在整合中合理拓展，讓思維走向多維
——人教版二下“推理”拓展教學(xué)實(shí)踐與思考

□ 李國娟

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出：“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。”推理能力也是學(xué)生所應(yīng)具備的核心素養(yǎng)之一。人教版教材二年級下冊“數(shù)學(xué)廣角”專門安排了以“推理”為主題的學(xué)習(xí)內(nèi)容，教材設(shè)計了例1與例2兩個例題、兩次“做一做”與一次練習(xí)，篇幅雖不多，卻承載著培養(yǎng)與提升學(xué)生推理能力的重任。但一線教師在執(zhí)教過程中總會有撲朔迷離的感覺，那么在教學(xué)中會遇到哪些問題？如何通過教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的推理能力？我們從整合與拓展的角度作了拓展嘗試，讓學(xué)生的思維從一維走向多維。

一、“推理”一課教學(xué)現(xiàn)狀剖析

（一）兩例割裂教學(xué)，弱化思維提升

在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，90%的低段教師沒有將例1和例2兩個例題聯(lián)系在一起教學(xué)，他們認(rèn)為是孤立分開的，沒有將兩者打通，就題依題進(jìn)行教學(xué)，所以學(xué)生的思維是支離破碎的，無法舉一反三。更值得注意的是低段數(shù)學(xué)教師多是語數(shù)包班，他們本身就存在思維的單一以及在教學(xué)中多維思維的缺失等問題。如教學(xué)“例1有語文、數(shù)學(xué)和品德與生活三本書，下面三人各拿一本。小剛拿的是什么書？小麗呢？”絕大部分教師喜歡用語言描述推理過程；也有教師考慮到二年級學(xué)生年齡較小，光用語言表達(dá)不夠直觀，會借助連線表示；只有小部分教師鼓勵學(xué)生利用表格行和列的分析幫助學(xué)生推理，認(rèn)識到這種方法不僅直觀，還能使每位學(xué)生的推理過程更加清晰。但即便使用了“列表法”，教師并不知道將例1（選言推理）和例2（數(shù)獨(dú)）打通的最好方法是“列表法”，從而讓學(xué)生的思維從一維上升到二維。

（二）思維方式僵化，無法舉一反三

在一次數(shù)學(xué)拓展課程實(shí)踐專題研討會上，出示：在下面的方格中，每行、每列都有1～3這三個數(shù)，并且每個數(shù)在每行、每列中都只出現(xiàn)一次。A應(yīng)該是幾？怎樣填？用什么方法？指名某老師（低段數(shù)學(xué)老師）答：第一行第二個空格數(shù)是2，因?yàn)榈谝恍袘?yīng)該是1、2、3三個數(shù)，現(xiàn)在已經(jīng)有1、3兩個數(shù)了；也可以抓住第三列第二個空格數(shù)是1……抓住一行一列中都有兩個不同的數(shù)；也就是在“3×3”的填數(shù)中，思考經(jīng)驗(yàn)為：每行每列上出現(xiàn)兩個不同的數(shù)，就能填出第三個數(shù)。用找準(zhǔn)突破口的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行解決問題時，盡管同行、同列中數(shù)字的特點(diǎn)注意起來了，但是思維還是停留在一維，沒有從行與列交叉處進(jìn)行思考，如第一列與第三行交叉的格子可以填3（第一列與第三行交叉處這個思考突破口一下子找不出來），我們教師的思維也沒跳出來……所以必須抓住第一節(jié)課例1的列表法分析，讓教師有這方面的意識，因?yàn)樗季S力的提升是最重要的。

更有許多教師不知道“列表法”與“數(shù)獨(dú)”在“方格、行、列”等組成元素上是相通的；它們在解題方法上都采用“排除法”，可謂是形似神更似，有些教師愈加不領(lǐng)會。

