耦合調(diào)和振子網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的分群采樣控制同步

萬明非，張　華,2，葉志勇，楊　偉

(1.重慶理工大學 理學院， 重慶　400054; 2.銅仁學院 大數(shù)據(jù)學院， 貴州 銅仁　554300)

近年來網(wǎng)絡(luò)型調(diào)和振子系統(tǒng)的動力學及其協(xié)調(diào)控制研究由于具有廣泛的應(yīng)用性已被越來越多的國內(nèi)外學者重視，其中研究最為廣泛的是調(diào)和振子的一致同步算法。通過研究同步算法，人們不僅可以解釋諸如魚類洄游、候鳥遷徙等自然現(xiàn)象[1-2]，還可以很好地研究如移動機器人的協(xié)調(diào)控制、并行計算機的負載平衡同步等[3-4]。

學者們提出了許多同步算法來研究調(diào)和振子。Ren[5]首次給出了調(diào)和振子網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的連續(xù)時間的耦合模型，在假定網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)具有一棵有向生成樹的條件下，給出了系統(tǒng)達到同步的條件并得到了系統(tǒng)同步態(tài)。Ballard[6]將文獻[5]的結(jié)果推廣到了離散的情況。Su等[7]利用振子間感應(yīng)距離的概念，認為振子間距離小于一定范圍時可以進行信息交換，通過建立適當?shù)目刂戚斎胧沟妹總€振子在沒有任何連通假設(shè)的情況下仍能達到同步。此外，Zhou等[8-9]在無向網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中研究了脈沖控制型調(diào)和振子和采樣控制型調(diào)和振子，根據(jù)脈沖控制和采樣控制的特性，將系統(tǒng)方程演化為一個混雜型的動力學方程，利用拉普拉斯矩陣的分解分析系統(tǒng)的迭代解，得出了系統(tǒng)的同步態(tài)和同步的充要條件。Sun等[10]在不考慮控制缺失的情況下將文獻[9]中的算法擴展到了有向拓撲結(jié)構(gòu)下。Sun等[11]還利用了隨機分析的理論研究了耦合諧振子在耦合時有隨機誤差的情況。Wang等[12]將耦合時的隨機誤差推廣到了脈沖控制協(xié)議下，利用均方收斂的概念得到了系統(tǒng)同步的充分條件，還給出了系統(tǒng)的收斂域。

所有這些工作主要集中在一個完整的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上，且每個網(wǎng)絡(luò)是連通的或者是含有一棵有向生成樹。然而，現(xiàn)實世界中系統(tǒng)的拓撲結(jié)構(gòu)無法固定不變，并且每一時刻都能保持網(wǎng)絡(luò)連通的條件也十分苛刻，針對這樣的問題，Hong等[13]分析了二階多智能體系統(tǒng)在聯(lián)合連通下的領(lǐng)導跟隨同步問題，唐朝君[14]分析了切換拓撲下離散時間多智能體系統(tǒng)的包含控制。還有一類復雜網(wǎng)絡(luò)可能由多個子網(wǎng)絡(luò)組成，它們的合作任務(wù)可能被分成幾個小組，因此，分群同步能夠反應(yīng)這一本質(zhì)。在分群同步的研究中，Yu[15]考慮了領(lǐng)導跟隨控制下的線性系統(tǒng)的集群同步化，表明如果每個網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)都有一個生成樹，并且耦合強度足夠大，系統(tǒng)可以實現(xiàn)同步。苗中華等[16]在不確定網(wǎng)絡(luò)的歐拉-拉格朗日系統(tǒng)中研究了分群同步，并且考慮了耦合過程中產(chǎn)生的隨機誤差，結(jié)果表明：系統(tǒng)在一個自適應(yīng)的控制輸入下可以實現(xiàn)分群同步。Zhao等[17]針對2種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)研究了脈沖型和連續(xù)型調(diào)和振子的分群同步。

受到以上工作的啟發(fā)，本研究將在有向網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)下考察耦合調(diào)和振子網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的分群同步動力學。利用圖論中拉普拉斯矩陣的相關(guān)引理以及建立適當?shù)恼`差系統(tǒng)，給出了同步的充要條件。結(jié)果表明：在采樣周期、耦合強度和拉普拉斯矩陣的非零特征值滿足一定不等式關(guān)系時，系統(tǒng)能達成分群同步。

