遺傳算法在橋梁有限元模型修正中的應(yīng)用

(山西省交通科學(xué)研究院, 山西 太原　030006)

0　引言

橋梁荷載試驗(yàn)是評(píng)價(jià)橋梁承載力最直接有效的方法，荷載試驗(yàn)結(jié)果揭示的是實(shí)測值與理論值的偏差關(guān)系，并以此進(jìn)行橋梁結(jié)構(gòu)承載力評(píng)定。事實(shí)上，橋梁荷載試驗(yàn)中實(shí)測值與理論值之間總會(huì)存在一定的偏差。這種偏差主要是由于理論計(jì)算剛度與橋梁剛度不同所造成的，橋梁結(jié)構(gòu)的混凝土開裂及性能劣化、混凝土澆筑質(zhì)量、預(yù)應(yīng)力損失、橋面鋪裝層是否參與受力等因素均會(huì)造成橋梁實(shí)際剛度與理論計(jì)算剛度存在差別。因此人們通常采用有限元模型修正技術(shù)獲得橋梁結(jié)構(gòu)實(shí)際的剛度，從而能夠更加準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)其承載力[1-2]。

橋梁有限元模型修正技術(shù)的關(guān)鍵在于優(yōu)化算法，即根據(jù)實(shí)測數(shù)據(jù)，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，依照最優(yōu)化算法進(jìn)行迭代計(jì)算，最終確定出一組橋梁結(jié)構(gòu)的待識(shí)別參數(shù)，使得目標(biāo)函數(shù)的收斂誤差在容許范圍之內(nèi)。

遺傳算法是模擬達(dá)爾文生物進(jìn)化論的自然選擇和遺傳學(xué)機(jī)理的生物進(jìn)化過程的計(jì)算模型，是一種通過模擬自然進(jìn)化過程搜索最優(yōu)解的方法[3]。常規(guī)的優(yōu)化算法是從單個(gè)初始值迭代求最優(yōu)解的，而遺傳算法則是從給定的區(qū)間開始搜索，搜索范圍大，能夠避免出現(xiàn)局部最優(yōu)解。其次，遺傳算法采用適應(yīng)度函數(shù)值進(jìn)行個(gè)體評(píng)估。適應(yīng)度函數(shù)定義域可以任意設(shè)定，且不需連續(xù)可微。這樣使得遺傳算法的應(yīng)用范圍大大擴(kuò)展。另外，遺傳算法還具有自學(xué)習(xí)和自適應(yīng)的特性。在搜索過程中，能夠根據(jù)獲得的信息自行選擇適應(yīng)度大的個(gè)體，從而獲得更適應(yīng)環(huán)境的新基因。

1　有限元模型修正技術(shù)[4-7]

有限元模型修正技術(shù)是以荷載試驗(yàn)實(shí)測結(jié)果為已知參數(shù)，求解結(jié)構(gòu)模型的待識(shí)別參數(shù)(通常為結(jié)構(gòu)單元?jiǎng)偠?。首先從基本力學(xué)方程(1)入手

[K]{Δ}={F}

(1)

式中，[K]為結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣；{Δ}為位移向量；{F}為荷載向量。求出

{Δ}=[K]-1{F}

(2)

便得到了所有節(jié)點(diǎn)位移的表達(dá)式，由于實(shí)測值較少，將位移向量{Δ}按照測量值Ua和未測量值Ub分開表示，則可以表示為

(3)

這樣很容易求出

[Ua]=[[K-1]a]{F}

(4)

由此便可構(gòu)造出目標(biāo)函數(shù)

[e]=[F][[K-1]a]-Um

(5)

確定一組待識(shí)別參數(shù)值即各單元?jiǎng)偠龋沟檬?5)計(jì)算結(jié)果盡可能接近于0，這樣，有限元模型修正便轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題。常規(guī)的優(yōu)化方法一般采用L-M算法進(jìn)行優(yōu)化。本文則采用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，并與L-M算法進(jìn)行對(duì)比。