二、拓展教學(xué)的理念與嘗試

（一）教學(xué)理念：注重思維積累，立足從一維走向多維

一維思維，是一種直線的、單向的、單維的、缺乏變化的思維方式，即把認(rèn)識停留在對事物的抽象而不是本質(zhì)的抽象，并以這樣的抽象為認(rèn)識出發(fā)點(diǎn)的、直線直觀的思維方式。盡管線性思維點(diǎn)狀化、碎片化，但小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的起始階段這個基礎(chǔ)還是要打扎實(shí)的。因?yàn)榘阉季S過程用線性來進(jìn)行描述，目的就是為了使原本抽象的思維過程變得更為形象可感，從而使思路更加清晰，使思維更加開闊、更加靈活，再經(jīng)過長時間的鍛煉，進(jìn)而培養(yǎng)出更為良好的思維習(xí)慣，增強(qiáng)思維能力。

而塊狀思維則是抓住問題的框架結(jié)構(gòu)，形成可以整體遷移的立體的塊狀思維，以過程思維塊、結(jié)構(gòu)思維塊、整體思維塊呈現(xiàn)的。

基于教材的相通性、解題方法的一致性以及師生的思維現(xiàn)狀，有必要增加思維訓(xùn)練，讓師生共同成長、發(fā)展。于是，我們對教材例1、例2進(jìn)行了改編，并增設(shè)了例3的教學(xué)素材。

（二）教學(xué)嘗試

1.拓展“例1”，滲透列表法推理，初悟思考維度拓展。

（1）教材拓展

上圖是原“例1”改編之后的拓展教材，它對原教材中選言、連線的方法進(jìn)行拓展，在編寫時添上了“小精靈推薦的一種列表法”,并在小紅這一行、語文這一列交叉的地方打了一個“√”，目的是為讓一部分學(xué)生能拓寬思維維度。

這樣的教材，學(xué)生馬上能體驗(yàn)到：肯定一項能否定多項，那么，小紅這一行、數(shù)學(xué)這一列交叉的地方只能打“×”；同理：小紅不拿品德與生活書以及小麗、小剛不能拿語文書……

（2）教學(xué)嘗試

?一、游戲教 教 教教教 導(dǎo)學(xué) 學(xué) 學(xué)學(xué)學(xué) 入內(nèi) 目 重難環(huán) ，容 標(biāo) 點(diǎn)點(diǎn)節(jié)揭示主題“12學(xué) 對1學(xué)老師老2..唯..初通小出習(xí) 表 不師兩師一步結(jié)過 用 格上示上門各”學(xué)：對推 表 行什語游學(xué)上 什教習(xí)表斷 格 與么文戲科一 么師用格 法 列課課：“，門 叫行表“李行 進(jìn) 的 。有 學(xué)為”格推與 行描 老猜語 科法理列 推述 師一文 ，進(jìn)”的 理 ， 和李猜進(jìn) 、行，描數(shù)方老方進(jìn) 行推二 述 行有理思達(dá) 同驗(yàn)下 ， 有序幫思什考桌列序 推助考么表互并思 理學(xué)過叫法說用“考“生程推，推推通有因理學(xué)理理（ 條過為生”自 理分…行編 地享…為拓 進(jìn)思所展 行考以課 推過…程 理程…教 敘”，材表體述） ，激過使培學(xué)用活養(yǎng)生語學(xué)學(xué)理言生生教解表有線學(xué)“述序意性 推推思圖理思理考”維過，。進(jìn)程行通，

續(xù)表

將所有已知信息與推理結(jié)果呈現(xiàn)在一張表上時，再讓學(xué)生看看表中信息，進(jìn)行交流時，就很方便了，如李老師不上語文課，就上數(shù)學(xué)課；也可以知道方老師上語文課，無形之中將行與列“二維”思維滲透在這里面了，并且感受到了信息與結(jié)論的清楚、明白又簡潔。讓所有學(xué)生眼前一亮，立馬喜歡上了“表格法”推理。表格呈現(xiàn)信息形象、直觀，為培養(yǎng)學(xué)生捕捉信息的能力以及語言表達(dá)的能力都帶來便捷。

李老師方老師語文× √數(shù)學(xué)√ ×

2.改編“例2”，引入數(shù)獨(dú)法推理，經(jīng)歷多維度思維。

（1）教材改編

本例是基于“列表法推理”的基礎(chǔ)上進(jìn)行創(chuàng)編，通過幾個小朋友想象、創(chuàng)造將表格改變成數(shù)獨(dú)的雛形，經(jīng)歷解決“表格中的A是幾”這一游戲，使學(xué)生的思維有所提升。