1　基礎(chǔ)知識和模型建立

1.1　符號說明

R和C分別代表實數(shù)集和復數(shù)集。N表示自然數(shù)集。對任意的c∈C，Re(c)、 lm(c)、|c|分別表示c的實部、虛部、和模。Cn×n代表n階復矩陣。On∈Cn×n是n階零矩陣，In∈Cn×n是n階單位矩陣。對一個n階矩陣M∈Cn×n，ρ(M)代表它的譜半徑，λi(M)表示其第i個特征值。

1.2　代數(shù)圖論

1.3　模型描述

網(wǎng)絡(luò)型調(diào)和振子的動力學行為可以表示為如下形式[5]：

(1)

其中：ri(t)，vi(t)∈R分別表示第i個振子的位移和速度；α>0表示振子的頻率；ui(t)表示控制輸入。

考慮如下采樣控制協(xié)議：

(2)

并且假設(shè)t∈[tk,tk+1)，tk+1-tk≡T，k∈N。

假設(shè)1對每個子群l=1,2,…,q，有∑j∈Vlaij=0，其中i=1,2,…,N，且i?Vl。

引理2(Schur-Cohn定理)[19]一個復系數(shù)二次多項式F(z)=a2z2+a1z+a0，如果它的Schur-Cohn行列式滿足：Δ1<0，Δ2>0，則該多項式的根分布在單位圓盤內(nèi)，其中：

(3)

(4)

2　主要結(jié)果

對系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性進行分析，其詳細結(jié)果由定理1給出。

定理1當假設(shè)1成立時，調(diào)和振子系統(tǒng)(1)在控制輸入式(2)下達成分群同步的充要條件是：

(5)

根據(jù)引理1做如下變量代換：

e(t)=Cr(t)，s(t)=Cv(t)

則有：

其中：

ei(t)=πir(t),i=1,…,q

…

si(t)=πiri(t)，i=1,…,q

…

(6)

容易看出，方程(6)由下述兩類微分方程構(gòu)成：

(7)

(8)

令x(t)=UeR(t),y(t)=UsR(t)，則有：

(9)

此系統(tǒng)可以被看成由如下2個子系統(tǒng)構(gòu)成：

當i=nl+1(l=0,1,…,q)時，有

(10)

當i≠nl+1(l=0,1,…,q)時，有

(11)

這里t∈[tk,tk+1)。方程(10)和(11)表明，如果系統(tǒng)(10)漸近穩(wěn)定，則系統(tǒng)(11)亦漸近穩(wěn)定。對方程(10)兩邊從tk到tk+1積分有

(12)

注意到方程(12)是一個離散的線性系統(tǒng)，其穩(wěn)定的充要條件是ρ(K)<1，下面證明ρ(K)<1，矩陣K的特征多項式為

μλisin(αT)(1-cos(αT))=a2χ2+a1χ+a0=0

根據(jù)引理2有：

由

(13)

由

及sin(αT)>0，易知

(Re2(λi)-lm2(λi))-cos2(αT)(Re2(λi)+lm2(λi))+2cos(αT)lm2(λi)+

化簡得

(14)

因為式(13)(14)不等號右邊具有相同的形式，將兩式左端做差可得

故當不等式(14)成立時，不等式(13)亦成立。因此，當且僅當不等式(14)成立時，ρ(K)<1，系統(tǒng)(10)漸近穩(wěn)定，即系統(tǒng)(1)在控制輸入式(2)下能達成分群同步。

3　實驗仿真

圖1　拓撲結(jié)構(gòu)

調(diào)和振子在3個子群中的同步時間歷程見圖2。

圖2　各分群收斂情況(同步時間歷程)

4　結(jié)束語

基于采樣控制下的網(wǎng)絡(luò)型調(diào)和振子模型，分析了系統(tǒng)分群后的一致性問題。利用分群的有向圖的拉普拉斯矩陣性質(zhì)和Schur-Cohn穩(wěn)定性判據(jù)，求出了系統(tǒng)分群同步的充分條件。最后利用Matlab進行數(shù)值模擬，進一步驗證了結(jié)果的有效性。

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