2　遺傳算法原理

遺傳算法將問題的任何一個(gè)解采用二進(jìn)制進(jìn)行編碼，表示成染色體(待識(shí)別參數(shù)的解)，根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)值的概率(即有限元模型優(yōu)化中的目標(biāo)函數(shù))來選擇染色體，使適應(yīng)性好(即與目標(biāo)函數(shù)的解接近)的染色體有較高的概率選擇機(jī)會(huì)。在算法中體現(xiàn)的是以二進(jìn)制編碼的一組字符串。遺傳算法的運(yùn)算過程為，首先隨機(jī)給出一群染色體，每個(gè)染色體都是一組隨機(jī)的二進(jìn)制位，對(duì)于橋梁有限元模型修正，每個(gè)染色體代表一種可能的待識(shí)別參數(shù)的解，也即是假設(shè)解。然后，按照適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算出這群假設(shè)解的適應(yīng)度函數(shù)值。從中選擇出適應(yīng)度較高的染色體進(jìn)行復(fù)制, 再通過交叉、變異，從而產(chǎn)生更適應(yīng)環(huán)境的新一代染色體群。對(duì)這個(gè)新種群進(jìn)行下一輪進(jìn)化，直至最適合環(huán)境的值，具體步驟如下：

(1) 檢查每個(gè)染色體(待識(shí)別參數(shù))，計(jì)算其相應(yīng)的適應(yīng)性分?jǐn)?shù)(計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值，按照與迭代容許值偏差大小計(jì)算相應(yīng)的適應(yīng)性分?jǐn)?shù))。

(2) 賦予不同適應(yīng)性分?jǐn)?shù)的選擇概率，通常適應(yīng)性分?jǐn)?shù)越高，選擇概率也就越高。從而選擇出適應(yīng)性高的成員(也就是較接近目標(biāo)函數(shù)的待識(shí)別參數(shù)值)。常用的概率方法有輪盤賭選擇法和賭輪選擇法。

(3) 按照預(yù)先設(shè)定的雜交率，從每個(gè)選中的兩個(gè)二進(jìn)制染色體的一個(gè)隨機(jī)的點(diǎn)上進(jìn)行雜交(即兩個(gè)二進(jìn)制相對(duì)應(yīng)點(diǎn)位進(jìn)行交換)。

(4) 按照預(yù)定的變異率，把被選染色體的某個(gè)位置上的二進(jìn)制位實(shí)行翻轉(zhuǎn)(即0變?yōu)?，1變?yōu)?)。

(5) 重復(fù)步驟(2)，(3)，(4)，直到每個(gè)成員的新群體被創(chuàng)建出來。

3　工程應(yīng)用

3.1　荷載試驗(yàn)結(jié)果

依托一座4×30 m先簡支后連續(xù)預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁橋的荷載試驗(yàn)，試驗(yàn)選擇第1跨、第2跨進(jìn)行加載，采用4輛40 t雙后軸的三軸車進(jìn)行加載，加載方案為：

工況一：邊跨最大正彎矩加載(偏載)，工況二：中跨最大正彎矩加載(偏載)，加載方案及撓度布置見圖1～圖5。

圖1　加載車縱向布置(單位：cm)

圖2　加載車橫向布置(單位：cm)

圖3　撓度測試斷面布置圖(單位：cm)

圖4　1#、2#、4#、5#、6#、8#、9#斷面撓度測點(diǎn)布置圖(單位：cm)

圖5　3#、7#斷面撓度測點(diǎn)布置圖(單位：cm)

在工況一和工況二作用下實(shí)測撓度與理論撓度對(duì)比見表1～表3。

表1　不同工況下1#梁撓度測試結(jié)果表　mm

表2　工況一第1跨跨中橫向各點(diǎn)撓度測試結(jié)果　mm

表3　工況二第2跨跨中橫向各點(diǎn)撓度測試結(jié)果　mm

3.2　優(yōu)化計(jì)算

選擇兩個(gè)工況下第1跨及第2跨1#梁所有撓度測試結(jié)果作為已知位移，采用實(shí)際車輛總重按照實(shí)測橫向分布系數(shù)(取兩個(gè)工況平均值0.67)計(jì)算分配至1#梁的荷載值，構(gòu)造位移向量和荷載向量，選擇各單元?jiǎng)偠茸鳛榇R(shí)別參數(shù)。根據(jù)上述有限元模型修正技術(shù)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，采用Matlab編寫相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。