為了能夠讓學(xué)生更清楚地表達(dá)表格中的某一個格，采用微課的形式，向?qū)W生介紹如何去表達(dá)以及介紹數(shù)獨(dú)的起源，而本節(jié)課的重點(diǎn)在于讓學(xué)生的思維得到提升，所以，在教學(xué)時不要忙于讓學(xué)生去解決表格中的A是幾，而是讓學(xué)生能夠找到突破口，即第一次能填出哪幾個數(shù)。

（2）教學(xué)嘗試

這節(jié)課以承接例1的表格展開，呈現(xiàn)例1課尾的表格。在這張表格中是帶有表頭的，即“姓名”與“書本名”。接著教師借“優(yōu)秀學(xué)生”的作品呈現(xiàn)出簡化后的表格供學(xué)生欣賞，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其特殊之處，構(gòu)建“數(shù)獨(dú)”雛形，為打通“例1”與“例2”教學(xué)奠基。將“例1”的表格去除表頭、改“√”“×”為數(shù)字，即成“數(shù)獨(dú)”，水到渠成。

?教學(xué)內(nèi)容 二下自編教材——3×3數(shù)獨(dú)1.初步學(xué)習(xí)用數(shù)獨(dú)法進(jìn)行推理，獲得一些簡單推理的經(jīng)驗(yàn)教學(xué)目標(biāo)2.通過對空格行與列的描述，找到第一次能解決的空格即解題的突破口，培養(yǎng)學(xué)生有序地全面思考問題的能力教學(xué)重點(diǎn) 學(xué)習(xí)用數(shù)獨(dú)法進(jìn)行推理，進(jìn)行有序思考推理教學(xué)難點(diǎn) 數(shù)獨(dú)法推理依據(jù)的敘述，進(jìn)行有序思考推理教學(xué)環(huán)節(jié) 教師行為 學(xué)生行為 教學(xué)意圖一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入（一）復(fù)習(xí)表格法 出示上節(jié)課研究成果——表 讀表、交流 將學(xué)生思維聚集到行與列格。引導(dǎo)學(xué)生觀察、讀表 的交叉處抓住“小紅拿了語文書”這一（二）復(fù)習(xí)列表推理的方法 個信息就可以推理出什么？ 交流，復(fù)習(xí)列表法推理 為引出“數(shù)獨(dú)”鋪墊提出：若第三行第三列交叉的地方是空格，該怎樣推理？二、新授知識1.出示表格（一）初步感知數(shù)獨(dú)，揭示欣賞，發(fā)現(xiàn)表格變化之處 感悟“數(shù)獨(dú)”雛形主題2.介紹“數(shù)獨(dú)” 通過對“數(shù)”與“獨(dú)”的釋義，神奇的數(shù)字，每行每列都只能 理解“數(shù)獨(dú)”的規(guī)則 幫助學(xué)生理解“數(shù)獨(dú)”的出現(xiàn)一次，這就是“獨(dú)”的意思 規(guī)則——數(shù)獨(dú)出示例題： 讀題：每行、每列都有1～3（二）學(xué)生嘗試數(shù)獨(dú)法推理這每次。三行A個、應(yīng)每數(shù)該列，并是都且?guī)字幻?？出個 四現(xiàn)數(shù) 人在一小核心問題引領(lǐng)學(xué)生思考第一次抓住哪個空格作為解 組交流題突破口?為什么?以“小老師”的身份匯報： “小老師”與“學(xué)生”間的互（1）第一行與第二列交叉 動，通過質(zhì)疑、追問等手段誰愿意上來做小老師說一說?的空格 幫助學(xué)生理解解決數(shù)獨(dú)問除了從這個空格可以開始研（2）第二行與第三列交叉 題的一般方法與特殊方法，究之外，還有沒有別的空格可 的空格 將學(xué)生的思維從一維引向以第一時間開始研究的?（3）第三行與第一列交叉 多維。通過討論，讓學(xué)生獲引導(dǎo)學(xué)生把行和列連在一起 的空格 得“推理時在行和列中找到觀察 重點(diǎn)交流：第一列已有1，兩個數(shù)字，就可以把空格推（三）學(xué)生交流想法 第三行已有2，所以交叉的 理出來”的體驗(yàn)，拓展思維空格是3維度通過比較，讓學(xué)生認(rèn)識到前剛剛這個數(shù)獨(dú)出來的時候你 一次（僅依據(jù)某一行或某一在填，現(xiàn)在你又在填，前后兩 體會在解決數(shù)獨(dú)問題過程 列）與后一次（同時關(guān)注某次填寫有沒有不一樣?哪里不 中前后發(fā)生的變化 一行與某一列）兩種思維的一樣？ 變化，幫助學(xué)生積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)，同時進(jìn)一步激發(fā)解決新問題的興趣我們是怎樣思考的？我們?nèi)绾?讓學(xué)生也能體悟到“這跟我（四）回訪數(shù)獨(dú)法推理的過 去找第一次下手的空格？我 回憶根據(jù)兩個數(shù)推理出剩 們第一節(jié)課研究的方法是程及方法 們要去找?guī)讉€數(shù)字？ 余的一個數(shù)的思考過程 一樣的”，這樣就把例1與例2兩個例題打通了

