培養(yǎng)學(xué)生歸納與類比能力的兩種方法

張永蘭

[摘要]歸納、類比作為一般的科學(xué)方法，是人們探索問(wèn)題、尋求和發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題途徑的重要方法.培養(yǎng)學(xué)生的歸納與類比能力很有意義.

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)教學(xué)；歸納；類比；能力

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2018）05003201

歸納和類比是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念和定理，探索數(shù)學(xué)結(jié)論，尋求問(wèn)題求解途徑常用的重要方法.注重歸納、類比思想方法的教學(xué)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力極其重要.本文就初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的歸納與類比能力介紹兩種方法.

一、滲透類比思想，構(gòu)建知識(shí)體系

類比是對(duì)兩種或兩種以上在某些關(guān)系上表現(xiàn)為相似的對(duì)象進(jìn)行對(duì)比的一種科學(xué)的研究方法，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的有效途徑.波利亞曾說(shuō)：“沒(méi)有這些思路（普遍化、特殊化和類比通用的基本思路），特別是沒(méi)有類比，在初等或高等數(shù)學(xué)中也許就不會(huì)有發(fā)現(xiàn).”確實(shí)是這樣，在數(shù)學(xué)中有許多定理、公式及其證明都離不開(kāi)類比，教師要不失時(shí)機(jī)地滲透類比思想，使學(xué)生逐步感知并運(yùn)用類比的方法學(xué)習(xí)新知.如，初中幾何中《相似三角形判定定理》的證明，其思路是：利用輔助線構(gòu)造預(yù)備定理（平行于三角形一邊的直線和其余兩邊相交，所得的三角形和原三角形相似）的圖形和條件來(lái)求證結(jié)論.在定理1——“兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似”的證明中，一般同時(shí)介紹兩種證明方法.其一是“作平行，證相等”；其二是“作相等，證平行”.又如，在學(xué)習(xí)“三角形的外接圓和內(nèi)切圓”時(shí)，大多數(shù)學(xué)生會(huì)混淆外心和內(nèi)心的概念及性質(zhì).針對(duì)這一問(wèn)題，可采用類比思想，把三角形的外心和內(nèi)心的概念及性質(zhì)歸納為：外心是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它隨三角形的形狀不同，位置也不同，它在銳角三角形的內(nèi)部，在直角三角形斜邊的中點(diǎn)處，在鈍角三角形的外部.它是三角形外接圓的圓心，具有“到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等”的性質(zhì).內(nèi)心是三角形內(nèi)切圓的圓心，它是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它一定在三角形的內(nèi)部，不隨三角形形狀的改變而變化位置，它到三角形三邊的距離相等.如果長(zhǎng)期這樣堅(jiān)持類比方法的運(yùn)用，就能使學(xué)生學(xué)會(huì)類比，運(yùn)用類比.

類比也是學(xué)習(xí)知識(shí)、系統(tǒng)掌握知識(shí)和鞏固知識(shí)的有效方法，在解題中具有啟迪思維的重要作用.正如哲學(xué)家康德所說(shuō)：“每當(dāng)理智缺乏可靠的論證思路時(shí)，類比這個(gè)方法可以指引我們前進(jìn).”當(dāng)面臨一個(gè)生疏的問(wèn)題時(shí)，往往可以聯(lián)想一個(gè)比較熟悉的問(wèn)題作為類比對(duì)象，熟悉問(wèn)題的解決途徑和方法?？蓡l(fā)生疏問(wèn)題的解決途徑和方法.在《相似三角形》中，利用幾何圖形求證比例式（或等積式）時(shí)，一般方法為：由“平行”或“相似三角形”得出比例式.但以下題目中，已知條件無(wú)“平行”，無(wú)“相似三角形”，可以按照常規(guī)方法分析求證式中所有線段的位置關(guān)系，類比以上兩種條件的圖形特點(diǎn)，通過(guò)作輔助線構(gòu)造條件.

已知：如右圖，AD是三角形ABC

的角平分線.

求證：AB∶AC=BD∶DC.

分析之后，確定過(guò)點(diǎn)B作邊AC的平行線，

交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，通過(guò)比例式和

等量代換的方法，結(jié)論得證.

以上解決問(wèn)題的方法，充分體現(xiàn)了類比思想的優(yōu)越性，也再次突出了類比能力培養(yǎng)的重要性.

二、知識(shí)合理分類，提供歸納素材

歸納在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用和意義首先在于整理由觀察、實(shí)驗(yàn)得到的經(jīng)驗(yàn)材料，是進(jìn)一步比較、分析、抽象概括的基礎(chǔ).其次，歸納是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的一種方法，它從經(jīng)驗(yàn)材料推斷普遍特性.因此，它有發(fā)現(xiàn)新知識(shí)和探索真理的作用.

初中數(shù)學(xué)中的一些概念、公式及定理的學(xué)習(xí)，歸納法更適合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，也符合從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律.其中，乘法公式的得出就是最好的例證.公式的意義不在于形式上的生搬硬套，而是應(yīng)用中的簡(jiǎn)便性和靈活性.準(zhǔn)確理解公式含義及應(yīng)用條件是正確應(yīng)用公式的前提.而讓學(xué)生了解公式的推導(dǎo)過(guò)程，把握公式所反映的普遍規(guī)律.才能處理好記憶與應(yīng)用之間的關(guān)系.就“平方差”公式來(lái)說(shuō)，以一組算式為研究對(duì)象，計(jì)算結(jié)果，分析結(jié)果與算式中數(shù)字間的關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律、得出公式的具體過(guò)程見(jiàn)下表：

總之，歸納、類比在數(shù)學(xué)知識(shí)拓展過(guò)程中常借助于比較、聯(lián)想來(lái)啟發(fā)誘導(dǎo)，以尋求思維的變異和發(fā)散.在歸納知識(shí)時(shí)又可用來(lái)串聯(lián)不同層次的類似內(nèi)容，幫助理解和記憶.在解決問(wèn)題時(shí)，無(wú)論是對(duì)于命題本身或解題方法，都是產(chǎn)生猜測(cè)、獲得命題的推廣或引申的原動(dòng)力.因此，歸納和類比既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法，也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的有效方法.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）