒng)中機(jī)械能不變，所以不應(yīng)有其他形式的能“參與”進(jìn)去，因此，機(jī)械能守恒是有條件的。復(fù)習(xí)時(shí)可參照“思維導(dǎo)圖四”來建構(gòu)知識(shí)。

問題串：用能量守恒解決問題時(shí)，應(yīng)明白研究對(duì)象是單個(gè)物體，還是由多個(gè)物體組成的系統(tǒng)。能量守恒需要條件嗎？機(jī)械能守恒呢？若需要條件，條件是什么？機(jī)械能守恒的表達(dá)式是什么？

【隨堂例題7】如圖7所示，在同一豎直平面內(nèi)，一輕質(zhì)彈簧一端固定，另一自由端恰好與水平線AB平齊，靜止放于傾角為53°的光滑斜面上。一長為L=9cm的輕

質(zhì)細(xì)繩一端固定在O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m=1kg的小球，將細(xì)繩拉至水平，使小球在位置C由靜止釋放，小球到達(dá)最低點(diǎn)D時(shí)，細(xì)繩剛好被拉斷。之后小球在運(yùn)動(dòng)過程中恰好沿斜面方向?qū)椈蓧嚎s，最大壓縮量為x=5cm（g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6）。求：

（1）細(xì)繩受到的拉力的最大值；

（2）D點(diǎn)到水平線AB的高度h；

（3）彈簧所獲得的最大彈性勢能Ep。

解析：（1）小球由C到D，由機(jī)械能守恒定律得：

mgL=12mv21，解得v1=2gL①

在D點(diǎn)，由牛頓第二定律得F-mg=mv21L②

由①②解得F=30N。

由牛頓第三定律知細(xì)繩所能承受的最大拉力為30N。

（2）由D到A，小球做平拋運(yùn)動(dòng)v2y=2gh③tan53°=vyv1④

聯(lián)立③④解得h=16cm。

（3）小球從C點(diǎn)到將彈簧壓縮至最短的過程中，小球與彈簧組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，即Ep=mg（L+h+xsin53°），代入數(shù)據(jù)得：Ep=2.9J。

【注意點(diǎn)】本題關(guān)鍵要弄清三個(gè)問題：（1）小球運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，對(duì)細(xì)繩拉力最大？（2）小球恰好沿斜面方向壓縮彈簧，說明小球的速度沿什么方向？（3）彈性勢能最大時(shí)，小球速度為多少？

思維提升

本題的物理過程較為復(fù)雜，小球參與了圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)、變速直線運(yùn)動(dòng)，另外還有彈簧參與，是一道綜合性較強(qiáng)的題目。題中不涉及摩擦阻力和空氣阻力做功，只有重力和彈簧彈力做功，可選擇能量守恒（包括機(jī)械守恒）定律求解。

四、綜合應(yīng)用

“機(jī)械能”一章還涉及滑動(dòng)摩擦力做功產(chǎn)生熱量的多個(gè)動(dòng)力學(xué)問題和能量問題的綜合。在有滑動(dòng)摩擦力相互作用的系統(tǒng)內(nèi)，一部分機(jī)械能在相互摩擦的物體間轉(zhuǎn)移，另外一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，摩擦產(chǎn)生的熱量的計(jì)算公式：Q=Ff·s相對(duì)。其中s相對(duì)為相互摩擦的兩個(gè)物體間的相對(duì)位移，若兩物體同向相對(duì)運(yùn)動(dòng)，則相對(duì)位移是兩物體的位移差值，反之，若兩物體反向相對(duì)運(yùn)動(dòng)，則相對(duì)位移是兩物體的位移大小之和。

這類問題往往是傳送帶傳動(dòng)模型或滑塊在木板上滑行的模型，其思維過程如“思維導(dǎo)圖五”。

【隨堂例題8】如圖8所示，質(zhì)量為m=1kg的滑塊，在水平力作用下靜止在傾角為θ=30°的光滑斜面上，斜面的末端B與水平傳送帶相接（滑塊經(jīng)過此位置滑上傳送帶時(shí)無能量損失），傳送帶的運(yùn)行速度為v0=3m/s，長為l=1.4m；今將水平力撤去，當(dāng)滑塊滑到傳送帶右端C時(shí)，恰好與傳送帶速度相同?；瑝K與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.25，g取10m/s2。求：

（1）水平作用力F的大小；

（2）滑塊下滑的高度；

（3）若滑塊滑上傳送帶時(shí)速度大于3m/s，滑塊在傳送帶上滑行的整個(gè)過程中產(chǎn)生的熱量。

解析：（1）滑塊受到水平力F、重力mg和支持力FN作用處于平衡狀態(tài)，水平力F=mgtanθ，F(xiàn)=1033N。

（2）設(shè)滑塊從高為h處下滑，到達(dá)斜面底端速度為v，下滑過程中機(jī)械能守恒mgh=12mv2，得v=

2gh

。若滑塊沖上傳送帶時(shí)的速度小于傳送帶速度，則滑塊在傳送帶上由于受到向右的滑動(dòng)摩擦力而做勻加速運(yùn)動(dòng)；根據(jù)動(dòng)能定理有μmgL=12mv20-12mv2，則h=v202g-μL，代入數(shù)據(jù)解得h=0.1m。

若滑塊沖上傳送帶時(shí)的速度大于傳送帶的速度，則滑塊由于受到向左的滑動(dòng)摩擦力而做勻減速運(yùn)動(dòng)；根據(jù)動(dòng)能定理：-μmgL=12mv20-12mv2，則h=v202g+μL，代入數(shù)據(jù)解得h=0.8m。

（3）設(shè)滑塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則t時(shí)間內(nèi)傳送帶的位移x=v0t，mgh=12mv2，v0=v-at，μmg=ma，滑塊相對(duì)傳送帶滑動(dòng)的位移Δx=L-x，相對(duì)滑動(dòng)生成的熱量Q=μmg·Δx，代入數(shù)據(jù)解得Q=0.5J。

【注意點(diǎn)】解答本題的突破口一是判斷滑塊滑上皮帶后做什么運(yùn)動(dòng)，二是滑塊和皮帶間的相對(duì)位移怎么計(jì)算。

思維提升

本題綜合應(yīng)用了牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒、能量轉(zhuǎn)化與守恒，要特別注重對(duì)物體進(jìn)行運(yùn)動(dòng)過程分析和受力分析，同時(shí)還要注意對(duì)臨界狀態(tài)進(jìn)行分析，再根據(jù)已知條件，巧妙選用規(guī)律列方程解決問題。

（責(zé)任編輯易志毅）