“第一次抓住哪個空格?為什么以此作為解題突破口？”教師循循善誘，以這二問為核心問題統(tǒng)領(lǐng)后續(xù)教學(xué)，扎實(shí)有效地開展數(shù)獨(dú)教學(xué)，“小老師”匯報時抓住“第三行與第一列交叉的空格”這一思考核心，不斷將學(xué)生的思維從“一維”引向“多維”。

3.創(chuàng)編“例3”，引入“宮”的教學(xué)，提升思維品質(zhì)。

（1）創(chuàng)編新例題“宮”

宮：由一組被粗線劃分的2×2格子圍成的區(qū)域，用中文數(shù)字區(qū)分它們的位置，如一宮；

用1～4這4個數(shù)字填入以上的方格中，使每一行、每一列、每一宮都有1～4這4個數(shù)字，且不重復(fù)，B是幾？并把四宮數(shù)獨(dú)填完整。

本例是讓學(xué)生在了解了數(shù)獨(dú)游戲的規(guī)則和常用名詞（行、列、格）后，在學(xué)生原有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，全面觀察線索，尋找突破口，引導(dǎo)學(xué)生重視“宮”，形成塊狀思維，即只要行、列和宮出現(xiàn)三個不同的數(shù)，就能找到“突破口“，從而展開高效的推理過程。這樣就使學(xué)生的思維更多維，解決數(shù)獨(dú)游戲更簡單，激起學(xué)生進(jìn)一步解決數(shù)學(xué)問題的欲望。

（2）教學(xué)嘗試

教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)二下自編教材——四宮數(shù)獨(dú)1.借助四宮數(shù)獨(dú)，讓學(xué)生認(rèn)識和了解數(shù)獨(dú)行、列、宮的基本情況2.通過練習(xí)，讓學(xué)生了解數(shù)獨(dú)宮的游戲規(guī)則，會用規(guī)則來進(jìn)行推理

續(xù)表

如果說“例2”的教學(xué)，學(xué)生在思考數(shù)獨(dú)問題時大多是依據(jù)“行”與“列”數(shù)字的特點(diǎn)，仍有停留在“線性思維”之嫌的話，創(chuàng)編“宮”這一例題并實(shí)施教學(xué)，則推陳出新，可謂引導(dǎo)學(xué)生邁向“多維思維”的利器。

教學(xué)之初，學(xué)生依舊緊緊抓住“行”與“列”來思考解決問題的突破口。為讓學(xué)生感悟“宮”的塊狀思維，教師先讓學(xué)生通過“摸一摸”“看一看”“選一選”，初步認(rèn)識“宮”，并將學(xué)生的視線慢慢引向盯住“宮”內(nèi)數(shù)字特點(diǎn)不放松，從而使學(xué)生的思維聚焦于“宮”，實(shí)現(xiàn)“線性思維”邁向“多維思維”的跨越，達(dá)成共識后又緊鑼密鼓地引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)“宮”內(nèi)數(shù)字的特點(diǎn)嘗試“數(shù)獨(dú)”問題的新解法，積累學(xué)生解決“數(shù)獨(dú)問題”的經(jīng)驗(yàn)，提升與拓展思維的深度與廣度。