由于目標(biāo)函數(shù)為實(shí)測值與計(jì)算值的誤差，存在正誤差和負(fù)誤差，無法進(jìn)行最小值計(jì)算，因此選擇目標(biāo)函數(shù)向量的模作為適應(yīng)函數(shù)，這樣便可利用遺傳算法求解最小值問題。

利用Matlab優(yōu)化工具箱中的GA(遺傳算法)，識(shí)別參數(shù)的上下界取0.4B～2.8B，B為截面的抗彎剛度計(jì)算值。種群規(guī)模取100，選擇模型為輪盤賭，交叉概率0.8，變異概率0.03。經(jīng)過50代種群循環(huán)，基本趨于穩(wěn)定，計(jì)算的撓度差的模為0.000 9 mm，相應(yīng)的撓度誤差為0.36 mm， 能夠滿足工程應(yīng)用。

3.3　遺傳算法與L-M方法計(jì)算結(jié)果比較

L-M算法(Levenberg-Marquardt)，是基于迭代計(jì)算解決非線性最小二乘最常用的方法。首先設(shè)定參數(shù)的初始值，計(jì)算迭代步長，然后將初始值加上迭代步長，代入目標(biāo)函數(shù)，如果不收斂，則繼續(xù)計(jì)算迭代步長，對(duì)參數(shù)進(jìn)行修正，直至最終目標(biāo)函數(shù)收斂。L-M算法的關(guān)鍵在于迭代步長的確定，其計(jì)算公式如下[8]

(6)

(7)

(8)

同樣，以工況一和工況二各測點(diǎn)撓度差值組成位移殘差向量，取該向量的模作為目標(biāo)值，各單元的抗彎剛度作為待識(shí)別參數(shù)，采用L-M進(jìn)行優(yōu)化，將各單元抗彎剛度理論計(jì)算值作為參數(shù)初值，同時(shí)設(shè)置μ的初值為0.001(求解非線性最小二乘問題，μ應(yīng)取得小些)，當(dāng)循環(huán)次數(shù)達(dá)到20次以上時(shí)，基本已收斂。計(jì)算的撓度最大誤差為0.3 mm，與遺傳算法計(jì)算結(jié)果較為接近。二者的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比見圖6～圖7。

圖6　工況一優(yōu)化后的撓度對(duì)比(單位：mm)

圖7　工況二優(yōu)化后的撓度對(duì)比(單位：mm)

從圖可以看出，采用遺傳算法與L-M算法最終的計(jì)算結(jié)果基本一致，二者優(yōu)化后的撓度與實(shí)測值誤差均在0.3 mm左右。

兩種方法識(shí)別出的各單元實(shí)際剛度與理論剛度比見圖8，限于荷載試驗(yàn)及測點(diǎn)布置在第1跨和第2跨范圍內(nèi)，因此也就僅能識(shí)別出這兩跨測試范圍內(nèi)的單元實(shí)際剛度，即圖8中的矩形框內(nèi)的單元?jiǎng)偠??？傮w來看，兩種方法識(shí)別的單元?jiǎng)偠融厔莼疽恢?，即在?#臺(tái)30 m附近(1#墩墩頂附近)，橋梁結(jié)構(gòu)的實(shí)際剛度最低，該部位為裝配式橋梁的濕接頭位置，混凝土澆筑質(zhì)量低于預(yù)制梁的澆筑質(zhì)量。

圖8　兩種方法識(shí)別剛度對(duì)比

3.4　剛度識(shí)別結(jié)果分析

從上述計(jì)算結(jié)果可知，除了墩頂附近剛度為0.5B左右，矩形框內(nèi)其余部位的剛度在1.5B～2.7B之間。通過工況一的撓度校驗(yàn)系數(shù)即實(shí)測值與理論值的比值分析，第1跨在0.55～0.58之間，而第2跨則在0.26～0.32之間。假定結(jié)構(gòu)實(shí)際剛度均勻分布，引起實(shí)測值與理論值偏差的因素僅為材料彈模，則實(shí)際剛度與理論計(jì)算剛度的比值為1/0.55～1/0.58即1.82～1.72之間；其次，在同一荷載工況下，兩跨的校驗(yàn)系數(shù)應(yīng)該基本接近，實(shí)際上第2跨的校驗(yàn)系數(shù)明顯小于第1跨校驗(yàn)系數(shù)。從實(shí)測撓度曲線圖看，在墩頂附近撓度曲線并不平順，說明了墩頂附近截面剛度可能存在突變。

識(shí)別出的實(shí)際剛度是考慮到剛度不均勻分布，除去墩頂部位，其余位置的實(shí)際剛度平均為2.1B左右，如果考慮墩頂剛度薄弱部位剛度，與均勻剛度假定下的比值基本是較為接近的，同樣墩頂附近剛度薄弱與撓度曲線圖中拐點(diǎn)位置也是相符的?？傮w而言，識(shí)別的剛度結(jié)果基本符合橋梁結(jié)構(gòu)的實(shí)際情況。

3.5　遺傳算法與L-M方法計(jì)算特點(diǎn)

(1)兩種算法都需要進(jìn)行有限元計(jì)算，L-M算法調(diào)用有限元計(jì)算次數(shù)要少些。

(2)遺傳算法屬于有約束優(yōu)化，L-M算法為無約束優(yōu)化。遺傳算法需要設(shè)置參數(shù)的上下界限，而不需設(shè)置參數(shù)初始值；而L-M算法不需設(shè)置上下界限，但需要設(shè)置參數(shù)的初始值。

(3)遺傳算法是通過大量種群依照生物進(jìn)化方法進(jìn)行計(jì)算，L-M算法則依據(jù)經(jīng)典的非線性最小二乘算法。遺傳算法不需要進(jìn)行靈敏度計(jì)算，而L-M算法則需要進(jìn)行靈敏度計(jì)算，即在計(jì)算迭代步長dk時(shí)，需要首先計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的梯度Jk，本文采用有限差分法計(jì)算Jk，并將計(jì)算結(jié)果存儲(chǔ)為梯度矩陣在迭代中調(diào)用。相比遺傳算法，L-M優(yōu)化算法編寫較為復(fù)雜些。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為非連續(xù)函數(shù)，無法進(jìn)行靈敏度計(jì)算時(shí)，也就無法采用L-M算法，但仍可采用遺傳算法，因此，遺傳算法應(yīng)用范圍要廣些，對(duì)目標(biāo)函數(shù)要求不高。

(4)遺傳算法迭代計(jì)算耗時(shí)較長，而L-M算法耗時(shí)較短。以筆者所用電腦為例，本文中遺傳算法計(jì)算時(shí)間約為3 min，采用L-M算法所需時(shí)間不到1 min。隨著計(jì)算機(jī)性能的提升，兩種算法耗時(shí)差別也將縮小。

4　結(jié)語

本文系統(tǒng)闡述了遺傳算法的原理，并將其應(yīng)用在橋梁結(jié)構(gòu)有限元模型修正中，通過與L-M算法的比較，兩種方法優(yōu)化結(jié)果基本一致，均能滿足實(shí)際的工程應(yīng)用。系統(tǒng)總結(jié)出了兩種方法的計(jì)算特點(diǎn)，實(shí)際應(yīng)用中可根據(jù)問題的特點(diǎn)，選擇合理的優(yōu)化算法。

本文僅圍繞限元模型修正技術(shù)進(jìn)行了深入闡述，如何將識(shí)別的實(shí)際剛度與結(jié)構(gòu)開裂、預(yù)應(yīng)力損失等橋梁檢測結(jié)果之間建立相關(guān)關(guān)系，更好地為橋梁檢測服務(wù)，仍需要進(jìn)一步大量深入地研究。

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