三、“推理”一課拓展教學(xué)的價值與反思

（一）用“打通”的眼光妥善處理例1與例2的教學(xué)

看似迥異的兩個例題實(shí)則“貌離神合”?！袄?”的選言推理與“例2”的數(shù)獨(dú)法推理看上去是兩個獨(dú)立的例題，一個側(cè)重解決生活問題，另一個是純粹的數(shù)學(xué)問題，但“列表法”與“數(shù)獨(dú)法”在“方格、行、列”等組成元素上是相通的；它們在解題方法上都采用“排除法”，而引入“數(shù)獨(dú)”，則順利搭建了打通例題間教學(xué)的橋梁，促思維教學(xué)潤物無聲，進(jìn)一步突顯了“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)價值。

為了打通例1與例2，拓展教學(xué)分三步走。

（1）開課就出示例1研究后形成的表格，并要求學(xué)生仔細(xì)觀察表格，找到哪些信息？表格中的小紅拿語文書，小麗拿品德書，小剛拿數(shù)學(xué)書，三人各拿一本書，與題意吻合；為等會兒的“每行每列1～3只能出現(xiàn)一次”打下伏筆。

（2）將第三行第三列交叉處隱去，可以根據(jù)表格中的經(jīng)驗(yàn)推理出來嗎？為什么？為引出“行和列已有兩個數(shù)字，推理空格是（？）”做好認(rèn)知上的準(zhǔn)備。

（3）將表格“演變”成格子以及將標(biāo)記符號再繼續(xù)“演變”成行和列9個空格；如果在空格中填上一些有趣的數(shù)字就可以進(jìn)行思維訓(xùn)練了……在這里完成了“表格”與“數(shù)獨(dú)”組成元素的相通性，都有格、行與列；當(dāng)然隨著課堂的深入，讓學(xué)生感悟到解題方法的一致性，即均用“排除法”。

（二）從“整合”的角度實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維“維度”的拓展

思維按其廣度與深度來說具有多個維度，思維的多維性是指能靈活地運(yùn)用不同的形式和方法,從不同角度去思考問題。多維是敏捷、準(zhǔn)確、創(chuàng)造的保證,培養(yǎng)思維的多維性對培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)良的思維品質(zhì)具有核心意義。

此次拓展教學(xué)，通過改編與創(chuàng)編例題，借數(shù)獨(dú)穿針引線，將培養(yǎng)學(xué)生的推理能力與提升學(xué)生的思維維度整合在一起。

如何讓學(xué)生的思維由“線性思維”上升到“塊狀思維”，是整合教學(xué)中需要關(guān)注的重點(diǎn)之一；講究方式方法達(dá)到自覺過渡，就能增強(qiáng)學(xué)生的思維體驗(yàn)，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維的多維性。

如右圖，教師要求學(xué)生獨(dú)立思考，第一次找到解題突破口的空格是哪一個？理由是什么？先獨(dú)立思考后與同桌交流再全班指名小老師上臺與大家分享，在分享的過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷“宮”的塊狀思維，并感受到塊狀思維帶來的優(yōu)勢，從而積累如下思考經(jīng)驗(yàn)：①找到數(shù)字最多的“宮”；②兼顧行與列的數(shù)字特點(diǎn)；③利用排除法，B填2或3；④一下子就確定“宮”內(nèi)數(shù)字，B為2。

通過此次對“推理”一單元的拓展教學(xué)，不僅提升了學(xué)生的思維品質(zhì)，使學(xué)生思維更敏捷、更靈活、更高效；同時也轉(zhuǎn)變了教師的教學(xué)觀念：多揣摩編者的意圖，不斷地用“打通”“整合”的眼光審視教材，讓學(xué)生越來越聰明，這必定是每位教師努力追求的目標(biāo)。